En geometría , un hiperplano es una generalización de un plano bidimensional en un espacio tridimensional a espacios matemáticos de dimensión arbitraria . Al igual que un plano en el espacio, un hiperplano es una hipersuperficie plana , un subespacio cuya dimensión es uno menor que la del espacio ambiental . Dos ejemplos de hiperplanos de dimensiones inferiores son líneas unidimensionales en un plano y puntos de dimensión cero en una línea.
Lo más común es que el espacio ambiental sea un espacio euclidiano de n dimensiones , en cuyo caso los hiperplanos son planos de ( n − 1) dimensiones , cada uno de los cuales separa el espacio en dos semiespacios . [1] Una reflexión a través de un hiperplano es un tipo de movimiento ( transformación geométrica que preserva la distancia entre puntos), y el grupo de todos los movimientos es generado por las reflexiones. Un politopo convexo es la intersección de semiespacios.
En geometría no euclidiana , el espacio ambiental podría ser la esfera n -dimensional o el espacio hiperbólico , o más generalmente una forma espacial pseudo-riemanniana , y los hiperplanos son las hipersuperficies que consisten en todas las geodésicas que pasan por un punto y que son perpendiculares a una normal específica. geodésico.
En otros tipos de espacios ambientales, algunas propiedades del espacio euclidiano ya no son relevantes. Por ejemplo, en el espacio afín no existe el concepto de distancia, por lo que no hay reflejos ni movimientos. En un espacio no orientable como el espacio elíptico o el espacio proyectivo , no existe el concepto de semiplanos. En general, la noción de hiperplano tiene significado en cualquier espacio matemático en el que se defina el concepto de dimensión de un subespacio .
La diferencia de dimensión entre un subespacio y su espacio ambiental se conoce como codimensión . Un hiperplano tiene codimensión 1 .
En geometría , un hiperplano de un espacio V de n dimensiones es un subespacio de dimensión n − 1, o equivalentemente, de codimensión 1 en V. El espacio V puede ser un espacio euclidiano o más generalmente un espacio afín , o un espacio vectorial o un espacio proyectivo , y la noción de hiperplano varía correspondientemente ya que la definición de subespacio difiere en estos entornos; Sin embargo, en todos los casos, cualquier hiperplano se puede dar en coordenadas como la solución de una única ecuación algebraica de grado 1 (debido a la restricción de "codimensión 1").
Si V es un espacio vectorial, se distinguen "hiperplanos vectoriales" (que son subespacios lineales y, por lo tanto, deben pasar por el origen) e "hiperplanos afines" (que no necesitan pasar por el origen; pueden obtenerse mediante la traducción de un vector hiperplano). Un hiperplano en un espacio euclidiano separa ese espacio en dos medios espacios y define una reflexión que fija el hiperplano e intercambia esos dos medios espacios.
Se definen varios tipos específicos de hiperplanos con propiedades que se adaptan bien a propósitos particulares. Algunas de estas especializaciones se describen aquí.
Un hiperplano afín es un subespacio afín de codimensión 1 en un espacio afín . En coordenadas cartesianas , dicho hiperplano se puede describir con una única ecuación lineal de la siguiente forma (donde al menos una de las s es distinta de cero y es una constante arbitraria):
En el caso de un espacio afín real, es decir, cuando las coordenadas son números reales, este espacio afín separa el espacio en dos semiespacios, que son los componentes conexos del complemento del hiperplano, y están dados por las desigualdades.
y
Por ejemplo, un punto es un hiperplano en un espacio unidimensional, una línea es un hiperplano en un espacio bidimensional y un plano es un hiperplano en un espacio tridimensional. Una línea en el espacio tridimensional no es un hiperplano y no separa el espacio en dos partes (el complemento de dicha línea está conexo).
Cualquier hiperplano de un espacio euclidiano tiene exactamente dos vectores normales unitarios: . En particular, si consideramos equipado con el producto interno convencional ( producto escalar ), entonces se puede definir el subespacio afín con traducción normal de vector y origen como el conjunto de todos los tales que .
Los hiperplanos afines se utilizan para definir límites de decisión en muchos algoritmos de aprendizaje automático , como árboles de decisión de combinación lineal (oblicuos) y perceptrones .
En un espacio vectorial, un hiperplano vectorial es un subespacio de codimensión 1, sólo posiblemente desplazado del origen por un vector, en cuyo caso se lo denomina plano . Tal hiperplano es la solución de una única ecuación lineal .
Los hiperplanos proyectivos , se utilizan en geometría proyectiva . Un subespacio proyectivo es un conjunto de puntos con la propiedad de que, para dos puntos cualesquiera del conjunto, todos los puntos de la recta determinada por los dos puntos están contenidos en el conjunto. [2] La geometría proyectiva puede verse como geometría afín con puntos de fuga (puntos en el infinito) agregados. Un hiperplano afín junto con los puntos asociados en el infinito forman un hiperplano proyectivo. Un caso especial de hiperplano proyectivo es el hiperplano infinito o ideal , que se define con el conjunto de todos los puntos en el infinito.
En el espacio proyectivo, un hiperplano no divide el espacio en dos partes; más bien, se necesitan dos hiperplanos para separar puntos y dividir el espacio. La razón de esto es que el espacio esencialmente "se envuelve" de modo que ambos lados de un hiperplano solitario están conectados entre sí.
En geometría convexa , dos conjuntos convexos disjuntos en un espacio euclidiano de n dimensiones están separados por un hiperplano, resultado llamado teorema de separación de hiperplanos .
En el aprendizaje automático , los hiperplanos son una herramienta clave para crear máquinas de vectores de soporte para tareas como la visión por computadora y el procesamiento del lenguaje natural .
El punto de datos y su valor predicho mediante un modelo lineal es un hiperplano.
El ángulo diédrico entre dos hiperplanos no paralelos de un espacio euclidiano es el ángulo entre los vectores normales correspondientes . El producto de las transformaciones en los dos hiperplanos es una rotación cuyo eje es el subespacio de codimensión 2 obtenido al cruzar los hiperplanos, y cuyo ángulo es el doble del ángulo entre los hiperplanos.
Un hiperplano H se denomina hiperplano de "soporte" del poliedro P si P está contenido en uno de los dos semiespacios cerrados delimitados por H y . [3] La intersección de P y H se define como una "cara" del poliedro. La teoría de los poliedros y la dimensión de las caras se analizan observando estas intersecciones que involucran hiperplanos.
