Pseudotensor estrés-energía-momento

En la teoría de la relatividad general , un pseudotensor tensión-energía-momento , como el pseudotensor de Landau-Lifshitz , es una extensión del tensor tensión-energía no gravitacional que incorpora la energía-momento de la gravedad. Permite definir la energía-momento de un sistema de materia gravitante. En particular, permite que el total de materia más la energía-momento gravitante formen una corriente conservada dentro del marco de la relatividad general , de modo que la energía-momento total cruce la hipersuperficie (límite tridimensional) de cualquier hipervolumen espacio-temporal compacto ( subvariedad de 4 dimensiones) desaparece.

Algunas personas (como Erwin Schrödinger ^{[ cita necesaria ]} ) han objetado esta derivación basándose en que los pseudotensores son objetos inapropiados en la relatividad general, pero la ley de conservación solo requiere el uso de la 4- divergencia de un pseudotensor que es, en este caso caso, un tensor (que también desaparece). Además, la mayoría de los pseudotensores son secciones de haces de chorros , que ahora son reconocidos ^{[¿ por quién? ]} como objetos perfectamente válidos en la relatividad general.

Pseudotensor de Landau-Lifshitz

El pseudotensor de Landau-Lifshitz , un pseudotensor de tensión-energía- momento para la gravedad, ^[1] cuando se combina con términos para la materia (incluidos fotones y neutrinos), permite que las leyes de conservación de energía-momento se extiendan a la relatividad general .

Requisitos

Landau y Lifshitz se guiaron por cuatro requisitos en su búsqueda de un pseudotensor de momento de energía gravitacional : ^[1] ${\displaystyle t_{LL}^{\mu \nu }\,}$

1. que se construya enteramente a partir del tensor métrico , de modo que tenga un origen puramente geométrico o gravitacional.
2. que sea simétrico de índice, es decir , (para conservar el momento angular ) ${\displaystyle t_{LL}^{\mu \nu }=t_{LL}^{\nu \mu }\,}$
3. que, cuando se suma al tensor tensión-energía de la materia, , su divergencia 4 total desaparece (esto se requiere de cualquier corriente conservada ), de modo que tenemos una expresión conservada para el esfuerzo-energía-momento total. ${\displaystyle T^{\mu \nu }\,}$
4. que desaparezca localmente en un marco de referencia inercial (lo que requiere que solo contenga derivadas de la métrica de primer orden y no de segundo o orden superior). Esto se debe a que el principio de equivalencia requiere que el campo de fuerza gravitacional, los símbolos de Christoffel , desaparezcan localmente en algunos fotogramas. Si la energía gravitacional es función de su campo de fuerza, como es habitual en otras fuerzas, entonces el pseudotensor gravitacional asociado también debería desaparecer localmente.

Definición

Landau y Lifshitz demostraron que existe una construcción única que satisface estos requisitos:

$${\displaystyle t_{LL}^{\mu \nu }=-{\frac {c^{4}}{8\pi G}}G^{\mu \nu }+{\frac {c^{4}}{16\pi G(-g)}}\left((-g)\left(g^{\mu \nu }g^{\alpha \beta }-g^{\mu \alpha }g^{\nu \beta }\right)\right)_{,\alpha \beta }}$$

• G ^μν es el tensor de Einstein (que se construye a partir de la métrica)
• g ^μν es el inverso del tensor métrico , g _μν
• g = det( g _μν ) es el determinante del tensor métrico. g < 0 , de ahí su aparición como. ${\displaystyle -g}$
• ${\textstyle {}_{,\alpha \beta }={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{\alpha }\partial x^{\beta }}}\,}$son derivadas parciales , no derivadas covariantes .
• G es la constante gravitacional de Newton .

Verificación

Al examinar las 4 condiciones de los requisitos, podemos ver que las 3 primeras son relativamente fáciles de demostrar:

1. Dado que el tensor de Einstein, , se construye a partir de la métrica, también lo es ${\displaystyle G^{\mu \nu }\,}$ ${\displaystyle t_{LL}^{\mu \nu }}$
2. Dado que el tensor de Einstein, , es simétrico, también lo es porque los términos adicionales son simétricos por inspección. ${\displaystyle G^{\mu \nu }\,}$ ${\displaystyle t_{LL}^{\mu \nu }}$
3. El pseudotensor de Landau-Lifshitz está construido de modo que cuando se agrega al tensor de tensión-energía de la materia, su divergencia 4 total desaparece: . Esto se desprende de la cancelación del tensor de Einstein, con el tensor tensión-energía , por las ecuaciones de campo de Einstein ; el término restante desaparece algebraicamente debido a la conmutatividad de las derivadas parciales aplicadas a través de índices antisimétricos. ${\displaystyle T^{\mu \nu }\,}$ ${\displaystyle \left(\left(-g\right)\left(T^{\mu \nu }+t_{LL}^{\mu \nu }\right)\right)_{,\mu }=0}$ ${\displaystyle G^{\mu \nu }\,}$ ${\displaystyle T^{\mu \nu }\,}$
4. El pseudotensor de Landau-Lifshitz parece incluir términos de segunda derivada en la métrica, pero de hecho los términos de segunda derivada explícitos en el pseudotensor se cancelan con los términos de segunda derivada implícitos contenidos en el tensor de Einstein . Esto es más evidente cuando el pseudotensor se expresa directamente en términos del tensor métrico o de la conexión Levi-Civita ; sólo los términos de la primera derivada en la métrica sobreviven y estos desaparecen cuando el marco es localmente inercial en cualquier punto elegido. Como resultado, todo el pseudotensor desaparece localmente (de nuevo, en cualquier punto elegido) , lo que demuestra la deslocalización de la energía-momento gravitacional. ^[1] ${\displaystyle G^{\mu \nu }\,}$ ${\displaystyle t_{LL}^{\mu \nu }=0}$

