La geometría anabeliana es una teoría de la teoría de números que describe la forma en que el grupo algebraico fundamental G de una determinada variedad aritmética X , o algún objeto geométrico relacionado, puede ayudar a restaurar X. Los primeros resultados para campos numéricos y sus grupos absolutos de Galois fueron obtenidos por Jürgen Neukirch , Masatoshi Gündüz Ikeda , Kenkichi Iwasawa y Kôji Uchida ( teorema de Neukirch-Uchida , 1969) antes de las conjeturas hechas sobre curvas hiperbólicas sobre campos numéricos por Alexander Grothendieck . Como se introdujo en el programa Esquisse d'un, estos últimos trataban sobre cómo los homomorfismos topológicos entre dos grupos aritméticos fundamentales de dos curvas hiperbólicas sobre campos numéricos corresponden a mapas entre las curvas. Estas conjeturas de Grothendieck fueron resueltas parcialmente por Hiroaki Nakamura y Akio Tamagawa, mientras que Shinichi Mochizuki proporcionó pruebas completas .
La geometría anabeliana puede verse como una de las tres generalizaciones de la teoría de campos de clases . A diferencia de otras dos generalizaciones ( la teoría de campos abeliana de clase superior y el programa Langlands de teoría de representación ), la geometría anabeliana no es abeliana y es altamente no lineal. [1]
La "cuestión anabeliana" ha sido formulada como
Cuánta información sobre la clase de isomorfismo de la variedad X está contenida en el conocimiento del grupo fundamental étale [2]
Un ejemplo concreto es el caso de las curvas, que pueden ser tanto afines como proyectivas. Supongamos que se da una curva hiperbólica C , es decir, el complemento de n puntos en una curva algebraica proyectiva de género g , considerada suave e irreducible, definida sobre un campo K que se genera finitamente (sobre su campo primo ), tal que
Grothendieck conjeturó que el grupo algebraico fundamental G de C , un grupo profinito , determina el propio C (es decir, la clase de isomorfismo de G determina la de C ). Esto fue demostrado por Mochizuki. [3] Un ejemplo es para el caso de (la recta proyectiva ) y , cuando la clase de isomorfismo de C está determinada por la relación cruzada en K de los cuatro puntos eliminados (casi, habiendo un orden para los cuatro puntos en una relación cruzada, pero no en los puntos eliminados). [4] También hay resultados para el caso de K un campo local . [5]
Shinichi Mochizuki introdujo y desarrolló la geometría monoanabeliana , un enfoque que restaura, para una determinada clase de curvas hiperbólicas sobre campos numéricos o algunos otros campos, la curva de su grupo algebraico fundamental . Los resultados clave de la geometría monoanabeliana se publicaron en "Topics in Absolute Anabelian Geometry" I (2012), II (2013) y III (2015) de Mochizuki. [6]
El enfoque opuesto a la geometría monoanabeliana es la geometría bianabeliana , término acuñado por Mochizuki en "Topics in Absolute Anabelian Geometry III" para indicar el enfoque clásico.
La geometría monoanabeliana se ocupa de ciertos tipos (estrictamente de tipo Belyi) de curvas hiperbólicas sobre campos numéricos y campos locales. Esta teoría amplía considerablemente la geometría anabeliana. Su principal objetivo es construir algoritmos que produzcan la curva, hasta un isomorfismo, a partir del grupo fundamental étale de dicha curva. En particular, por primera vez esta teoría produce una restauración funtorial simultánea del campo numérico fundamental y su finalización, a partir del grupo fundamental de una gran clase de curvas elípticas perforadas sobre campos numéricos. [7] [8] [9] La teoría interuniversal de Teichmüller de Shinichi Mochizuki está estrechamente relacionada y utiliza varios resultados de la geometría monoanabeliana. [10]
Shinichi Mochizuki también introdujo la geometría anabeliana combinatoria que aborda cuestiones de curvas hiperbólicas y otros esquemas relacionados sobre campos algebraicamente cerrados. Los primeros resultados se publicaron en "Una versión combinatoria de la conjetura de Grothendieck " de Mochizuki (2007) y "Sobre la cuspidalización combinatoria de curvas hiperbólicas" (2010). Posteriormente, Yuichiro Hoshi y Mochizuki aplicaron el campo a las curvas hiperbólicas en una serie de cuatro artículos, "Temas que rodean la geometría anabeliana combinatoria de curvas hiperbólicas" (2012-2013).
La geometría combinatoria anabeliana se refiere a la reconstrucción de objetos de teoría de esquemas o anillos a partir de datos constituyentes combinatorios más primitivos. El origen de la geometría combinatoria anabeliana se encuentra en algunas de estas ideas combinatorias en las pruebas de Mochizuki de la conjetura de Grothendieck. Algunos de los resultados de la geometría combinatoria anabeliana proporcionan pruebas alternativas de casos parciales de la conjetura de Grothendieck sin utilizar la teoría p-ádica de Hodge. La geometría anabeliana combinatoria ayuda a estudiar varios aspectos del grupo Grothendieck-Teichmüller y los grupos absolutos de Galois de campos numéricos y campos locales de características mixtas. [11]
