Cono dual y cono polar

Conceptos del análisis convexo

Un conjunto C y su cono dual C ^* .

Un conjunto C y su cono polar C ^o . El cono dual y el cono polar son simétricos entre sí con respecto al origen.

El cono dual y el cono polar son conceptos estrechamente relacionados en el análisis convexo , una rama de las matemáticas .

Cono doble

En un espacio vectorial

El cono dual C ^* de un subconjunto C en un espacio lineal X sobre los reales , por ejemplo el espacio euclidiano R ⁿ , con espacio dual X ^* es el conjunto

${\displaystyle C^{*}=\left\{y\in X^{*}:\langle y,x\rangle \geq 0\quad \forall x\in C\right\},}$

donde es el emparejamiento de dualidad entre X y X ^* , es decir . ${\displaystyle \langle y,x\rangle }$ ${\displaystyle \langle y,x\rangle =y(x)}$

C ^* es siempre un cono convexo , incluso si C no es ni convexo ni un cono .

En un espacio vectorial topológico

Si X es un espacio vectorial topológico sobre los números reales o complejos, entonces el cono dual de un subconjunto C ⊆ X es el siguiente conjunto de funcionales lineales continuos en X :

${\displaystyle C^{\prime }:=\left\{f\in X^{\prime }:\operatorname {Re} \left(f(x)\right)\geq 0{\text{ for all }}x\in C\right\}}$, ^[1]

que es la polar del conjunto - C . ^[1] No importa lo que sea C , será un cono convexo. Si C ⊆ {0} entonces . ${\displaystyle C^{\prime }}$ ${\displaystyle C^{\prime }=X^{\prime }}$

En un espacio de Hilbert (cono dual interno)

Alternativamente, muchos autores definen el cono dual en el contexto de un espacio de Hilbert real (tal como R ⁿ equipado con el producto interno euclidiano) como lo que a veces se llama el cono dual interno .

${\displaystyle C_{\text{internal}}^{*}:=\left\{y\in X:\langle y,x\rangle \geq 0\quad \forall x\in C\right\}.}$

Propiedades

Usando esta última definición para C ^* , tenemos que cuando C es un cono, se cumplen las siguientes propiedades: ^[2]

• Un vector y distinto de cero está en C ^* si y solo si se cumplen ambas condiciones siguientes:

1. y es una normal en el origen de un hiperplano que soporta C .
2. y y C se encuentran en el mismo lado de ese hiperplano de soporte.

• C ^* es cerrado y convexo.
• ${\displaystyle C_{1}\subseteq C_{2}}$implica . ${\displaystyle C_{2}^{*}\subseteq C_{1}^{*}}$
• Si C tiene interior no vacío, entonces C ^* es puntiagudo , es decir, C* no contiene ninguna línea en su totalidad.
• Si C es un cono y el cierre de C es puntiagudo, entonces C ^* tiene interior no vacío.
• C ^** es el cierre del cono convexo más pequeño que contiene a C (una consecuencia del teorema de separación de hiperplanos )

Conos auto-duales

Un cono C en un espacio vectorial X se dice que es autodual si X puede ser equipado con un producto interno ⟨⋅,⋅⟩ tal que el cono dual interno relativo a este producto interno es igual a C . ^[3] Aquellos autores que definen el cono dual como el cono dual interno en un espacio de Hilbert real suelen decir que un cono es autodual si es igual a su dual interno. Esto es ligeramente diferente de la definición anterior, que permite un cambio de producto interno. Por ejemplo, la definición anterior hace que un cono en R ⁿ con base elipsoidal sea autodual, porque el producto interno puede cambiarse para hacer que la base sea esférica, y un cono con base esférica en R ⁿ es igual a su dual interno.

El ortante no negativo de R ⁿ y el espacio de todas las matrices semidefinidas positivas son autoduales, como lo son los conos con base elipsoidal (a menudo llamados "conos esféricos", "conos de Lorentz" o, a veces, "conos de helado"). También lo son todos los conos en R ³ cuya base es la envoltura convexa de un polígono regular con un número impar de vértices. Un ejemplo menos regular es el cono en R ³ cuya base es la "casa": la envoltura convexa de un cuadrado y un punto fuera del cuadrado que forma un triángulo equilátero (de la altura adecuada) con uno de los lados del cuadrado.

Cono polar

El polar del cono convexo cerrado C es el cono convexo cerrado C ^o , y viceversa.

Para un conjunto C en X , el cono polar de C es el conjunto ^[4]

${\displaystyle C^{o}=\left\{y\in X^{*}:\langle y,x\rangle \leq 0\quad \forall x\in C\right\}.}$

Se puede observar que el cono polar es igual al negativo del cono dual, es decir C ^o = − C ^* .

Para un cono convexo cerrado C en X , el cono polar es equivalente al conjunto polar para C. [ ^5]

Véase también

• Teorema bipolar
• Conjunto polar

Referencias

1. Schaefer & Wolff 1999, págs. 215–222.
2. Boyd, Stephen P.; Vandenberghe, Lieven (2004). Optimización convexa (pdf) . Cambridge University Press. págs. 51–53. ISBN 978-0-521-83378-3. Recuperado el 15 de octubre de 2011 .
3. Iochum, Bruno, "Cônes autopolaires et algèbres de Jordan", Springer, 1984.
4. Rockafellar, R. Tyrrell (1997) [1970]. Análisis convexo . Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press. pp. 121–122. ISBN. 978-0-691-01586-6.
5. Aliprantis, CD; Border, KC (2007). Análisis de dimensión infinita: una guía para el autoestopista (3.ª ed.). Springer. pág. 215. doi :10.1007/3-540-29587-9. ISBN 978-3-540-32696-0.

Bibliografía

• Boltyanski, VG ; Martini, H.; Soltan, P. (1997). Excursiones en la geometría combinatoria . Nueva York: Springer. ISBN 3-540-61341-2.
• Goh, CJ; Yang, XQ (2002). Dualidad en optimización e inecuaciones variacionales . Londres; Nueva York: Taylor & Francis. ISBN 0-415-27479-6.
• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemáticas puras y aplicadas (segunda edición). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666.OCLC 144216834  .
• Ramm, AG (2000). Shivakumar, PN; Strauss, AV (eds.). Teoría de operadores y sus aplicaciones . Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1990-9.
• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . Vol. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer New York Imprenta Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0.OCLC 840278135  .