Cono convexo

Conjunto matemático cerrado bajo combinaciones lineales positivas.

Un cono convexo (azul claro). En su interior, el cono convexo de color rojo claro consta de todos los puntos αx + βy con α, β > 0 , para las x e y representadas . Las curvas en la parte superior derecha simbolizan que las regiones tienen una extensión infinita.

En álgebra lineal , un cono (a veces llamado cono lineal para distinguirlo de otros tipos de conos) es un subconjunto de un espacio vectorial que está cerrado bajo multiplicación escalar positiva; es decir, C es un cono si implica para todo escalar positivo s . Un cono no tiene por qué ser convexo, ni siquiera parecerse a un cono en el espacio euclidiano . ${\displaystyle x\in C}$ ${\displaystyle sx\in C}$

Cuando los escalares son números reales, o pertenecen a un cuerpo ordenado , generalmente se llama cono a un subconjunto de un espacio vectorial que está cerrado bajo la multiplicación por un escalar positivo . En este contexto, un cono convexo es un cono que se cierra bajo suma o, de manera equivalente, un subconjunto de un espacio vectorial que se cierra bajo combinaciones lineales con coeficientes positivos. De ello se deduce que los conos convexos son conjuntos convexos . ^[1]

En este artículo sólo se considera el caso de escalares en un campo ordenado.

Definición

Un subconjunto C de un espacio vectorial V sobre un campo ordenado F es un cono ( o a veces llamado cono lineal ) si para cada x en C y un escalar positivo α en F , el producto αx está en C. ^[2] Tenga en cuenta que algunos autores definen el cono con el escalar α que abarca todos los escalares no negativos (en lugar de todos los escalares positivos, que no incluyen 0). ^[3]

Un cono C es un cono convexo si αx + βy pertenece a C , para cualquier escalar positivo α , β y cualquier x , y en C. ^{[4] [5]} Un cono C es convexo si y sólo si C + C ⊆ C .

Este concepto es significativo para cualquier espacio vectorial que permita el concepto de escalar "positivo", como espacios sobre los números racionales , algebraicos o (más comúnmente) reales . Tenga en cuenta también que los escalares en la definición son positivos, lo que significa que el origen no tiene por qué pertenecer a C. Algunos autores utilizan una definición que garantiza que el origen pertenece a C. ^[6] Debido a los parámetros de escala α y β , los conos son infinitos en extensión y no están acotados.

Si C es un cono convexo, entonces para cualquier escalar positivo α y cualquier x en C el vector. Se deduce que un cono convexo C es un caso especial de cono lineal . ${\displaystyle \alpha x={\tfrac {\alpha }{2}}x+{\tfrac {\alpha }{2}}x\in C.}$

De la propiedad anterior se deduce que un cono convexo también se puede definir como un cono lineal que está cerrado bajo combinaciones convexas , o simplemente bajo adiciones . De manera más sucinta, un conjunto C es un cono convexo si y sólo si αC = C y C + C = C , para cualquier escalar positivo α .

Ejemplos

Cono convexo que no es un casco cónico de un número finito de generadores.

Cono convexo generado por la combinación cónica de los tres vectores negros.

Un cono (la unión de dos rayos) que no es un cono convexo.

• Para un espacio vectorial V , el conjunto vacío, el espacio V y cualquier subespacio lineal de V son conos convexos.
• La cáscara cónica de un conjunto finito o infinito de vectores es un cono convexo. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• Los conos tangentes de un conjunto convexo son conos convexos.
• El conjunto
  $${\displaystyle \left\{x\in \mathbb {R} ^{2}\mid x_{2}\geq 0,x_{1}=0\right\}\cup \left\{x\in \mathbb {R} ^{2}\mid x_{1}\geq 0,x_{2}=0\right\}}$$
  es un cono pero no un cono convexo.
• El cono de norma
  $${\displaystyle \left\{(x,r)\in \mathbb {R} ^{d+1}\mid \|x\|\leq r\right\}}$$
  es un cono convexo.
• La intersección de dos conos convexos en el mismo espacio vectorial es nuevamente un cono convexo, pero su unión puede no serlo.
• La clase de conos convexos también está cerrada bajo aplicaciones lineales arbitrarias . En particular, si C es un cono convexo, también lo es su opuesto y es el subespacio lineal más grande contenido en C. ${\displaystyle -C}$ ${\displaystyle C\cap -C}$
• El conjunto de matrices semidefinidas positivas .
• El conjunto de funciones continuas no negativas es un cono convexo.

