En la filosofía de las matemáticas , el constructivismo afirma que es necesario encontrar (o "construir") un ejemplo específico de un objeto matemático para probar que existe un ejemplo. En cambio, en las matemáticas clásicas, se puede probar la existencia de un objeto matemático sin "encontrarlo" explícitamente, asumiendo su no existencia y luego derivando una contradicción de esa suposición. Tal prueba por contradicción podría llamarse no constructiva, y un constructivista podría rechazarla. El punto de vista constructivista implica una interpretación verificacional del cuantificador existencial , que está en desacuerdo con su interpretación clásica.
Existen muchas formas de constructivismo. [1] Estas incluyen el programa del intuicionismo fundado por Brouwer , el finitismo de Hilbert y Bernays , las matemáticas recursivas constructivas de Shanin y Markov , y el programa de análisis constructivo de Bishop . [2] El constructivismo también incluye el estudio de las teorías de conjuntos constructivos como CZF y el estudio de la teoría de topos .
El constructivismo se identifica a menudo con el intuicionismo, aunque el intuicionismo es sólo un programa constructivista. El intuicionismo sostiene que los fundamentos de las matemáticas residen en la intuición del matemático individual, convirtiendo así las matemáticas en una actividad intrínsecamente subjetiva. [3] Otras formas de constructivismo no se basan en este punto de vista de la intuición y son compatibles con un punto de vista objetivo de las matemáticas.
Gran parte de las matemáticas constructivas utilizan la lógica intuicionista , que es esencialmente lógica clásica sin la ley del tercio excluido . Esta ley establece que, para cualquier proposición, o bien esa proposición es verdadera o bien lo es su negación. Esto no quiere decir que la ley del tercio excluido se niegue por completo; los casos especiales de la ley serán demostrables. Es solo que la ley general no se asume como un axioma . La ley de no contradicción (que establece que las afirmaciones contradictorias no pueden ser verdaderas al mismo tiempo) sigue siendo válida.
Por ejemplo, en la aritmética de Heyting , se puede demostrar que para cualquier proposición p que no contenga cuantificadores , es un teorema (donde x , y , z ... son las variables libres en la proposición p ). En este sentido, las proposiciones restringidas a lo finito todavía se consideran verdaderas o falsas, como en las matemáticas clásicas, pero esta bivalencia no se extiende a las proposiciones que se refieren a conjuntos infinitos .
De hecho, LEJ Brouwer , fundador de la escuela intuicionista, consideró que la ley del tercero excluido se había abstraído de la experiencia finita y luego se había aplicado al infinito sin justificación . Por ejemplo, la conjetura de Goldbach es la afirmación de que todo número par mayor que 2 es la suma de dos números primos . Es posible comprobar si un número par en particular es la suma de dos primos (por ejemplo, mediante una búsqueda exhaustiva), de modo que cualquiera de ellos es la suma de dos primos o no lo es. Y hasta ahora, todos los números así comprobados han sido, de hecho, la suma de dos primos.
Pero no se conoce ninguna prueba de que todas sean así, ni tampoco de que no todas lo sean; ni siquiera se sabe si debe existir una prueba o una refutación de la conjetura de Goldbach (la conjetura puede ser indecidible en la teoría de conjuntos ZF tradicional). Por lo tanto, para Brouwer, no estamos justificados en afirmar "o la conjetura de Goldbach es verdadera, o no lo es". Y aunque la conjetura puede resolverse algún día, el argumento se aplica a problemas similares no resueltos. Para Brouwer, la ley del tercio excluido equivale a suponer que todo problema matemático tiene una solución.
Con la omisión de la ley del tercero excluido como axioma, el sistema lógico restante tiene una propiedad de existencia que la lógica clásica no tiene: siempre que se prueba de manera constructiva, entonces de hecho se prueba de manera constructiva para (al menos) un objeto particular , a menudo llamado testigo . Por lo tanto, la prueba de la existencia de un objeto matemático está ligada a la posibilidad de su construcción.
En el análisis real clásico , una forma de definir un número real es como una clase de equivalencia de secuencias de Cauchy de números racionales .
