Continuidad de Lipschitz

Forma fuerte de continuidad uniforme.

Para una función continua de Lipschitz, existe un cono doble (blanco) cuyo origen se puede mover a lo largo de la gráfica de modo que toda la gráfica siempre quede fuera del cono doble.

En análisis matemático , la continuidad de Lipschitz , llamada así en honor al matemático alemán Rudolf Lipschitz , es una forma fuerte de continuidad uniforme para funciones . Intuitivamente, una función continua de Lipschitz está limitada en cuanto a la rapidez con la que puede cambiar: existe un número real tal que, para cada par de puntos en la gráfica de esta función, el valor absoluto de la pendiente de la recta que los conecta no es mayor que este número real; el límite más pequeño se llama constante de Lipschitz de la función (y está relacionado con el módulo de continuidad uniforme ). Por ejemplo, toda función que está definida en un intervalo y tiene una primera derivada acotada es continua de Lipschitz. ^[1]

En la teoría de ecuaciones diferenciales , la continuidad de Lipschitz es la condición central del teorema de Picard-Lindelöf que garantiza la existencia y unicidad de la solución a un problema de valor inicial . En el teorema del punto fijo de Banach se utiliza un tipo especial de continuidad de Lipschitz, llamado contracción . ^[2]

Tenemos la siguiente cadena de inclusiones estrictas para funciones sobre un intervalo cerrado y acotado no trivial de la recta real:

Continuamente diferenciable ⊂ Lipschitz continuo ⊂ - Hölder continuo , ${\displaystyle \alpha }$

dónde . También tenemos ${\displaystyle 0<\alpha \leq 1}$

Lipschitz continuo ⊂ absolutamente continuo ⊂ uniformemente continuo .

Definiciones

Dados dos espacios métricos ( X , d _X ) y ( Y , d _Y ), donde d _X denota la métrica en el conjunto X y d _Y es la métrica en el conjunto Y , una función f  : X → Y se llama Lipschitz continua si existe una constante real K ≥ 0 tal que, para todo x ₁ y x ₂ en X ,

${\displaystyle d_{Y}(f(x_{1}),f(x_{2}))\leq Kd_{X}(x_{1},x_{2}).}$^[3]

Cualquier K de este tipo se denomina constante de Lipschitz para la función f y f también puede denominarse K-Lipschitz . La constante más pequeña a veces se denomina (mejor) constante de Lipschitz ^[4] de f o la dilatación o dilatación ^{[5] : p. 9, Definición 1.4.1  [6] [7]} de f . Si K = 1, la función se denomina aplicación corta , y si 0 ≤ K < 1 y f asigna un espacio métrico a sí misma, la función se denomina contracción .

En particular, una función de valor real f  : R → R se llama continua de Lipschitz si existe una constante real positiva K tal que, para todos los x ₁ y x ₂ reales ,

${\displaystyle |f(x_{1})-f(x_{2})|\leq K|x_{1}-x_{2}|.}$

En este caso, Y es el conjunto de números reales R con la métrica estándar d _Y ( y ₁ , y ₂ ) = | y ₁ − y ₂ |, y X es un subconjunto de R .

En general, la desigualdad se satisface (trivialmente) si x ₁ = x ₂ . De lo contrario, se puede definir de manera equivalente una función como continua de Lipschitz si y solo si existe una constante K ≥ 0 tal que, para todo x ₁ ≠ x ₂ ,

${\displaystyle {\frac {d_{Y}(f(x_{1}),f(x_{2}))}{d_{X}(x_{1},x_{2})}}\leq K.}$

Para funciones con valores reales de varias variables reales, esto se cumple si y sólo si el valor absoluto de las pendientes de todas las rectas secantes está acotado por K. El conjunto de rectas de pendiente K que pasan por un punto de la gráfica de la función forma un cono circular, y una función es de Lipschitz si y sólo si la gráfica de la función se encuentra en todas partes completamente fuera de este cono (ver figura).

Una función se llama localmente continua de Lipschitz si para cada x en X existe una vecindad U de x tal que f restringida a U es continua de Lipschitz. De manera equivalente, si X es un espacio métrico localmente compacto , entonces f es localmente Lipschitz si y sólo si es Lipschitz continuo en cada subconjunto compacto de X. En espacios que no son localmente compactos, esta es una condición necesaria pero no suficiente.

