Espacio conectado localmente

Propiedad de los espacios topológicos

En este espacio topológico, V es un vecindario de p y contiene un conjunto abierto conexo (el disco verde oscuro) que contiene p .

En topología y otras ramas de las matemáticas , un espacio topológico X es localmente conexo si cada punto admite una base de vecindad que consiste en conjuntos abiertos conexos .

Como noción más fuerte, el espacio X está localmente conexo por caminos si cada punto admite una base de vecindad que consiste en conjuntos abiertos conexos por caminos .

Fondo

A lo largo de la historia de la topología, la conexidad y la compacidad han sido dos de las propiedades topológicas más estudiadas. De hecho, el estudio de estas propiedades incluso entre subconjuntos del espacio euclidiano , y el reconocimiento de su independencia de la forma particular de la métrica euclidiana , desempeñaron un papel importante en la clarificación de la noción de propiedad topológica y, por lo tanto, de espacio topológico. Sin embargo, mientras que la estructura de los subconjuntos compactos del espacio euclidiano se entendió bastante pronto a través del teorema de Heine-Borel , los subconjuntos conexos de (para n > 1) demostraron ser mucho más complicados. De hecho, mientras que cualquier espacio compacto de Hausdorff es localmente compacto , un espacio conexo (e incluso un subconjunto conexo del plano euclidiano) no necesita ser localmente conexo (ver más abajo). ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Esto dio lugar a una rica veta de investigación en la primera mitad del siglo XX, en la que los topólogos estudiaron las implicaciones entre variaciones cada vez más sutiles y complejas sobre la noción de un espacio localmente conectado. Como ejemplo, la noción de conectividad local en puntos pequeños y su relación con la conectividad local se considerarán más adelante en este artículo.

En la última parte del siglo XX, las tendencias de investigación cambiaron hacia un estudio más intenso de espacios como las variedades , que se entienden bien localmente (al ser localmente homeomorfas al espacio euclidiano) pero tienen un comportamiento global complicado. Con esto se quiere decir que, aunque la topología básica de puntos de las variedades es relativamente simple (ya que las variedades son esencialmente metrizables según la mayoría de las definiciones del concepto), su topología algebraica es mucho más compleja. Desde esta perspectiva moderna, la propiedad más fuerte de la conexidad de caminos locales resulta ser más importante: por ejemplo, para que un espacio admita una cubierta universal debe ser conexo y conexo localmente por caminos.

Un espacio es localmente conexo si y solo si para cada conjunto abierto U , los componentes conexos de U (en la topología de subespacios ) son abiertos. De ello se deduce, por ejemplo, que una función continua de un espacio localmente conexo a un espacio totalmente desconectado debe ser localmente constante. De hecho, la apertura de los componentes es tan natural que hay que tener en cuenta que no es cierta en general: por ejemplo, el espacio de Cantor es totalmente desconectado pero no discreto .

Definiciones

Sea un espacio topológico, y sea un punto de ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X.}$

Un espacio se denomina localmente conexo en ^[1] si cada entorno de contiene un entorno abierto conexo de , es decir, si el punto tiene una base de entorno que consiste en conjuntos abiertos conexos. Un espacio localmente conexo ^{[2] [1]} es un espacio que está localmente conexo en cada uno de sus puntos. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

La conectividad local no implica conectividad (consideremos dos intervalos abiertos disjuntos en , por ejemplo); y la conectividad no implica conectividad local (ver la curva sinusoidal del topólogo ). ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Un espacio se denomina conexo local en ^[1] si cada entorno de contiene un entorno abierto conexo de , es decir, si el punto tiene una base de entorno que consiste en conjuntos abiertos conexos. Un espacio conexo local ^{[3] [1]} es un espacio que está conexo localmente en cada uno de sus puntos. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

Los espacios conexos localmente son conexos localmente. La relación inversa no se cumple (véase la topología del orden lexicográfico en el cuadrado unitario ).

