Cono tangente

Generalization of the tangent space to a manifold to the case of certain spaces

En geometría , el cono tangente es una generalización de la noción de espacio tangente a una variedad para el caso de ciertos espacios con singularidades.

Definiciones en análisis no lineal

En el análisis no lineal, existen muchas definiciones para un cono tangente, incluido el cono adyacente, el cono contingente de Bouligand y el cono tangente de Clarke . Estos tres conos coinciden en un conjunto convexo, pero pueden diferir en conjuntos más generales.

Cono tangente de Clarke

Sea un subconjunto cerrado no vacío del espacio de Banach . El cono tangente de Clarke a at , denotado por, consta de todos los vectores , de modo que para cualquier secuencia que tienda a cero y cualquier secuencia que tienda a , existe una secuencia que tiende a , tal que para todos se cumple ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x_{0}\in A}$ ${\displaystyle {\widehat {T}}_{A}(x_{0})}$ ${\displaystyle v\in X}$ ${\displaystyle \{t_{n}\}_{n\geq 1}\subset \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \{x_{n}\}_{n\geq 1}\subset A}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle \{v_{n}\}_{n\geq 1}\subset X}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle x_{n}+t_{n}v_{n}\in A}$

El cono tangente de Clarke es siempre un subconjunto del cono contingente correspondiente (y coincide con él, cuando el conjunto en cuestión es convexo). Tiene la importante propiedad de ser un cono convexo cerrado.

Definición en geometría convexa.

Sea K un subconjunto convexo cerrado de un espacio vectorial real V y ∂ K sea la frontera de K. El cono sólido tangente a K en un punto x ∈ ∂ K es el cierre del cono formado por todas las medias líneas (o rayos) que emanan de x y que cortan a K en al menos un punto y distinto de x . Es un cono convexo en V y también se puede definir como la intersección de los semiespacios cerrados de V que contienen K y están delimitados por los hiperplanos de soporte de K en x . El límite T _K del cono tangente sólido es el cono tangente a K y ∂ K en x . Si este es un subespacio afín de V , entonces el punto x se llama punto suave de ∂ K y se dice que ∂ K es diferenciable en x y T _K es el espacio tangente ordinario a ∂ K en x .

Definición en geometría algebraica

y ² = x ³ + x ² (rojo) con cono tangente (azul)

Sea X una variedad algebraica afín incrustada en el espacio afín , con ideal definitorio . Para cualquier polinomio f , sea la componente homogénea de f de menor grado, el término inicial de f , y sea ${\displaystyle k^{n}}$ ${\displaystyle I\subset k[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$ ${\displaystyle \operatorname {in} (f)}$

${\displaystyle \operatorname {in} (I)\subset k[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$

ser el ideal homogéneo que está formado por los términos iniciales de todos , el ideal inicial de I. El cono tangente a X en el origen es el subconjunto cerrado de Zariski definido por el ideal . Al desplazar el sistema de coordenadas, esta definición se extiende a un punto arbitrario en lugar del origen. El cono tangente sirve como extensión de la noción de espacio tangente a X en un punto regular, donde X se parece más a una variedad diferenciable , a todo X. (El cono tangente en un punto que no está contenido en X está vacío). ${\displaystyle \operatorname {in} (f)}$ ${\displaystyle f\in I}$ ${\displaystyle k^{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {in} (I)}$ ${\displaystyle k^{n}}$ ${\displaystyle k^{n}}$

Por ejemplo, la curva nodal

${\displaystyle C:y^{2}=x^{3}+x^{2}}$

es singular en el origen, porque ambas derivadas parciales de f ( x , y ) = y ² − x ³ − x ² desaparecen en (0, 0). Por tanto, el espacio tangente de Zariski a C en el origen es todo el plano y tiene una dimensión mayor que la curva misma (dos versus uno). Por otro lado, el cono tangente es la unión de las rectas tangentes a las dos ramas de C en el origen,

${\displaystyle x=y,\quad x=-y.}$

Su ideal definitorio es el ideal principal de k [ x ] generado por el término inicial de f , es decir y ² − x ² = 0.

La definición de cono tangente puede extenderse a variedades algebraicas abstractas, e incluso a esquemas noetherianos generales . Sea X una variedad algebraica , x un punto de X y ( O _{X , x} , m ) el anillo local de X en x . Entonces el cono tangente a X en x es el espectro del anillo graduado asociado de O _{X , x} con respecto a la filtración m -ádica :

${\displaystyle \operatorname {gr} _{m}O_{X,x}=\bigoplus _{i\geq 0}m^{i}/m^{i+1}.}$

Si miramos nuestro ejemplo anterior, podemos ver que las piezas calificadas contienen la misma información. Entonces deja

${\displaystyle ({\mathcal {O}}_{X,x},{\mathfrak {m}})=\left(\left({\frac {k[x,y]}{(y^{2}-x^{3}-x^{2})}}\right)_{(x,y)},(x,y)\right)}$

entonces, si expandimos el anillo graduado asociado

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {gr} _{m}O_{X,x}&={\frac {{\mathcal {O}}_{X,x}}{(x,y)}}\oplus {\frac {(x,y)}{(x,y)^{2}}}\oplus {\frac {(x,y)^{2}}{(x,y)^{3}}}\oplus \cdots \\&=k\oplus {\frac {(x,y)}{(x,y)^{2}}}\oplus {\frac {(x,y)^{2}}{(x,y)^{3}}}\oplus \cdots \end{aligned}}}$

podemos ver que el polinomio que define nuestra variedad

${\displaystyle y^{2}-x^{3}-x^{2}\equiv y^{2}-x^{2}}$en ${\displaystyle {\frac {(x,y)^{2}}{(x,y)^{3}}}}$

Ver también

• Cono
• cono de monge
• cono normal

Referencias

• MI Voitsekhovskii (2001) [1994], "Cono tangente", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Aubin, J.-P., Frankowska, H. (2009). "Conos tangentes". Análisis de valores establecidos . Clásicos modernos de Birkhäuser. Birkhäuser. págs. 117-177. doi :10.1007/978-0-8176-4848-0_4. ISBN 978-0-8176-4848-0.