De manera más general, se dice que una función f definida en X es continua de Hölder o satisface una condición de Hölder de orden α > 0 en X si existe una constante M ≥ 0 tal que

${\displaystyle d_{Y}(f(x),f(y))\leq Md_{X}(x,y)^{\alpha }}$

para todo x e y en X . A veces, una condición de Hölder de orden α también se denomina condición de Lipschitz uniforme de orden α > 0.

Para un número real K ≥ 1, si

${\displaystyle {\frac {1}{K}}d_{X}(x_{1},x_{2})\leq d_{Y}(f(x_{1}),f(x_{2}))\leq Kd_{X}(x_{1},x_{2})\quad {\text{ for all }}x_{1},x_{2}\in X,}$

entonces f se llama K -bilipschitz (también escrito K -bi-Lipschitz ). Decimos que f es bilipschitz o bi -Lipschitz para significar que existe tal K. Un mapeo de bilipschitz es inyectivo y, de hecho, es un homeomorfismo de su imagen. Una función bilipschitz es lo mismo que una función inyectiva de Lipschitz cuya función inversa también es Lipschitz.

Ejemplos

Funciones continuas de Lipschitz que son diferenciables en todas partes

• La función definida para todos los números reales es Lipschitz continua con la constante de Lipschitz K  = 1, porque es diferenciable en todas partes y el valor absoluto de la derivada está acotado arriba por 1. Consulte la primera propiedad que se enumera a continuación en "Propiedades". ${\displaystyle f(x)={\sqrt {x^{2}+5}}}$
• Asimismo, la función seno es continua de Lipschitz porque su derivada, la función coseno, está acotada arriba por 1 en valor absoluto.

Funciones continuas de Lipschitz que no son diferenciables en todas partes

• La función definida sobre los reales es Lipschitz continua con la constante de Lipschitz igual a 1, por la desigualdad del triángulo inverso . De manera más general, una norma en un espacio vectorial es continua de Lipschitz con respecto a la métrica asociada, con la constante de Lipschitz igual a 1. ${\displaystyle f(x)=|x|}$

Funciones continuas de Lipschitz que son diferenciables en todas partes pero no continuamente diferenciables

• La función , cuya derivada existe pero tiene una discontinuidad esencial en . ${\displaystyle f(x)\;=\;{\begin{cases}x^{2}\sin(1/x)&{\text{if }}x\neq 0\\0&{\text{if }}x=0\end{cases}}}$ ${\displaystyle x=0}$

Funciones continuas que no son (globalmente) continuas de Lipschitz

• La función f ( x ) =  √ x definida en [0, 1] no es continua de Lipschitz. Esta función se vuelve infinitamente pronunciada cuando x se acerca a 0 ya que su derivada se vuelve infinita. Sin embargo, es uniformemente continuo, ^[8] y ambos Hölder son continuos de clase C ^{0, α} para α ≤ 1/2 y también absolutamente continuos en [0, 1] (los cuales implican lo primero).

Funciones diferenciables que no son (localmente) continuas de Lipschitz

• La función f definida por f (0) = 0 y f ( x ) =  x ^3/2 sin(1/ x ) para 0< x ≤1 da un ejemplo de una función que es diferenciable en un conjunto compacto pero no localmente Lipschitz porque su función derivada no está acotada. Vea también la primera propiedad a continuación.

Funciones analíticas que no son (globalmente) continuas de Lipschitz

• La función exponencial se vuelve arbitrariamente pronunciada cuando x → ∞ y, por lo tanto , no es globalmente continua de Lipschitz, a pesar de ser una función analítica .
• La función f ( x ) =  x ² con dominio todos los números reales no es continua de Lipschitz. Esta función se vuelve arbitrariamente pronunciada cuando x tiende a infinito. Sin embargo, localmente es continuo de Lipschitz.