Conectividad en los pequeños

Un espacio se llama conexo en forma pequeña en ^{[4] [5]} o débilmente conexo localmente en ^[6] si cada entorno de contiene un entorno conexo (no necesariamente abierto) de , es decir, si el punto tiene una base de entorno que consiste en conjuntos conexos. Un espacio se llama débilmente conexo localmente si está débilmente conexo localmente en cada uno de sus puntos; como se indica a continuación, este concepto es de hecho el mismo que el de estar localmente conexo. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

Un espacio que es localmente conexo en es conexo im kleinen en Lo contrario no se cumple, como lo demuestra, por ejemplo, una cierta unión infinita de espacios de escoba decrecientes , que es conexo im kleinen en un punto particular, pero no localmente conexo en ese punto. ^{[7] [8] [9]} Sin embargo, si un espacio es conexo im kleinen en cada uno de sus puntos, es localmente conexo. ^[10] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x.}$

Se dice que un espacio está conexo por caminos en kleinen en ^[5] si cada vecindad de contiene una vecindad conexa por caminos (no necesariamente abierta) de , es decir, si el punto tiene una base de vecindad que consiste en conjuntos conexos por caminos. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

Un espacio que es localmente conexo por caminos en es conexo por caminos im kleinen en La inversa no se cumple, como lo demuestra la misma unión infinita de espacios decrecientes de escobas que se muestra arriba. Sin embargo, si un espacio es conexo por caminos im kleinen en cada uno de sus puntos, es localmente conexo por caminos. ^[11] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x.}$

Primeros ejemplos

1. Para cualquier entero positivo n , el espacio euclidiano está conexo por caminos locales, por lo tanto, localmente conectado; también es conexo. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
2. De manera más general, cada espacio vectorial topológico localmente convexo está conexo localmente, ya que cada punto tiene una base local de vecindarios convexos (y, por lo tanto, conectados).
3. El subespacio de la recta real es conexo localmente pero no conexo. ${\displaystyle S=[0,1]\cup [2,3]}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}$
4. La curva sinusoidal del topólogo es un subespacio del plano euclidiano que está conexo, pero no localmente conexo. ^[12]
5. El espacio de números racionales dotado de la topología euclidiana estándar, no es ni conexo ni localmente conexo. ${\displaystyle \mathbb {Q} }$
6. El espacio del peine está conectado por trayectoria, pero no por trayectoria local, y ni siquiera está conectado localmente.
7. Un conjunto infinito numerable dotado de la topología cofinita está conexo localmente (de hecho, hiperconectado ) pero no conexo localmente por trayectorias. ^[13]
8. La topología del orden lexicográfico en el cuadrado unitario está conexa y localmente conexa, pero no conexa por trayectorias ni localmente conexa por trayectorias. ^[14]
9. El espacio de Kirch está conectado y localmente conectado, pero no está conectado por caminos ni tampoco por caminos en ningún punto. De hecho, está totalmente desconectado por caminos .

Un espacio de Hausdorff con primer orden de numeración está localmente conexo por caminos si y solo si es igual a la topología final inducida por el conjunto de todos los caminos continuos. ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C([0,1];X)}$ ${\displaystyle [0,1]\to (X,\tau ).}$

Propiedades

Teorema  :  Un espacio es localmente conexo si y sólo si es débilmente conexo localmente. ^[10]

1. La conectividad local es, por definición, una propiedad local de los espacios topológicos, es decir, una propiedad topológica P tal que un espacio X posee la propiedad P si y sólo si cada punto x en X admite una base de vecindad de conjuntos que tienen la propiedad P . En consecuencia, todas las "metapropiedades" que posee una propiedad local son válidas para la conectividad local. En particular:
2. Un espacio es localmente conexo si y sólo si admite una base de subconjuntos conexos (abiertos).
3. La unión disjunta de una familia de espacios es localmente conexa si y solo si cada uno de ellos es localmente conexo. En particular, dado que un único punto es ciertamente localmente conexo, se deduce que cualquier espacio discreto es localmente conexo. Por otra parte, un espacio discreto es totalmente conexo , por lo que es conexo solo si tiene como máximo un punto. ${\displaystyle \coprod _{i}X_{i}}$ ${\displaystyle \{X_{i}\}}$ ${\displaystyle X_{i}}$
4. Por el contrario, un espacio totalmente desconexo es localmente conexo si y solo si es discreto. Esto puede utilizarse para explicar el hecho antes mencionado de que los números racionales no son localmente conexos.
5. Un espacio de producto no vacío está conexo localmente si y sólo si cada uno está conexo localmente y todos, excepto un número finito, están conexos. ^[15] ${\displaystyle \prod _{i}X_{i}}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle X_{i}}$
6. Todo espacio hiperconectado está conectado localmente y conectado.

