El interés compuesto es el interés acumulado a partir de una suma principal y el interés acumulado previamente. Es el resultado de reinvertir o retener intereses que de otro modo se pagarían, o de la acumulación de deudas de un prestatario.
El interés compuesto se contrasta con el interés simple , donde el interés acumulado previamente no se suma al monto principal del período actual. El interés compuesto depende de la tasa de interés simple aplicada y de la frecuencia con la que se compone el interés.
La frecuencia de capitalización es el número de veces por unidad de tiempo determinada que se capitaliza el interés acumulado, de forma regular. La frecuencia podría ser anual, semestral, trimestral, mensual, semanal, diaria, continua o nula hasta el vencimiento.
Por ejemplo, la capitalización mensual con interés expresado como tasa anual significa que la frecuencia de capitalización es 12, con períodos de tiempo medidos en meses.
Para ayudar a los consumidores a comparar los productos financieros minoristas de manera más justa y sencilla, muchos países exigen que las instituciones financieras divulguen la tasa de interés compuesta anual sobre depósitos o anticipos sobre una base comparable. La tasa de interés sobre una base equivalente anual puede denominarse de diversas formas en diferentes mercados como tasa porcentual anual efectiva (EAPR), tasa equivalente anual (AER), tasa de interés efectiva , tasa anual efectiva , rendimiento porcentual anual y otros términos. La tasa anual efectiva es el interés total acumulado que sería pagadero hasta el final de un año, dividido por la suma principal. Estas tasas suelen ser la tasa de interés compuesta anualizada junto con otros cargos además de los intereses, como impuestos y otras tarifas.
El interés compuesto, cuando lo cobraban los prestamistas, alguna vez se consideró el peor tipo de usura y fue severamente condenado por el derecho romano y las leyes comunes de muchos otros países. [2]
El comerciante florentino Francesco Balducci Pegolotti proporcionó una tabla de interés compuesto en su libro Pratica della mercatura de alrededor de 1340. Da el interés de 100 liras, para tasas del 1% al 8%, por hasta 20 años. [3] La Summa de arithmetica de Luca Pacioli (1494) da la Regla de 72 , afirmando que para encontrar el número de años para que una inversión con interés compuesto se duplique, se debe dividir la tasa de interés entre 72.
El libro de Richard Witt Preguntas aritméticas , publicado en 1613, marcó un hito en la historia del interés compuesto. Estaba enteramente dedicado al tema (anteriormente llamado anatocismo), mientras que los escritores anteriores generalmente habían tratado brevemente el interés compuesto en un solo capítulo de un libro de texto de matemáticas. El libro de Witt proporciona tablas basadas en el 10% (la tasa de interés máxima permitida sobre préstamos) y otras tasas para diferentes propósitos, como la valoración de arrendamientos de propiedades. Witt era un matemático londinense y su libro se destaca por su claridad de expresión, profundidad de conocimiento y precisión de cálculo, con 124 ejemplos resueltos. [4] [5]
Jacob Bernoulli descubrió la constante en 1683 estudiando una cuestión sobre el interés compuesto.
En el siglo XIX, y posiblemente antes, los comerciantes persas utilizaban una aproximación lineal de Taylor ligeramente modificada para la fórmula de pago mensual que podía calcularse fácilmente mentalmente. [6] En los tiempos modernos, la supuesta cita de Albert Einstein sobre el interés compuesto suena cierta. "El que lo entiende, lo gana; el que no lo paga." [7]
El valor total acumulado, incluida la suma principal más el interés compuesto , viene dado por la fórmula: [8] [9]
dónde:
El interés compuesto total generado es el valor final menos el principal inicial: [10]
Dado que el P principal es simplemente un coeficiente, a menudo se omite por simplicidad y en su lugar se utiliza la función de acumulación resultante. La función de acumulación muestra hasta dónde crece 1 dólar después de un período de tiempo determinado. La función de acumulación del interés compuesto es:
Cuando el número de períodos de capitalización por año aumenta sin límite, se produce una capitalización continua, en cuyo caso la tasa anual efectiva se acerca a un límite superior de e r − 1 . Se puede considerar que la capitalización continua permite que el período de capitalización se vuelva infinitamente pequeño, lo que se logra tomando el límite cuando n tiende al infinito . La cantidad después de t períodos de capitalización continua se puede expresar en términos de la cantidad inicial P 0 como:
Como el número de períodos de capitalización tiende a infinito en la capitalización continua, la tasa de interés compuesta continua se denomina fuerza del interés . Para cualquier función de acumulación continuamente diferenciable a(t), la fuerza de interés, o más generalmente el rendimiento logarítmico o continuamente compuesto , es una función del tiempo de la siguiente manera:
Ésta es la derivada logarítmica de la función de acumulación.