Propiedades

• Una función g en todas partes diferenciable  :  R  →  R es continua de Lipschitz (con K  = sup | g ′( x )|) si y solo si tiene primera derivada acotada ; Una dirección se sigue del teorema del valor medio . En particular, cualquier función continuamente diferenciable es localmente Lipschitz, ya que las funciones continuas están localmente acotadas, por lo que su gradiente también está acotado localmente.
• Una función de Lipschitz g  :  R  →  R es absolutamente continua y por lo tanto es diferenciable en casi todas partes , es decir, diferenciable en cada punto fuera de un conjunto de medida cero de Lebesgue . Su derivada está esencialmente limitada en magnitud por la constante de Lipschitz, y para a  < b , la diferencia g ( b ) −  g ( a ) es igual a la integral de la derivada g ′ en el intervalo [ a ,  b ].
  • Por el contrario, si f  : I  → R es absolutamente continua y, por tanto, diferenciable en casi todas partes, y satisface | f′ ( x )| ≤ K para casi todos los x en I , entonces f es Lipschitz continua con Lipschitz constante como máximo K.
  • De manera más general, el teorema de Rademacher extiende el resultado de la diferenciabilidad a las asignaciones de Lipschitz entre espacios euclidianos: una aplicación de Lipschitz f  :  U  →  R ^m , donde U es un conjunto abierto en R ⁿ , es diferenciable en casi todas partes . Además, si K es la mejor constante de Lipschitz de f , entonces siempre que exista la derivada total Df . ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle \|Df(x)\|\leq K}$
• Para un mapa de Lipschitz diferenciable, la desigualdad se cumple para la mejor constante de Lipschitz de . Si el dominio es convexo entonces, de hecho . ^{[ Se necesita más explicación ]} ${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle \|Df\|_{W^{1,\infty }(U)}\leq K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \|Df\|_{W^{1,\infty }(U)}=K}$
• Supongamos que { f _n } es una secuencia de asignaciones continuas de Lipschitz entre dos espacios métricos, y que todas las f _n tienen una constante de Lipschitz acotada por algún K. Si f _n converge uniformemente a una aplicación f , entonces f también es Lipschitz, con la constante de Lipschitz acotada por la misma K . En particular, esto implica que el conjunto de funciones con valores reales en un espacio métrico compacto con un límite particular para la constante de Lipschitz es un subconjunto cerrado y convexo del espacio de Banach de funciones continuas. Sin embargo , este resultado no es válido para secuencias en las que las funciones pueden tener constantes de Lipschitz ilimitadas . De hecho, el espacio de todas las funciones de Lipschitz en un espacio métrico compacto es una subálgebra del espacio de Banach de funciones continuas y, por tanto, denso en él, una consecuencia elemental del teorema de Stone-Weierstrass (o como consecuencia del teorema de aproximación de Weierstrass , porque todo polinomio es localmente continuo de Lipschitz).
• Todo mapa continuo de Lipschitz es uniformemente continuo y, por tanto, a fortiori continuo . De manera más general, un conjunto de funciones con constante de Lipschitz acotada forma un conjunto equicontinuo . El teorema de Arzelà-Ascoli implica que si { f _n } es una secuencia de funciones uniformemente acotada con constante de Lipschitz acotada, entonces tiene una subsecuencia convergente. Por el resultado del párrafo anterior, la función límite también es Lipschitz, con la misma cota para la constante de Lipschitz. En particular, el conjunto de todas las funciones de Lipschitz de valor real en un espacio métrico compacto X que tiene la constante de Lipschitz ≤  K   es un subconjunto convexo localmente compacto del espacio de Banach C ( X ).
• Para una familia de funciones continuas de Lipschitz f _α con constante común, la función (y ) también es continua de Lipschitz, con la misma constante de Lipschitz, siempre que asuma un valor finito al menos en un punto. ${\displaystyle \sup _{\alpha }f_{\alpha }}$ ${\displaystyle \inf _{\alpha }f_{\alpha }}$
• Si U es un subconjunto del espacio métrico M y f  : U  → R es una función continua de Lipschitz, siempre existen mapas continuos de Lipschitz M  → R que extienden f y tienen la misma constante de Lipschitz que f (ver también el teorema de Kirszbraun ). Una extensión es proporcionada por

${\displaystyle {\tilde {f}}(x):=\inf _{u\in U}\{f(u)+k\,d(x,u)\},}$

donde k es una constante de Lipschitz para f en U.

Colectores de Lipschitz

Una estructura de Lipschitz en una variedad topológica se define utilizando un atlas de cartas cuyos mapas de transición son bilipschitz; esto es posible porque los mapas de Bilipschitz forman un pseudogrupo . Tal estructura permite definir localmente mapas de Lipschitz entre tales variedades, de manera similar a cómo se definen mapas suaves entre variedades suaves : si M y N son variedades de Lipschitz, entonces una función es localmente Lipschitz si y solo si para cada par de gráficos de coordenadas y , donde U y V son conjuntos abiertos en los espacios euclidianos correspondientes, la composición ${\displaystyle f:M\to N}$ ${\displaystyle \phi :U\to M}$ ${\displaystyle \psi :V\to N}$

$${\displaystyle \psi ^{-1}\circ f\circ \phi :U\cap (f\circ \phi )^{-1}(\psi (V))\to V}$$