Componentes y componentes de ruta

El siguiente resultado se desprende casi inmediatamente de las definiciones, pero será bastante útil:

Lema: Sea X un espacio y una familia de subconjuntos de X . Supóngase que no está vacío. Entonces, si cada uno de ellos es conexo (respectivamente, conexo por caminos), entonces la unión es conexa (respectivamente, conexa por caminos). ^[16] ${\displaystyle \{Y_{i}\}}$ ${\displaystyle \bigcap _{i}Y_{i}}$ ${\displaystyle Y_{i}}$ ${\displaystyle \bigcup _{i}Y_{i}}$

Consideremos ahora dos relaciones en un espacio topológico X : para escribir: ${\displaystyle x,y\in X,}$

${\displaystyle x\equiv _{c}y}$si hay un subconjunto conexo de X que contiene tanto a x como a y ; y

${\displaystyle x\equiv _{pc}y}$si hay un subconjunto conectado por caminos de X que contiene tanto a x como a y .

Evidentemente, ambas relaciones son reflexivas y simétricas. Además, si x e y están contenidos en un subconjunto conexo (respectivamente, conexo por trayectorias) A e y y y z están contenidos en un subconjunto conexo (respectivamente, conexo por trayectorias) B , entonces el Lema implica que es un subconjunto conexo (respectivamente, conexo por trayectorias) que contiene a x , y y z . Por lo tanto, cada relación es una relación de equivalencia y define una partición de X en clases de equivalencia . Consideraremos estas dos particiones a su vez. ${\displaystyle A\cup B}$

Para x en X , el conjunto de todos los puntos y tales que se llama componente conexo de x . ^[17] El Lema implica que es el único subconjunto conexo máximo de X que contiene a x . ^[18] Dado que el cierre de es también un subconjunto conexo que contiene a x , ^[19] se sigue que es cerrado. ^[20] ${\displaystyle C_{x}}$ ${\displaystyle y\equiv _{c}x}$ ${\displaystyle C_{x}}$ ${\displaystyle C_{x}}$ ${\displaystyle C_{x}}$

Si X tiene sólo un número finito de componentes conexos, entonces cada componente es el complemento de una unión finita de conjuntos cerrados y por lo tanto abierto. En general, los componentes conexos no necesitan ser abiertos, ya que, por ejemplo, existen espacios totalmente desconectados (es decir, para todos los puntos x ) que no son discretos, como el espacio de Cantor. Sin embargo, los componentes conexos de un espacio localmente conexo también son abiertos, y por lo tanto son conjuntos clopen . ^[21] De ello se deduce que un espacio localmente conexo X es una unión disjunta topológica de sus componentes conexos distintos. Por el contrario, si para cada subconjunto abierto U de X , los componentes conexos de U son abiertos, entonces X admite una base de conjuntos conexos y por lo tanto es localmente conexo. ^[22] ${\displaystyle C_{x}=\{x\}}$ ${\displaystyle \coprod C_{x}}$

De manera similar, x en X , el conjunto de todos los puntos y tales que se llama componente de trayectoria de x . ^[23] Como se indicó anteriormente, es también la unión de todos los subconjuntos conexos de trayectoria de X que contienen a x , por lo que, según el Lema, es en sí mismo conexo. Debido a que los conjuntos conexos son conexos, tenemos para todos los ${\displaystyle PC_{x}}$ ${\displaystyle y\equiv _{pc}x}$ ${\displaystyle PC_{x}}$ ${\displaystyle PC_{x}\subseteq C_{x}}$ ${\displaystyle x\in X.}$