Por el contrario: (dado que esto puede verse como un caso particular de una integral de producto ).
Cuando la fórmula anterior se escribe en formato de ecuación diferencial, entonces la fuerza de interés es simplemente el coeficiente de la cantidad de cambio:
Para el interés compuesto con una tasa de interés anual constante r , la fuerza del interés es una constante y la función de acumulación del interés compuesto en términos de la fuerza del interés es una potencia simple de e : o
La fuerza del interés es menor que la tasa de interés efectiva anual, pero mayor que la tasa de descuento efectiva anual . Es el recíproco del tiempo de plegado electrónico .
Una forma de modelar la fuerza de la inflación es con la fórmula de Stoodley: donde se estiman p , r y s .
Convertir una tasa de interés de una base compuesta a otra base compuesta, de modo que
usar
donde r 1 es la tasa de interés con frecuencia de capitalización n 1 y r 2 es la tasa de interés con frecuencia de capitalización n 2 .
Cuando el interés se capitaliza continuamente, utilice
donde es la tasa de interés sobre una base de capitalización continua, y r es la tasa de interés declarada con una frecuencia de capitalización n .
El interés de los préstamos e hipotecas que se amortizan (es decir, que tienen un pago mensual fluido hasta que se cancela el préstamo) a menudo se capitaliza mensualmente. La fórmula para los pagos se encuentra a partir del siguiente argumento.
Una fórmula exacta para el pago mensual ( ) es o equivalente
dónde:
En las hojas de cálculo se utiliza la función PMT() . La sintaxis es:
PAGO(tasa_de_interés, número_pagos, valor_presente, valor_futuro, [Tipo])
Se puede encontrar una fórmula con una precisión de unos pocos porcentajes observando que para las tasas típicas de los pagarés estadounidenses ( y plazos = 10 a 30 años), la tasa mensual de los pagarés es pequeña en comparación con 1, de modo que se obtiene la simplificación:
lo que sugiere definir variables auxiliares
Aquí está el pago mensual requerido para un préstamo sin interés que se paga en cuotas. En términos de estas variables se puede escribir la aproximación .
Dejar . La ampliación es válida para más del 1% siempre y cuando .
Para una hipoteca de $120.000 con un plazo de 30 años y una tasa de interés del 4,5%, pagadera mensualmente, encontramos:
que da
de modo que
El monto exacto del pago es, por lo tanto, la aproximación es una sobreestimación de aproximadamente un sexto de porcentaje.
Dado un depósito principal y un depósito recurrente, el rendimiento total de una inversión se puede calcular mediante el interés compuesto ganado por unidad de tiempo. Si es necesario, el interés sobre depósitos adicionales no recurrentes y recurrentes también se puede definir dentro de la misma fórmula (ver más abajo). [11]
El interés compuesto para cada depósito es: Sumando todos los depósitos recurrentes durante el período total t, (i comienza en 0 si los depósitos comienzan con la inversión del principal; i comienza en 1 si los depósitos comienzan el mes siguiente): Reconocer la serie geométrica : y aplicando la fórmula de forma cerrada (proporción común :):
Si ocurren dos o más tipos de depósitos (ya sean recurrentes o no recurrentes), el valor compuesto ganado se puede representar como
donde C es cada suma global y k son depósitos recurrentes no mensuales, respectivamente, y x e y son las diferencias en el tiempo entre un nuevo depósito y el período total t que se está modelando.
Una estimación práctica para el cálculo inverso de la tasa de rendimiento cuando no se conoce la fecha exacta y el monto de cada depósito recurrente, una fórmula que supone un depósito mensual recurrente uniforme durante el período, es: [12] o
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