Objeto matemático adicional
En matemáticas, una estructura en un conjunto (o en algunos conjuntos) se refiere a proporcionarle (o proporcionarles) ciertas características adicionales (por ejemplo, una operación , una relación , una métrica o una topología ). Las características adicionales se adjuntan o relacionan con el conjunto (o con los conjuntos), de modo de proporcionarle (o proporcionarles) algún significado o importancia adicional.
Una lista parcial de posibles estructuras son medidas , estructuras algebraicas ( grupos , campos , etc.), topologías , estructuras métricas ( geometrías ), órdenes , gráficos , eventos , relaciones de equivalencia , estructuras diferenciales y categorías .
A veces, un conjunto está dotado de más de una característica simultáneamente, lo que permite a los matemáticos estudiar la interacción entre las diferentes estructuras de forma más completa. Por ejemplo, un orden impone una forma, figura o topología rígida al conjunto, y si un conjunto tiene tanto una característica topológica como una característica de grupo, de modo que estas dos características están relacionadas de una determinada manera, entonces la estructura se convierte en un grupo topológico . [1]
La correspondencia entre dos conjuntos con el mismo tipo de estructura, que preservan esta estructura [ morfismo : la estructura en el dominio se asigna correctamente a la estructura (del mismo tipo) en el codominio ] es de especial interés en muchos campos de las matemáticas. Algunos ejemplos son los homomorfismos , que preservan las estructuras algebraicas; las funciones continuas , que preservan las estructuras topológicas; y las funciones diferenciables , que preservan las estructuras diferenciales.
Historia
En 1939, el grupo francés con el seudónimo de Nicolas Bourbaki consideró que las estructuras eran la raíz de las matemáticas. Las mencionaron por primera vez en su "Fascículo" de la Teoría de conjuntos y lo ampliaron en el Capítulo IV de la edición de 1957. [2] Identificaron tres estructuras madre : algebraica, topológica y de orden . [2] [3]
Ejemplo: los números reales
El conjunto de números reales tiene varias estructuras estándar:
- Una orden: cada número es menor o mayor que cualquier otro número.
- Estructura algebraica: hay operaciones de suma y multiplicación, la primera de las cuales la convierte en un grupo y el par de ellas juntas la convierten en un cuerpo .
- Una medida: los intervalos de la recta real tienen una longitud específica , que puede extenderse a la medida de Lebesgue en muchos de sus subconjuntos .
- Una métrica: existe una noción de distancia entre puntos.
- Una geometría: está dotada de una métrica y es plana .
- Una topología: existe una noción de conjuntos abiertos .
Existen interfaces entre estos:
- Su orden e, independientemente, su estructura métrica inducen su topología.
- Su orden y estructura algebraica lo convierten en un campo ordenado .
- Su estructura algebraica y topología lo convierten en un grupo de Lie , un tipo de grupo topológico .
Véase también
Referencias
- ^ Saunders, Mac Lane (1996). "Estructura en matemáticas" (PDF) . Philosoph1A Mathemat1Ca . 4 (3): 176.
- ^ ab Corry, Leo (septiembre de 1992). "Nicolas Bourbaki y el concepto de estructura matemática". Synthese . 92 (3): 315–348. doi :10.1007/bf00414286. JSTOR 20117057. S2CID 16981077.
- ^ Wells, Richard B. (2010). Procesamiento de señales biológicas y neurociencia computacional (PDF) . pp. 296–335 . Consultado el 7 de abril de 2016 .
Lectura adicional
- Bourbaki, Nikolas (1968). “Elementos de matemáticas: teoría de conjuntos”. Hermann, Addison-Wesley. págs. 259-346, 383-385.
- Foldes, Stephan (1994). Estructuras fundamentales del álgebra y las matemáticas discretas . Hoboken: John Wiley & Sons. ISBN 9781118031438.
- Hegedus, Stephen John; Moreno-Armella, Luis (2011). "El surgimiento de estructuras matemáticas". Educational Studies in Mathematics . 77 (2): 369–388. doi :10.1007/s10649-010-9297-7. S2CID 119981368.
- Kolman, Bernard; Busby, Robert C.; Ross, Sharon Cutler (2000). Estructuras matemáticas discretas (4.ª ed.). Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. ISBN 978-0-13-083143-9.
- Malik, DS; Sen, MK (2004). Estructuras matemáticas discretas: teoría y aplicaciones . Australia: Thomson/Course Technology. ISBN 978-0-619-21558-3.
- Pudlák, Pavel (2013). "Estructuras matemáticas". Fundamentos lógicos de las matemáticas y complejidad computacional: una introducción suave . Cham: Springer. pp. 2–24. ISBN 9783319001197.
- Senechal, M. (21 de mayo de 1993). "Estructuras matemáticas". Science . 260 (5111): 1170–1173. doi :10.1126/science.260.5111.1170. PMID 17806355.
Enlaces externos
- "Estructura". PlanetMath . (Proporciona una definición teórica del modelo).
- Estructuras matemáticas en informática (revista)