Sin embargo, el cierre de un conjunto conexo por trayectorias no necesita ser conexo por trayectorias: por ejemplo, la curva sinusoidal del topólogo es el cierre del subconjunto abierto U que consiste en todos los puntos (x,sin(x)) con x > 0 , y U , al ser homeomorfo a un intervalo en la línea real, es ciertamente conexo por trayectorias. Además, los componentes de trayectoria de la curva sinusoidal C del topólogo son U , que es abierto pero no cerrado, y que es cerrado pero no abierto. ${\displaystyle C\setminus U,}$

Un espacio es localmente conexo por caminos si y solo si para todos los subconjuntos abiertos U , los componentes de camino de U son abiertos. ^[23] Por lo tanto, los componentes de camino de un espacio localmente conexo por caminos dan una partición de X en conjuntos abiertos disjuntos por pares. De ello se deduce que un subespacio conexo abierto de un espacio localmente conexo por caminos es necesariamente conexo por caminos. ^[24] Además, si un espacio es localmente conexo por caminos, entonces también es localmente conexo, por lo que para todo es conexo y abierto, por lo tanto conexo por caminos, es decir, Es decir, para un espacio localmente conexo por caminos los componentes y los componentes de camino coinciden. ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle C_{x}}$ ${\displaystyle C_{x}=PC_{x}.}$

Ejemplos

1. El conjunto (donde ) en la topología de orden de diccionario tiene exactamente un componente (porque es conexo) pero tiene una cantidad incontable de componentes de trayectoria. De hecho, cualquier conjunto de la forma es un componente de trayectoria para cada a perteneciente a I . ${\displaystyle I\times I}$ ${\displaystyle I=[0,1]}$ ${\displaystyle \{a\}\times I}$
2. Sea una función continua de a (que está en la topología de límite inferior ). Puesto que es conexa, y la imagen de un espacio conexo bajo una función continua debe ser conexa, la imagen de bajo debe ser conexa. Por lo tanto, la imagen de bajo debe ser un subconjunto de un componente de Puesto que esta imagen no está vacía, las únicas funciones continuas de ' a son las funciones constantes. De hecho, cualquier función continua de un espacio conexo a un espacio totalmente desconectado debe ser constante. ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} _{\ell }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{\ell }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{\ell }/}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{\ell },}$

Cuasicomponentes

Sea X un espacio topológico. Definimos una tercera relación en X : si no hay separación de X en conjuntos abiertos A y B tales que x es un elemento de A e y es un elemento de B . Esta es una relación de equivalencia en X y la clase de equivalencia que contiene a x se llama cuasicomponente de x . ^[18] ${\displaystyle x\equiv _{qc}y}$ ${\displaystyle QC_{x}}$

${\displaystyle QC_{x}}$También se puede caracterizar como la intersección de todos los subconjuntos abiertos de X que contienen a x . ^[18] Por consiguiente, es cerrado; en general, no necesita ser abierto. ${\displaystyle QC_{x}}$

Evidentemente para todos los ^[18] En general tenemos las siguientes contenciones entre componentes de trayectoria, componentes y cuasicomponentes en x : ${\displaystyle C_{x}\subseteq QC_{x}}$ ${\displaystyle x\in X.}$ $${\displaystyle PC_{x}\subseteq C_{x}\subseteq QC_{x}.}$$

Si X está localmente conexo, entonces, como se indicó anteriormente, es un conjunto abierto y cerrado que contiene a x , por lo que y por lo tanto Dado que la conectividad de caminos locales implica conectividad local, se deduce que en todos los puntos x de un espacio conexo de caminos locales tenemos ${\displaystyle C_{x}}$ ${\displaystyle QC_{x}\subseteq C_{x}}$ ${\displaystyle QC_{x}=C_{x}.}$ $${\displaystyle PC_{x}=C_{x}=QC_{x}.}$$

Otra clase de espacios para los cuales los cuasicomponentes concuerdan con los componentes es la clase de espacios compactos de Hausdorff. ^[25]