Ejemplos especiales

Conos convexos afines

Un cono convexo afín es el conjunto resultante de aplicar una transformación afín a un cono convexo. ^[7] Un ejemplo común es trasladar un cono convexo por un punto p : p + C . Técnicamente, tales transformaciones pueden producir no conos. Por ejemplo, a menos que p = 0 , p + C no sea un cono lineal. Sin embargo, todavía se le llama cono convexo afín.

Medios espacios

Un hiperplano (lineal) es un conjunto en la forma donde f es un funcional lineal en el espacio vectorial V. Un semiespacio cerrado es un conjunto en la forma o y, de la misma manera, un semiespacio abierto usa una desigualdad estricta. ^{[8] [9]} ${\displaystyle \{x\in V\mid f(x)=c\}}$ ${\displaystyle \{x\in V\mid f(x)\leq c\}}$ ${\displaystyle \{x\in V\mid f(x)\geq c\},}$

Los semiespacios (abiertos o cerrados) son conos convexos afines. Además (en dimensiones finitas), cualquier cono convexo C que no sea todo el espacio V debe estar contenido en algún semiespacio cerrado H de V ; Este es un caso especial del lema de Farkas .

Conos poliédricos y finitamente generados.

Los conos poliédricos son tipos especiales de conos que se pueden definir de varias maneras: ^{[10] : 256–257}

• Un cono C es poliédrico si es la cáscara cónica de un número finito de vectores (esta propiedad también se llama generada finitamente ). ^{[11] [12]} Es decir, existe un conjunto de vectores tal que . ${\displaystyle \{v_{1},\ldots ,v_{k}\}}$ ${\displaystyle C=\{a_{1}v_{1}+\cdots +a_{k}v_{k}\mid a_{i}\in \mathbb {R} _{\geq 0},v_{i}\in \mathbb {R} ^{n}\}}$
• Un cono es poliédrico si es la intersección de un número finito de semiespacios que tienen 0 en su límite (esto lo demostró Weyl en 1935).
• Un cono C es poliédrico si existe alguna matriz tal que . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C=\{x\in \mathbb {R} ^{n}\mid Ax\geq 0\}}$
• Un cono es poliédrico si es el conjunto solución de un sistema de desigualdades lineales homogéneas. Algebraicamente, cada desigualdad está definida por una fila de la matriz A. Geométricamente, cada desigualdad define un semiespacio que pasa por el origen.

Todo cono finitamente generado es un cono poliédrico, y todo cono poliédrico es un cono finitamente generado. ^[11] Cada cono poliédrico tiene una representación única como un casco cónico de sus generadores extremos, y una representación única de intersecciones de semiespacios, dado que cada forma lineal asociada con los semiespacios también define un hiperplano de soporte de una faceta. ^[13]

Los conos poliédricos juegan un papel central en la teoría de la representación de los poliedros . Por ejemplo, el teorema de descomposición de los poliedros establece que cada poliedro se puede escribir como la suma de Minkowski de un politopo convexo y un cono poliédrico. ^{[14] [15]} Los conos poliédricos también juegan un papel importante en la demostración del teorema de base finita relacionado para politopos que muestra que cada politopo es un poliedro y cada poliedro acotado es un politopo. ^{[14] [16] [17]}