En matemáticas constructivas, una forma de construir un número real es como una función ƒ que toma un entero positivo y da como resultado un racional ƒ ( n ), junto con una función g que toma un entero positivo n y da como resultado un entero positivo g ( n ) tal que
De modo que, a medida que n aumenta, los valores de ƒ ( n ) se acercan cada vez más. Podemos usar ƒ y g juntos para calcular una aproximación racional lo más cercana que queramos al número real que representan.
Bajo esta definición, una representación simple del número real e es:
Esta definición corresponde a la definición clásica que utiliza secuencias de Cauchy, excepto con un giro constructivo: para una secuencia de Cauchy clásica, se requiere que, para cualquier distancia dada, exista (en un sentido clásico) un miembro en la secuencia después del cual todos los miembros estén más cerca entre sí que esa distancia. En la versión constructiva, se requiere que, para cualquier distancia dada, sea posible especificar realmente un punto en la secuencia donde esto suceda (esta especificación requerida a menudo se llama módulo de convergencia ). De hecho, la interpretación constructiva estándar del enunciado matemático
es precisamente la existencia de la función que calcula el módulo de convergencia. Por lo tanto, la diferencia entre las dos definiciones de números reales puede considerarse como la diferencia en la interpretación de la afirmación "para todo... existe..."
Esto plantea la cuestión de qué tipo de función de un conjunto numerable a un conjunto numerable, como f y g , se puede construir en realidad. Diferentes versiones del constructivismo divergen en este punto. Las construcciones se pueden definir de manera tan amplia como secuencias de libre elección , que es la visión intuicionista, o tan estrictamente como algoritmos (o más técnicamente, las funciones computables ), o incluso dejarlas sin especificar. Si, por ejemplo, se adopta la visión algorítmica, entonces los números reales tal como se construyen aquí son esencialmente lo que clásicamente se llamaría números computables .
La interpretación algorítmica anterior parecería estar en desacuerdo con las nociones clásicas de cardinalidad . Al enumerar algoritmos, podemos demostrar que los números computables son clásicamente contables. Y, sin embargo, el argumento diagonal de Cantor muestra que los números reales tienen cardinalidad incontable. Identificar los números reales con los números computables sería entonces una contradicción. Además, el argumento diagonal parece perfectamente constructivo.
De hecho, el argumento diagonal de Cantor puede presentarse de manera constructiva, en el sentido de que, dada una biyección entre los números naturales y los números reales, se construye un número real que no está en el rango de funciones, y por lo tanto se establece una contradicción. Se pueden enumerar algoritmos para construir una función T , sobre la que inicialmente suponemos que es una función de los números naturales sobre los reales. Pero, a cada algoritmo, puede corresponder o no un número real, ya que el algoritmo puede no satisfacer las restricciones, o incluso ser no terminal ( T es una función parcial ), por lo que no produce la biyección requerida. En resumen, quien adopta la opinión de que los números reales son (individualmente) efectivamente computables interpreta el resultado de Cantor como una demostración de que los números reales (colectivamente) no son recursivamente enumerables .
Aun así, se podría esperar que, puesto que T es una función parcial de los números naturales sobre los números reales, los números reales no son más que contables. Y, puesto que todo número natural puede representarse trivialmente como un número real, los números reales no son menos que contables. Son, por tanto, exactamente contables. Sin embargo, este razonamiento no es constructivo, ya que sigue sin construir la biyección requerida. El teorema clásico que prueba la existencia de una biyección en tales circunstancias, es decir, el teorema de Cantor-Bernstein-Schroeder , no es constructivo. Recientemente se ha demostrado que el teorema de Cantor-Bernstein-Schroeder implica la ley del medio excluido , por lo que no puede haber una prueba constructiva del teorema. [4]
El estatus del axioma de elección en las matemáticas constructivistas se complica por los diferentes enfoques de los distintos programas constructivistas. Un significado trivial de "constructivo", utilizado informalmente por los matemáticos, es "demostrable en la teoría de conjuntos de ZF sin el axioma de elección". Sin embargo, los defensores de formas más limitadas de matemáticas constructivistas afirmarían que ZF en sí no es un sistema constructivo.
