En matemáticas , un sistema conservativo es un sistema dinámico que contrasta con un sistema disipativo . En términos generales, estos sistemas no tienen fricción ni ningún otro mecanismo para disipar la dinámica y, por lo tanto, su espacio de fases no se encoge con el tiempo. Precisamente hablando, son aquellos sistemas dinámicos que tienen un conjunto errante nulo : bajo la evolución del tiempo, ninguna porción del espacio de fases "se aleja" nunca, para nunca volver a ella o volver a visitarla. Alternativamente, los sistemas conservativos son aquellos a los que se aplica el teorema de recurrencia de Poincaré . Un caso especial importante de sistemas conservativos son los sistemas dinámicos que preservan la medida .
De manera informal, los sistemas dinámicos describen la evolución temporal del espacio de fases de algún sistema mecánico. Comúnmente, dicha evolución se da mediante algunas ecuaciones diferenciales o, muy a menudo, en términos de pasos de tiempo discretos. Sin embargo, en el presente caso, en lugar de centrarse en la evolución temporal de puntos discretos, se desplaza la atención hacia la evolución temporal de conjuntos de puntos. Un ejemplo de ello serían los anillos de Saturno : en lugar de seguir la evolución temporal de los granos de arena individuales en los anillos, se está interesado en la evolución temporal de la densidad de los anillos: cómo la densidad se adelgaza, se extiende o se concentra. En escalas de tiempo cortas (cientos de miles de años), los anillos de Saturno son estables y, por lo tanto, son un ejemplo razonable de un sistema conservativo y, más precisamente, un sistema dinámico que preserva la medida. Preserva la medida, ya que el número de partículas en los anillos no cambia y, según la mecánica orbital newtoniana, el espacio de fases es incompresible: puede estirarse o comprimirse, pero no encogerse (este es el contenido del teorema de Liouville ).
Formalmente, un sistema dinámico medible es conservativo si y sólo si no es singular y no tiene conjuntos errantes. [1]
Un sistema dinámico medible ( X , Σ, μ , τ ) es un espacio de Borel ( X , Σ ) dotado de una medida sigma-finita μ y una transformación τ . Aquí, X es un conjunto , y Σ es una sigma-álgebra sobre X , de modo que el par ( X , Σ ) es un espacio medible . μ es una medida sigma-finita sobre la sigma-álgebra. El espacio X es el espacio de fases del sistema dinámico.
Se dice que una transformación (una función) es Σ-medible si y solo si, para cada σ ∈ Σ, se tiene . La transformación es un único "paso temporal" en la evolución del sistema dinámico. Nos interesan las transformaciones invertibles, de modo que el estado actual del sistema dinámico provenga de un estado pasado bien definido.
Una transformación medible se llama no singular cuando si y solo si . [2] En este caso, el sistema ( X , Σ, μ , τ ) se llama un sistema dinámico no singular . La condición de ser no singular es necesaria para que un sistema dinámico sea adecuado para modelar sistemas (no en equilibrio). Es decir, si una determinada configuración del sistema es "imposible" (es decir ) entonces debe seguir siendo "imposible" (siempre fue imposible: ), pero de lo contrario, el sistema puede evolucionar arbitrariamente. Los sistemas no singulares conservan los conjuntos despreciables, pero no están obligados a conservar ninguna otra clase de conjuntos. El sentido de la palabra singular aquí es el mismo que en la definición de una medida singular en el sentido de que ninguna porción de es singular con respecto a y viceversa.
Un sistema dinámico no singular al que se le llama invariante o, más comúnmente, un sistema dinámico que preserva la medida .
Un sistema dinámico no singular es conservativo si, para cada conjunto de medidas positivas y para cada , se tiene algún entero tal que . De manera informal, esto se puede interpretar como que el estado actual del sistema vuelve a visitar o se acerca arbitrariamente a un estado anterior; consulte la recurrencia de Poincaré para obtener más información.