Las dos representaciones de un cono poliédrico, mediante desigualdades y mediante vectores, pueden tener tamaños muy diferentes. Por ejemplo, considere el cono de todas las matrices n por n no negativas con sumas iguales de filas y columnas. La representación de desigualdad requiere n ² desigualdades y 2 ( n − 1) ecuaciones, pero la representación vectorial requiere n ! vectores (ver el Teorema de Birkhoff-von Neumann ). También puede ocurrir lo contrario: el número de vectores puede ser polinómico mientras que el número de desigualdades es exponencial. ^{[10] : 256}

Las dos representaciones juntas proporcionan una forma eficaz de decidir si un vector dado está en el cono: para mostrar que está en el cono, basta con presentarlo como una combinación cónica de los vectores que lo definen; para demostrar que no está en el cono, basta con presentar una única desigualdad definitoria que viole. Este hecho se conoce como lema de Farkas .

Un punto sutil en la representación por vectores es que el número de vectores puede ser exponencial en la dimensión, por lo que la prueba de que un vector está en el cono podría ser exponencialmente larga. Afortunadamente, el teorema de Carathéodory garantiza que cada vector en el cono puede representarse como máximo por d vectores que definen, donde d es la dimensión del espacio.

Conos romos, puntiagudos, planos, salientes y propios.

Según la definición anterior, si C es un cono convexo, entonces C ∪ { 0 } también es un cono convexo. Se dice que un cono convexo esapuntado si0está enC, ycontundente si0no está enC.^[2][18]Los conos romos pueden excluirse de la definición de cono convexo sustituyendo "no negativo" por "positivo" en la condición de α, β.

Un cono se llama plano si contiene algún vector x distinto de cero y su opuesto - x, lo que significa que C contiene un subespacio lineal de dimensión al menos uno, y saliente en caso contrario. ^{[19] [20]} Un cono convexo romo es necesariamente saliente, pero lo contrario no es necesariamente cierto. Un cono convexo C es saliente si y sólo si C ∩ − C ⊆ { 0 }. Se dice que un cono C se genera si es igual a todo el espacio vectorial. ^[21] ${\displaystyle C-C=\{x-y\mid x\in C,y\in C\}}$

Algunos autores exigen que los conos salientes sean puntiagudos. ^[22] El término "puntiagudo" también se utiliza a menudo para referirse a un cono cerrado que no contiene una línea completa (es decir, ningún subespacio no trivial del espacio vectorial ambiental V , o lo que se llama un cono saliente). ^{[23] [24] [25]} El término cono propio ( convexo ) se define de diversas formas, según el contexto y el autor. A menudo significa un cono que satisface otras propiedades como ser convexo, cerrado, puntiagudo, saliente y de dimensiones completas. ^{[26] [27] [28]} Debido a estas diferentes definiciones, se debe consultar el contexto o la fuente para la definición de estos términos.

Conos racionales

Un tipo de cono de particular interés para los matemáticos puros es el conjunto parcialmente ordenado de conos racionales. "Los conos racionales son objetos importantes en geometría algebraica tórica, álgebra conmutativa combinatoria, combinatoria geométrica y programación entera". ^[29] Este objeto surge cuando estudiamos los conos junto con la red . Un cono se llama racional (aquí asumimos que es "puntiagudo", como se definió anteriormente) siempre que todos sus generadores tengan coordenadas enteras , es decir, si es un cono racional, entonces . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{d}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C=\{a_{1}v_{1}+\cdots +a_{k}v_{k}\mid a_{i}\in \mathbb {R} _{+},v_{i}\in \mathbb {Z} ^{d}\}}$

cono doble

Sea C ⊂ V un conjunto, no necesariamente un conjunto convexo, en un espacio vectorial real V equipado con un producto interno . El cono dual (continuo o topológico) de C es el conjunto

${\displaystyle C^{*}=\{v\in V\mid \forall w\in C,\langle w,v\rangle \geq 0\},}$

que es siempre un cono convexo. Aquí, está el emparejamiento de dualidad entre C y V , es decir . ${\displaystyle \langle w,v\rangle }$ ${\displaystyle \langle w,v\rangle =v(w)}$

