Una transformación lineal conforme , también llamada transformación de similitud homogénea o similitud homogénea , es una transformación de similitud de un espacio vectorial euclidiano o pseudoeuclidiano que fija el origen . Puede escribirse como la composición de una transformación ortogonal (una transformación rígida que preserva el origen ) con una escala uniforme (dilatación). Todas las transformaciones de similitud (que preservan globalmente la forma pero no necesariamente el tamaño de las figuras geométricas) también son conformes (preservan localmente la forma). Las transformaciones de similitud que fijan el origen también preservan la multiplicación escalar-vectorial y la suma vectorial , lo que las convierte en transformaciones lineales .
Toda reflexión o dilatación que fija el origen es una transformación lineal conforme, al igual que cualquier composición de estas transformaciones básicas, incluidas las rotaciones y rotaciones impropias y, en general, las transformaciones de similitud. Sin embargo, las transformaciones de cizallamiento y el escalamiento no uniforme no lo son. Las transformaciones lineales conformes son de dos tipos: las transformaciones propias conservan la orientación del espacio, mientras que las transformaciones impropias la invierten.
Como transformaciones lineales, las transformaciones lineales conformes son representables por matrices una vez que se le ha dado una base al espacio vectorial , componiéndose entre sí y transformando vectores por multiplicación de matrices . El grupo de Lie de estas transformaciones se ha denominado grupo ortogonal conforme , grupo de transformación lineal conforme o grupo de semejanza homogénea .
Alternativamente, cualquier transformación lineal conforme puede representarse como un versor ( producto geométrico de vectores); [1] cada versor y su negativo representan la misma transformación, por lo que el grupo versor (también llamado grupo de Lipschitz ) es una doble cubierta del grupo ortogonal conforme.
Las transformaciones lineales conformes son un tipo especial de transformaciones de Möbius (transformaciones conformes que asignan círculos a círculos); el grupo ortogonal conforme es un subgrupo del grupo conforme .
En todas las dimensiones , una transformación lineal conforme tiene las siguientes propiedades:
En el plano vectorial euclidiano, una transformación lineal conforme impropia es una reflexión a través de una línea que pasa por el origen compuesta con una dilatación positiva. Dada una base ortonormal, se puede representar mediante una matriz de la forma
Una transformación lineal conforme propia es una rotación sobre el origen compuesta por una dilatación positiva. Puede representarse mediante una matriz de la forma
Alternativamente, una transformación lineal conforme adecuada se puede representar mediante un número complejo de la forma
Al componer múltiples transformaciones lineales , es posible crear un sesgo/desvío al componer una transformación principal con una escala no uniforme y una transformación secundaria con una rotación. Por lo tanto, en situaciones en las que no se permite el sesgo/desvío, las matrices de transformación también deben tener una escala uniforme para evitar que aparezca un sesgo/desvío como resultado de la composición. Esto implica que se requieren transformaciones lineales conformes para evitar el sesgo/desvío al componer múltiples transformaciones.
En las simulaciones de física , una esfera (o círculo, hiperesfera , etc.) suele definirse mediante un punto y un radio. Por lo tanto, se puede comprobar si un punto se superpone a la esfera mediante una comprobación de la distancia al centro. Con una rotación o un giro/reflexión, la esfera es simétrica e invariante , por lo que funciona la misma comprobación. Con una escala uniforme, solo es necesario cambiar el radio. Sin embargo, con una escala no uniforme o un corte/sesgo, la esfera se "distorsiona" y se convierte en un elipsoide , por lo que el algoritmo de comprobación de la distancia ya no funciona correctamente.