Una transformación no singular es incompresible si, siempre que se tiene , entonces .
Para una transformación no singular , las siguientes afirmaciones son equivalentes: [1] [3] [4]
Lo anterior implica que, si y preserva la medida, entonces el sistema dinámico es conservativo. Esta es efectivamente la formulación moderna del teorema de recurrencia de Poincaré . En el artículo sobre la descomposición de Hopf se ofrece un esbozo de una prueba de la equivalencia de estas cuatro propiedades .
Supóngase que y preserva la medida. Sea un conjunto errante de . Por definición de conjuntos errantes y puesto que preserva , contendría por tanto una unión infinita numerable de conjuntos disjuntos por pares que tienen la misma medida que . Puesto que se supuso , se deduce que es un conjunto nulo, y por tanto todos los conjuntos errantes deben ser conjuntos nulos.
Esta argumentación falla incluso para los ejemplos más simples si . De hecho, considere por ejemplo , donde denota la medida de Lebesgue , y considere el operador de desplazamiento . Dado que la medida de Lebesgue es invariante a la traducción, es preservadora de la medida. Sin embargo, no es conservadora. De hecho, cada intervalo de longitud estrictamente menor que contenido en es errante. En particular, puede escribirse como una unión contable de conjuntos errantes.
La descomposición de Hopf establece que todo espacio de medida con una transformación no singular puede descomponerse en un conjunto conservativo invariante y un conjunto errante (disipativo). Un ejemplo informal común de descomposición de Hopf es la mezcla de dos líquidos (algunos libros de texto mencionan el ron y la coca cola): el estado inicial, donde los dos líquidos aún no se mezclan, nunca puede volver a repetirse después de la mezcla; es parte del conjunto disipativo. Lo mismo ocurre con cualquiera de los estados parcialmente mezclados. El resultado, después de la mezcla (un cuba libre , en el ejemplo canónico), es estable y forma el conjunto conservativo; una mezcla posterior no lo altera. En este ejemplo, el conjunto conservativo también es ergódico: si se añadiera una gota más de líquido (por ejemplo, zumo de limón), no se quedaría en un lugar, sino que se mezclaría en todas partes. Una advertencia sobre este ejemplo: aunque los sistemas de mezcla son ergódicos, los sistemas ergódicos no son , en general, sistemas de mezcla. La mezcla implica una interacción que puede no existir. El ejemplo canónico de un sistema ergódico que no se mezcla es el proceso de Bernoulli : es el conjunto de todas las posibles secuencias infinitas de lanzamientos de moneda (equivalentemente, el conjunto de cadenas infinitas de ceros y unos); cada lanzamiento de moneda individual es independiente de los demás.
El teorema de descomposición ergódica establece, en líneas generales, que todo sistema conservativo se puede dividir en componentes, cada uno de los cuales es individualmente ergódico . Un ejemplo informal de esto sería una tina, con un divisor en el medio, con líquidos llenando cada compartimento. El líquido de un lado puede claramente mezclarse consigo mismo, y también el del otro, pero, debido a la partición, los dos lados no pueden interactuar. Claramente, esto se puede tratar como dos sistemas independientes; la fuga entre los dos lados, de medida cero, se puede ignorar. El teorema de descomposición ergódica establece que todos los sistemas conservativos se pueden dividir en tales partes independientes, y que esta división es única (salvo diferencias de medida cero). Así, por convención, el estudio de los sistemas conservativos se convierte en el estudio de sus componentes ergódicos.
Formalmente, todo sistema ergódico es conservativo. Recordemos que un conjunto invariante σ ∈ Σ es aquel para el cual τ ( σ ) = σ . Para un sistema ergódico, los únicos conjuntos invariantes son aquellos con medida cero o con medida completa (son nulos o son conull ); que sean conservativos se sigue trivialmente de esto.
Cuando τ es ergódico, las siguientes afirmaciones son equivalentes: [1]