De manera más general, el cono dual (algebraico) de C ⊂ V en un espacio lineal V es un subconjunto del espacio dual V* definido por:

${\displaystyle C^{*}:=\left\{v\in V^{*}\mid \forall w\in C,v(w)\geq 0\right\}.}$

En otras palabras, si V* es el espacio dual algebraico de V , C* es el conjunto de funcionales lineales que son no negativos en el cono primario C. Si tomamos V* como el espacio dual continuo , entonces es el conjunto de funcionales lineales continuos no negativos en C. ^[30] Esta noción no requiere la especificación de un producto interno en V.

En dimensiones finitas, las dos nociones de cono dual son esencialmente las mismas porque cada funcional lineal de dimensión finita es continua, ^[31] y cada funcional lineal continua en un espacio producto interno induce un isomorfismo lineal (mapa lineal no singular) de V* a V , y este isomorfismo llevará el cono dual dado por la segunda definición, en V* , al dado por la primera definición; ver el teorema de representación de Riesz . ^[30]

Si C es igual a su cono dual, entonces C se llama autodual . Se puede decir que un cono es autodual sin referencia a ningún producto interno dado, si existe un producto interno con respecto al cual es igual a su dual según la primera definición.

Construcciones

• Dado un subconjunto cerrado y convexo K del espacio de Hilbert V , el cono normal hacia afuera al conjunto K en el punto x en K viene dado por

  ${\displaystyle N_{K}(x)=\left\{p\in V\colon \forall x^{*}\in K,\left\langle p,x^{*}-x\right\rangle \leq 0\right\}.}$

• Dado un subconjunto K cerrado y convexo de V , el cono tangente (o cono contingente ) al conjunto K en el punto x viene dado por

  ${\displaystyle T_{K}(x)={\overline {\bigcup _{h>0}{\frac {K-x}{h}}}}.}$

• Dado un subconjunto K cerrado y convexo del espacio de Hilbert V , el cono tangente al conjunto K en el punto x en K se puede definir como un cono polar al cono normal hacia afuera : ${\displaystyle N_{K}(x)}$

  ${\displaystyle T_{K}(x)=N_{K}^{o}(x)\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ \{y\in V\mid \forall \xi \in N_{K}(x):\langle y,\xi \rangle \leqslant 0\}}$

Tanto el cono normal como el tangente tienen la propiedad de ser cerrados y convexos.

Son conceptos importantes en los campos de la optimización convexa , las desigualdades variacionales y los sistemas dinámicos proyectados .

Propiedades

Si C es un cono convexo no vacío en X , entonces el tramo lineal de C es igual a C - C y el subespacio vectorial más grande de X contenido en C es igual a C ∩ (− C ). ^[32]

Orden parcial definido por un cono convexo

Un cono convexo puntiagudo y saliente C induce un ordenamiento parcial "≥" en V , definido de modo que si y sólo si (si el cono es plano, la misma definición da simplemente un preorden ). Sumas y múltiplos escalares positivos de desigualdades válidas con respecto a este orden siguen siendo desigualdades válidas. Un espacio vectorial con tal orden se llama espacio vectorial ordenado . Los ejemplos incluyen el orden del producto en vectores de valores reales y el orden de Loewner en matrices semidefinidas positivas. Este orden se encuentra comúnmente en la programación semidefinida . ${\displaystyle x\geq y}$ ${\displaystyle x-y\in C.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$

Ver también

• Cono (desambiguación)
  • Cono (geometría)
  • Cono (topología)
• El lema de Farkas
• teorema bipolar
• Espacio vectorial ordenado

Notas

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3. C. Zalinescu (1 de enero de 2002). Análisis convexo en espacios vectoriales generales. Científico mundial. pag. 1.ISBN​ 978-981-238-067-8.
4. Nef, Walter (1 de enero de 1988). Álgebra lineal. Corporación de mensajería. pag. 35.ISBN​ 9780486657721.
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Referencias

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