Ejemplos

1. Un ejemplo de un espacio cuyos cuasicomponentes no son iguales a sus componentes es una sucesión con un punto límite doble. Este espacio está totalmente desconectado, pero ambos puntos límite se encuentran en el mismo cuasicomponente, porque cualquier conjunto clopen que contenga uno de ellos debe contener una cola de la sucesión y, por lo tanto, también el otro punto.
2. El espacio es localmente compacto y de Hausdorff, pero los conjuntos y son dos componentes diferentes que se encuentran en el mismo cuasicomponente. ${\displaystyle (\{0\}\cup \{{\frac {1}{n}}:n\in \mathbb {Z} ^{+}\})\times [-1,1]\setminus \{(0,0)\}}$ ${\displaystyle \{0\}\times [-1,0)}$ ${\displaystyle \{0\}\times (0,1]}$
3. El espacio de Arens-Fort no está conexo localmente, pero sin embargo los componentes y los cuasicomponentes coinciden: de hecho, para todos los puntos x . ^[26] ${\displaystyle QC_{x}=C_{x}=\{x\}}$

Véase también

• Espacio conectado de forma local y sencilla
• Semi-localmente simplemente conectado
• Se conjetura que el conjunto de Mandelbrot está localmente conexo.

Notas

1. Munkres, pág. 161
2. Willard, Definición 27.7, pág. 199
3. Willard, Definición 27.4, p.199
4. Willard, Definición 27.14, pág. 201
5. Björn, Anders; Björn, Jana; Shanmugalingam, Nageswari (2016). "La distancia de Mazurkiewicz y los conjuntos que están finitamente conectados en el límite". Journal of Geometric Analysis . 26 (2): 873–897. arXiv : 1311.5122 . doi :10.1007/s12220-015-9575-9. S2CID  255549682., sección 2
6. Munkres, ejercicio 6, pág. 162
7. Steen & Seebach, ejemplo 119.4, pág. 139
8. Munkres, ejercicio 7, pág. 162
9. "Muestra que X no está localmente conexo en p".
10. Willard, Teorema 27.16, pág. 201
11. "Definición de conectado localmente por caminos".
12. Steen y Seebach, págs. 137-138
13. Steen y Seebach, págs. 49-50
14. Steen & Seebach, ejemplo 48, pág. 73
15. Willard, teorema 27.13, pág. 201
16. Willard, Teorema 26.7a, pág. 192
17. Willard, Definición 26.11, p.194
18. Willard, Problema 26B, págs. 195-196
19. Kelley, Teorema 20, pág. 54; Willard, Teorema 26.8, pág. 193
20. Willard, Teorema 26.12, pág. 194
21. Willard, Corolario 27.10, pág. 200
22. Willard, Teorema 27.9, pág. 200
23. Willard, Problema 27D, pág. 202
24. Willard, Teorema 27.5, pág. 199
25. Engelking, Teorema 6.1.23, pág. 357
26. Steen y Seebach, págs. 54-55

Referencias

• Engelking, Ryszard (1989). Topología general . Heldermann Verlag, Berlín. ISBN 3-88538-006-4.
• John L. Kelley ; Topología general ; ISBN 0-387-90125-6 
• Munkres, James (1999), Topología (2.ª ed.), Prentice Hall, ISBN 0-13-181629-2.
• Steen, Lynn Arthur ; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Contraejemplos en topología ( reimpresión de Dover de la edición de 1978), Mineola, NY: Dover Publications, Inc., ISBN 978-0-486-68735-3, Sr.  1382863
• Stephen Willard; Topología general ; Publicaciones Dover, 2004.

Lectura adicional

• Coppin, CA (1972), "Funciones continuas desde un espacio conectado localmente hacia un espacio conectado con un punto de dispersión", Actas de la American Mathematical Society , 32 (2), American Mathematical Society: 625–626, doi : 10.1090/S0002-9939-1972-0296913-7 , JSTOR  2037874Para los espacios de Hausdorff, se muestra que cualquier función continua desde un espacio conexo localmente conexo a un espacio conexo con un punto de dispersión es constante.
• Davis, HS (1968), "Una nota sobre la conectividad en Kleinen", Actas de la American Mathematical Society , 19 (5), American Mathematical Society: 1237–1241, doi : 10.1090/s0002-9939-1968-0254814-3 , JSTOR  2036067.