Disposición de hiperplanos

Partición del espacio por hiperplanos.

En geometría y combinatoria , una disposición de hiperplanos es una disposición de un conjunto finito A de hiperplanos en un espacio lineal , afín o proyectivo S. Las preguntas sobre una disposición de hiperplano A generalmente se refieren a propiedades geométricas, topológicas u otras propiedades del complemento , M ( A ), que es el conjunto que queda cuando los hiperplanos se eliminan de todo el espacio. Uno puede preguntarse cómo se relacionan estas propiedades con la disposición y su semired de intersección. La semired de intersección de A , escrita L ( A ), es el conjunto de todos los subespacios que se obtienen al intersecar algunos de los hiperplanos; entre estos subespacios se encuentran el propio S , todos los hiperplanos individuales, todas las intersecciones de pares de hiperplanos, etc. (excluyendo, en el caso afín, el conjunto vacío). Estos subespacios de intersección de A también se denominan pisos de A. La semired de intersección L ( A ) está parcialmente ordenada por inclusión inversa .

Si todo el espacio S es bidimensional, los hiperplanos son líneas ; Esta disposición a menudo se denomina disposición de líneas . Históricamente, las disposiciones reales de líneas fueron las primeras disposiciones investigadas. Si S es tridimensional, se tiene una disposición de planos .

Una disposición de hiperplano en el espacio.

teoría general

La semired de intersección y la matroide.

La semired de intersección L ( A ) es una semired de encuentro y más específicamente es una semired geométrica. Si la disposición es lineal o proyectiva, o si la intersección de todos los hiperplanos no está vacía, la red de intersección es una red geométrica . (Esta es la razón por la que la semired debe ordenarse por inclusión inversa, en lugar de por inclusión, lo que podría parecer más natural pero no produciría una (semi)red geométrica).

Cuando L ( A ) es una red, la matroide de A , escrita M ( A ), tiene A como su conjunto básico y tiene una función de rango r ( S ) := codim ( I ), donde S es cualquier subconjunto de A e I es la intersección de los hiperplanos en S . En general, cuando L ( A ) es una semired, hay una estructura análoga similar a una matroide llamada semimatroide, que es una generalización de una matroide (y tiene la misma relación con la semired de intersección que la matroide con la red en el caso de red), pero no es una matroide si L ( A ) no es una red.

Polinomios

Para un subconjunto B de A , definamos f ( B ): = la intersección de los hiperplanos en B ; esto es S si B está vacío. El polinomio característico de A , escrito p _A ( y ), se puede definir mediante

${\displaystyle p_{A}(y):=\sum _{B}(-1)^{|B|}y^{\dim f(B)},}$

sumado sobre todos los subconjuntos B de A excepto, en el caso afín, los subconjuntos cuya intersección está vacía. (La dimensión del conjunto vacío se define como −1). Este polinomio ayuda a resolver algunas preguntas básicas; vea abajo. Otro polinomio asociado con A es el polinomio del número de Whitney w _A ( x , y ), definido por

${\displaystyle w_{A}(x,y):=\sum _{B}x^{n-\dim f(B)}\sum _{C}(-1)^{|C-B|}y^{\dim f(C)},}$

sumado B ⊆ C ⊆ A tal que f ( B ) no está vacío.

Al ser una red geométrica o semired, L ( A ) tiene un polinomio característico, p _{L ( A )} ( y ), que tiene una teoría extensa (ver matroide ). Por lo tanto, es bueno saber que p _A ( y ) = y ⁱ p _{L ( A )} ( y ), donde i es la dimensión más pequeña de cualquier plano, excepto que en el caso proyectivo es igual a y ^{i + 1} p _{L ( A )} ( y ). El polinomio del número de Whitney de A está relacionado de manera similar con el de L ( A ). (El conjunto vacío se excluye de la semired en el caso afín específicamente para que estas relaciones sean válidas).

El álgebra de Orlik-Salomón

La semired de intersección determina otro invariante combinatorio del arreglo, el álgebra de Orlik-Solomon. Para definirlo, fije un subanillo conmutativo K del campo base y forme el álgebra exterior E del espacio vectorial

${\displaystyle \bigoplus _{H\in A}Ke_{H}}$

generado por los hiperplanos. Una estructura compleja de cadena se define en E con el operador de límite habitual . El álgebra de Orlik-Solomon es entonces el cociente de E por el ideal generado por elementos de la forma para los cuales tienen intersección vacía, y por límites de elementos de la misma forma para los cuales tiene codimensión menor que p . ${\displaystyle \partial }$ ${\displaystyle e_{H_{1}}\wedge \cdots \wedge e_{H_{p}}}$ ${\displaystyle H_{1},\dots ,H_{p}}$ ${\displaystyle H_{1}\cap \cdots \cap H_{p}}$

Arreglos reales

En el espacio afín real , el complemento está desconectado: está formado por piezas separadas llamadas celdas o regiones o cámaras , cada una de las cuales es una región acotada que es un politopo convexo , o una región ilimitada que es una región poliédrica convexa que va hacia el infinito. Cada piso de A también está dividido en pedazos por los hiperplanos que no contienen el piso; estas piezas se llaman caras de A. Las regiones son caras porque todo el espacio es plano. Las caras de la codimensión 1 pueden denominarse facetas de A. La semired de caras de un arreglo es el conjunto de todas las caras, ordenadas por inclusión . Agregar un elemento superior adicional a la semired de la cara da como resultado la red de la cara .

En dos dimensiones (es decir, en el plano afín real ), cada región es un polígono convexo (si está acotado) o una región poligonal convexa que se extiende hasta el infinito.