MN. ^[9]

Esta estructura es intermedia entre la de una variedad lineal por partes y una variedad topológica : una estructura PL da lugar a una estructura de Lipschitz única. ^[10] Si bien las variedades de Lipschitz están estrechamente relacionadas con las variedades topológicas, el teorema de Rademacher permite realizar análisis, lo que produce varias aplicaciones. ^[9]

Lipschitz unilateral

Sea F ( x ) una función semicontinua superior de x , y que F ( x ) sea un conjunto cerrado y convexo para todo x . Entonces F es Lipschitz unilateral ^[11] si

${\displaystyle (x_{1}-x_{2})^{T}(F(x_{1})-F(x_{2}))\leq C\Vert x_{1}-x_{2}\Vert ^{2}}$

para algunos C y para todos x ₁ y x ₂ .

Es posible que la función F tenga una constante de Lipschitz muy grande pero una constante de Lipschitz unilateral de tamaño moderado, o incluso negativa. Por ejemplo, la función

${\displaystyle {\begin{cases}F:\mathbf {R} ^{2}\to \mathbf {R} ,\\F(x,y)=-50(y-\cos(x))\end{cases}}}$

tiene una constante de Lipschitz K = 50 y una constante de Lipschitz unilateral C = 0. Un ejemplo que es Lipschitz unilateral pero no continuo de Lipschitz es F ( x ) = e ^{- x} , con C = 0.

Ver también

• Mapeo de contracción  : función que reduce la distancia entre todos los puntos
• continuidad dini
• Módulo de continuidad
• Cuasi-isometría
• Lema de Johnson-Lindenstrauss : para cualquier número entero n ≥0, cualquier subconjunto finito X ⊆ R ⁿ y cualquier número real 0<ε<1, existe una función (1+ε)-bi-Lipschitz donde ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{d},}$ ${\displaystyle d=\lceil 15(\ln |X|)/\varepsilon ^{2}\rceil .}$

Referencias

1. Sohrab, HH (2003). Análisis Real Básico. vol. 231. Birkhäuser. pag. 142.ISBN _ 0-8176-4211-0.
2. Thomson, Brian S.; Bruckner, Judith B.; Bruckner, Andrew M. (2001). Análisis real elemental. Prentice Hall. pag. 623.
3. Searcóid, Mícheál Ó (2006), "Lipschitz Functions", Metric Spaces , serie universitaria de matemáticas de Springer, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-1-84628-369-7
4. Benyamini, Yoav; Lindenstrauss, Joram (2000). Análisis funcional geométrico no lineal . Sociedad Matemática Estadounidense. pag. 11.ISBN _ 0-8218-0835-4.
5. Burago, Dmitri; Burago, Yuri; Ivanov, Sergei (2001). Un curso de geometría métrica . Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 0-8218-2129-6.
6. Mahroo, Omar A; Salquí, Zaid; Hammond, Christopher J (2014). "'Dilatación' y 'dilatación': tendencias de uso a ambos lados del Atlántico". Revista Británica de Oftalmología . 98 (6): 845–846. doi :10.1136/bjophthalmol-2014-304986. PMID  24568871.
7. Gromov, Mikhael (1999). "Teoría de la homotopía cuantitativa". En Rossi, Hugo (ed.). Perspectivas en matemáticas: charlas invitadas con motivo del 250 aniversario de la Universidad de Princeton, 17 al 21 de marzo de 1996, Universidad de Princeton . Sociedad Matemática Estadounidense. pag. 46.ISBN _ 0-8218-0975-X.
8. Robbin, Joel W., Continuidad y continuidad uniforme (PDF)
9. Rosenberg, Jonathan (1988). "Aplicaciones del análisis de variedades de Lipschitz". Miniconferencias sobre análisis armónicos y álgebras de operadores (Canberra, 1987) . Canberra: Universidad Nacional de Australia . págs. 269–283. Señor 954004
10. "Topología de variedades", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
11. Donchev, Tzanko; Farkhi, Elza (1998). "Estabilidad y aproximación de Euler de inclusiones diferenciales de Lipschitz unilaterales". Revista SIAM de Control y Optimización . 36 (2): 780–796. doi :10.1137/S0363012995293694.