En las teorías intuicionistas de la teoría de tipos (especialmente la aritmética de tipos superiores), se permiten muchas formas del axioma de elección. Por ejemplo, el axioma AC 11 puede parafrasearse para decir que para cualquier relación R en el conjunto de números reales, si se ha demostrado que para cada número real x hay un número real y tal que R ( x , y ) se cumple, entonces existe en realidad una función F tal que R ( x , F ( x )) se cumple para todos los números reales. Se aceptan principios de elección similares para todos los tipos finitos. La motivación para aceptar estos principios aparentemente no constructivos es la comprensión intuicionista de la prueba de que "para cada número real x hay un número real y tal que R ( x , y ) se cumple". Según la interpretación de BHK , esta prueba en sí misma es esencialmente la función F que se desea. Los principios de elección que aceptan los intuicionistas no implican la ley del tercio excluido .
Sin embargo, en ciertos sistemas axiomáticos de la teoría de conjuntos constructiva, el axioma de elección implica la ley del tercero excluido (en presencia de otros axiomas), como lo demuestra el teorema de Diaconescu-Goodman-Myhill . Algunas teorías de conjuntos constructivas incluyen formas más débiles del axioma de elección, como el axioma de elección dependiente en la teoría de conjuntos de Myhill.
La teoría clásica de la medida es fundamentalmente no constructiva, ya que la definición clásica de la medida de Lebesgue no describe ninguna manera de calcular la medida de un conjunto o la integral de una función. De hecho, si uno piensa en una función simplemente como una regla que "ingresa un número real y da como resultado un número real", entonces no puede haber ningún algoritmo para calcular la integral de una función, ya que cualquier algoritmo solo podría llamar a un número finito de valores de la función a la vez, y un número finito de valores no es suficiente para calcular la integral con una precisión no trivial. La solución a este enigma, llevada a cabo por primera vez en Bishop (1967), es considerar solo funciones que se escriben como el límite puntual de funciones continuas (con módulo de continuidad conocido), con información sobre la tasa de convergencia. Una ventaja de constructivizar la teoría de la medida es que si uno puede probar que un conjunto es constructivamente de medida completa, entonces hay un algoritmo para encontrar un punto en ese conjunto (de nuevo, véase Bishop (1967)).
Tradicionalmente, algunos matemáticos han sido suspicaces, si no antagónicos, hacia el constructivismo matemático, en gran parte debido a las limitaciones que creían que planteaba al análisis constructivo. Estas opiniones fueron expresadas con fuerza por David Hilbert en 1928, cuando escribió en Grundlagen der Mathematik : "Quitarle el principio del tercero excluido al matemático sería lo mismo que proscribir el telescopio al astrónomo o al boxeador el uso de sus puños". [5]
Errett Bishop , en su obra de 1967 Fundamentos del análisis constructivo , [2] trabajó para disipar estos temores desarrollando una gran cantidad de análisis tradicional en un marco constructivo.
Aunque la mayoría de los matemáticos no aceptan la tesis constructivista de que sólo las matemáticas realizadas con métodos constructivos son sólidas, los métodos constructivos son cada vez más interesantes por razones no ideológicas. Por ejemplo, las pruebas constructivas en el análisis pueden asegurar la extracción de testigos, de tal manera que trabajar dentro de las limitaciones de los métodos constructivos puede hacer que encontrar testigos de teorías sea más fácil que usar métodos clásicos. También se han encontrado aplicaciones para las matemáticas constructivas en los cálculos lambda tipificados , la teoría de topos y la lógica categórica , que son temas notables en las matemáticas fundamentales y la informática . En álgebra, para entidades como los topos y las álgebras de Hopf , la estructura admite un lenguaje interno que es una teoría constructiva; trabajar dentro de las limitaciones de ese lenguaje es a menudo más intuitivo y flexible que trabajar externamente por medios como el razonamiento sobre el conjunto de posibles álgebras concretas y sus homomorfismos .
El físico Lee Smolin escribe en Three Roads to Quantum Gravity que la teoría topos es "la forma correcta de lógica para la cosmología" (pág. 30) y "en sus primeras formas se la llamó 'lógica intuicionista'" (pág. 31). "En este tipo de lógica, las afirmaciones que un observador puede hacer sobre el universo se dividen en al menos tres grupos: aquellas que podemos juzgar como verdaderas, aquellas que podemos juzgar como falsas y aquellas sobre cuya verdad no podemos decidir en el momento presente" (pág. 28).
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