• Por ejemplo, si la disposición consta de tres líneas paralelas, la semired de intersección consta del plano y las tres líneas, pero no del conjunto vacío. Hay cuatro regiones, ninguna de ellas delimitada.
• Si agregamos una línea que cruza los tres paralelos, entonces la semired de intersección consta del plano, las cuatro líneas y los tres puntos de intersección. Hay ocho regiones, todavía ninguna de ellas delimitada.
• Si sumamos una recta más, paralela a la última, entonces quedan 12 regiones, de las cuales dos son paralelogramos acotados .

Los problemas típicos sobre una disposición en un espacio real de n dimensiones son decir cuántas regiones hay, o cuántas caras de dimensión 4, o cuántas regiones acotadas. Estas preguntas pueden responderse simplemente desde la semired de intersección. Por ejemplo, dos teoremas básicos, de Zaslavsky (1975), son que el número de regiones de una disposición afín es igual a (−1) ⁿ p _A (−1) y el número de regiones acotadas es igual a (−1) ⁿ p _A ( 1). De manera similar, el número de k caras dimensionales o caras acotadas se puede leer como el coeficiente de x ^{n − k} en (−1) ⁿ w _A (− x , −1) o (−1) ⁿ w _A (− x , 1).

Meiser (1993) diseñó un algoritmo rápido para determinar la cara de una disposición de hiperplanos que contiene un punto de entrada.

Otra cuestión sobre una disposición en el espacio real es decidir cuántas regiones son simples (la generalización n -dimensional de triángulos y tetraedros ). Esto no se puede responder basándose únicamente en la semired de intersección. El problema de McMullen pide la disposición más pequeña de una dimensión dada en posición general en el espacio proyectivo real para la cual no existe una celda tocada por todos los hiperplanos.

A real linear arrangement has, besides its face semilattice, a poset of regions, a different one for each region. This poset is formed by choosing an arbitrary base region, B₀, and associating with each region R the set S(R) consisting of the hyperplanes that separate R from B. The regions are partially ordered so that R₁ ≥ R₂ if S(R₁, R) contains S(R₂, R). In the special case when the hyperplanes arise from a root system, the resulting poset is the corresponding Weyl group with the weak order. In general, the poset of regions is ranked by the number of separating hyperplanes and its Möbius function has been computed (Edelman 1984).

Vadim Schechtman and Alexander Varchenko introduced a matrix indexed by the regions. The matrix element for the region ${\displaystyle R_{i}}$ and ${\displaystyle R_{j}}$ is given by the product of indeterminate variables ${\displaystyle a_{H}}$ for every hyperplane H that separates these two regions. If these variables are specialized to be all value q, then this is called the q-matrix (over the Euclidean domain ${\displaystyle \mathbb {Q} [q]}$) for the arrangement and much information is contained in its Smith normal form.

Complex arrangements

In complex affine space (which is hard to visualize because even the complex affine plane has four real dimensions), the complement is connected (all one piece) with holes where the hyperplanes were removed.

A typical problem about an arrangement in complex space is to describe the holes.

The basic theorem about complex arrangements is that the cohomology of the complement M(A) is completely determined by the intersection semilattice. To be precise, the cohomology ring of M(A) (with integer coefficients) is isomorphic to the Orlik–Solomon algebra on Z.

The isomorphism can be described explicitly and gives a presentation of the cohomology in terms of generators and relations, where generators are represented (in the de Rham cohomology) as logarithmic differential forms

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}{\frac {d\alpha }{\alpha }}.}$

with ${\displaystyle \alpha }$ any linear form defining the generic hyperplane of the arrangement.

Technicalities

A veces es conveniente permitir que el hiperplano degenerado , que es todo el espacio S , pertenezca a un arreglo. Si A contiene el hiperplano degenerado, entonces no tiene regiones porque el complemento está vacío. Sin embargo, todavía tiene pisos, una semired de intersección y caras. La discusión anterior supone que el hiperplano degenerado no está en la disposición.

A veces uno quiere permitir hiperplanos repetidos en la disposición. No consideramos esta posibilidad en la discusión anterior, pero no supone ninguna diferencia importante.

Ver también

• Arreglo supersoluble
• matroide orientada

Referencias

• "Disposición de hiperplanos", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Edelman, Paul H. (1984), "Un orden parcial en las regiones disecadas por hiperplanos", Transactions of the American Mathematical Society , 283 (2): 617–631, CiteSeerX 10.1.1.308.820 , doi :10.2307/1999150 , JSTOR  1999150, SEÑOR  0737888 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ .
• Meiser, Stefan (1993), "Ubicación de puntos en disposiciones de hiperplanos", Información y Computación , 106 (2): 286–303, doi : 10.1006/inco.1993.1057 , SEÑOR  1241314.
• Orlik, Peter ; Terao, Hiroaki (1992), Disposiciones de hiperplanos , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Principios fundamentales de las ciencias matemáticas], vol. 300, Berlín: Springer-Verlag, doi :10.1007/978-3-662-02772-1, ISBN 978-3-642-08137-8, señor  1217488.
• Stanley, Richard (2011). "3.11 Disposiciones de hiperplano". Combinatoria enumerativa . vol. 1 (2ª ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-1107602625.
• Zaslavsky, Thomas (1975), "Hacer frente a los arreglos: fórmulas de recuento de caras para particiones del espacio por hiperplanos", Memorias de la Sociedad Matemática Estadounidense , 1 (154), Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense , doi :10.1090/memo /0154, SEÑOR  0357135.