Cono tangente

Generalización del espacio tangente a una variedad al caso de ciertos espacios

En geometría , el cono tangente es una generalización de la noción de espacio tangente a una variedad para el caso de ciertos espacios con singularidades .

Definiciones en análisis no lineal

En el análisis no lineal, existen muchas definiciones de cono tangente, entre ellas, el cono adyacente, el cono contingente de Bouligand y el cono tangente de Clarke . Estos tres conos coinciden en un conjunto convexo, pero pueden diferir en conjuntos más generales.

Cono tangente de Clarke

Sea un subconjunto cerrado no vacío del espacio de Banach . El cono tangente de Clarke a en , denotado por consta de todos los vectores , tales que para cualquier sucesión que tienda a cero, y cualquier sucesión que tienda a , existe una sucesión que tienda a , tal que para todos se cumple ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x_{0}\in A}$ ${\displaystyle {\widehat {T}}_{A}(x_{0})}$ ${\displaystyle v\in X}$ ${\displaystyle \{t_{n}\}_{n\geq 1}\subset \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \{x_{n}\}_{n\geq 1}\subset A}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle \{v_{n}\}_{n\geq 1}\subset X}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle x_{n}+t_{n}v_{n}\in A}$

El cono tangente de Clarke es siempre un subconjunto del cono contingente correspondiente (y coincide con él, cuando el conjunto en cuestión es convexo). Tiene la importante propiedad de ser un cono convexo cerrado.

Definición en geometría convexa

Sea K un subconjunto convexo cerrado de un espacio vectorial real V y ∂ K el límite de K . El cono sólido tangente a K en un punto x ∈ ∂ K es el cierre del cono formado por todas las semirrectas (o rayos) que emanan de x e intersecan a K en al menos un punto y distinto de x . Es un cono convexo en V y también puede definirse como la intersección de los semiespacios cerrados de V que contienen a K y están acotados por los hiperplanos de soporte de K en x . El límite T _K del cono sólido tangente es el cono tangente a K y ∂ K en x . Si este es un subespacio afín de V entonces el punto x se llama un punto suave de ∂ K y se dice que ∂ K es diferenciable en x y T _K es el espacio tangente ordinario a ∂ K en x .

Definición en geometría algebraica

y ² = x ³ + x ² (rojo) con cono tangente (azul)

Sea X una variedad algebraica afín embebida en el espacio afín , con ideal definitorio . Para cualquier polinomio f , sea el componente homogéneo de f de grado más bajo, el término inicial de f , y sea ${\displaystyle k^{n}}$ ${\displaystyle I\subset k[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$ ${\displaystyle \operatorname {in} (f)}$

${\displaystyle \operatorname {in} (I)\subset k[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$

sea ​​el ideal homogéneo que está formado por los términos iniciales para todo , el ideal inicial de I . El cono tangente a X en el origen es el subconjunto cerrado de Zariski de definido por el ideal . Al desplazar el sistema de coordenadas, esta definición se extiende a un punto arbitrario de en lugar del origen. El cono tangente sirve como extensión de la noción de espacio tangente a X en un punto regular, donde X se asemeja más a una variedad diferenciable , a todo X . (El cono tangente en un punto de que no está contenido en X está vacío). ${\displaystyle \operatorname {in} (f)}$ ${\displaystyle f\in I}$ ${\displaystyle k^{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {in} (I)}$ ${\displaystyle k^{n}}$ ${\displaystyle k^{n}}$

Por ejemplo, la curva nodal

${\displaystyle C:y^{2}=x^{3}+x^{2}}$

es singular en el origen, porque ambas derivadas parciales de f ( x , y ) = y ² − x ³ − x ² se anulan en (0, 0). Por lo tanto, el espacio tangente de Zariski a C en el origen es todo el plano y tiene mayor dimensión que la curva misma (dos frente a una). Por otra parte, el cono tangente es la unión de las rectas tangentes a las dos ramas de C en el origen,

${\displaystyle x=y,\quad x=-y.}$

Su ideal definitorio es el ideal principal de k [ x ] generado por el término inicial de f , es decir y ² − x ² = 0.

La definición del cono tangente puede extenderse a variedades algebraicas abstractas, e incluso a esquemas noetherianos generales . Sea X una variedad algebraica , x un punto de X y ( O _{X , x} , m ) el anillo local de X en x . Entonces el cono tangente a X en x es el espectro del anillo graduado asociado de O _{X , x} con respecto a la filtración m -ádica :

${\displaystyle \operatorname {gr} _{m}{\mathcal {O}}_{X,x}=\bigoplus _{i\geq 0}m^{i}/m^{i+1}.}$

Si observamos nuestro ejemplo anterior, podemos ver que las piezas clasificadas contienen la misma información. Así que,

${\displaystyle ({\mathcal {O}}_{X,x},{\mathfrak {m}})=\left(\left({\frac {k[x,y]}{(y^{2}-x^{3}-x^{2})}}\right)_{(x,y)},(x,y)\right)}$

Entonces, si expandimos el anillo graduado asociado

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {gr} _{m}{\mathcal {O}}_{X,x}&={\frac {{\mathcal {O}}_{X,x}}{(x,y)}}\oplus {\frac {(x,y)}{(x,y)^{2}}}\oplus {\frac {(x,y)^{2}}{(x,y)^{3}}}\oplus \cdots \\&=k\oplus {\frac {(x,y)}{(x,y)^{2}}}\oplus {\frac {(x,y)^{2}}{(x,y)^{3}}}\oplus \cdots \end{aligned}}}$

podemos ver que el polinomio que define nuestra variedad

${\displaystyle y^{2}-x^{3}-x^{2}\equiv y^{2}-x^{2}}$en ${\displaystyle {\frac {(x,y)^{2}}{(x,y)^{3}}}}$

Véase también

• Cono
• Cono de Monge
• Cono normal

Referencias

• MI Voitsekhovskii (2001) [1994], "Cono tangente", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Aubin, J.-P., Frankowska, H. (2009). "Conos tangentes". Análisis con valores de conjunto . Clásicos modernos de Birkhäuser. Birkhäuser. págs. 117–177. doi :10.1007/978-0-8176-4848-0_4. ISBN 978-0-8176-4848-0.