Constante cosmológica

Cuando se formuló el pseudotensor de Landau-Lifshitz, comúnmente se asumió que la constante cosmológica era cero. Hoy en día, esa suposición es sospechosa y la expresión frecuentemente gana un término, dando: ${\displaystyle \Lambda \,}$ ${\displaystyle \Lambda }$

$${\displaystyle t_{LL}^{\mu \nu }=-{\frac {c^{4}}{8\pi G}}\left(G^{\mu \nu }+\Lambda g^{\mu \nu }\right)+{\frac {c^{4}}{16\pi G(-g)}}\left(\left(-g\right)\left(g^{\mu \nu }g^{\alpha \beta }-g^{\mu \alpha }g^{\nu \beta }\right)\right)_{,\alpha \beta }}$$

Esto es necesario para mantener la coherencia con las ecuaciones de campo de Einstein .

Versiones de conexión métrica y afín

Landau y Lifshitz también proporcionan dos expresiones equivalentes pero más largas para el pseudotensor de Landau-Lifshitz:

• Versión tensor métrica : ^[2]
  $${\displaystyle {\begin{aligned}(-g)\left(t_{LL}^{\mu \nu }+{\frac {c^{4}\Lambda g^{\mu \nu }}{8\pi G}}\right)={\frac {c^{4}}{16\pi G}}{\bigg [}&\left({\sqrt {-g}}g^{\mu \nu }\right)_{,\alpha }\left({\sqrt {-g}}g^{\alpha \beta }\right)_{,\beta }-\left({\sqrt {-g}}g^{\mu \alpha }\right)_{,\alpha }\left({\sqrt {-g}}g^{\nu \beta }\right)_{,\beta }+{}\\&{\frac {1}{8}}\left(2g^{\mu \alpha }g^{\nu \beta }-g^{\mu \nu }g^{\alpha \beta }\right)\left(2g_{\sigma \rho }g_{\lambda \omega }-g_{\rho \lambda }g_{\sigma \omega }\right)\left({\sqrt {-g}}g^{\sigma \omega }\right)_{,\alpha }\left({\sqrt {-g}}g^{\rho \lambda }\right)_{,\beta }-{}\\&\left(g^{\mu \alpha }g_{\beta \sigma }\left({\sqrt {-g}}g^{\nu \sigma }\right)_{,\rho }\left({\sqrt {-g}}g^{\beta \rho }\right)_{,\alpha }+g^{\nu \alpha }g_{\beta \sigma }\left({\sqrt {-g}}g^{\mu \sigma }\right)_{,\rho }\left({\sqrt {-g}}g^{\beta \rho }\right)_{,\alpha }\right)+{}\\&\left.{\frac {1}{2}}g^{\mu \nu }g_{\alpha \beta }\left({\sqrt {-g}}g^{\alpha \sigma }\right)_{,\rho }\left({\sqrt {-g}}g^{\rho \beta }\right)_{,\sigma }+g_{\alpha \beta }g^{\sigma \rho }\left({\sqrt {-g}}g^{\mu \alpha }\right)_{,\sigma }\left({\sqrt {-g}}g^{\nu \beta }\right)_{,\rho }\right]\end{aligned}}}$$
• Versión de conexión afín : ^[3]
  $${\displaystyle {\begin{aligned}t_{LL}^{\mu \nu }+{\frac {c^{4}\Lambda g^{\mu \nu }}{8\pi G}}={\frac {c^{4}}{16\pi G}}{\Big [}&\left(2\Gamma _{\alpha \beta }^{\sigma }\Gamma _{\sigma \rho }^{\rho }-\Gamma _{\alpha \rho }^{\sigma }\Gamma _{\beta \sigma }^{\rho }-\Gamma _{\alpha \sigma }^{\sigma }\Gamma _{\beta \rho }^{\rho }\right)\left(g^{\mu \alpha }g^{\nu \beta }-g^{\mu \nu }g^{\alpha \beta }\right)+{}\\&\left(\Gamma _{\alpha \rho }^{\nu }\Gamma _{\beta \sigma }^{\rho }+\Gamma _{\beta \sigma }^{\nu }\Gamma _{\alpha \rho }^{\rho }-\Gamma _{\sigma \rho }^{\nu }\Gamma _{\alpha \beta }^{\rho }-\Gamma _{\alpha \beta }^{\nu }\Gamma _{\sigma \rho }^{\rho }\right)g^{\mu \alpha }g^{\beta \sigma }+\\&\left(\Gamma _{\alpha \rho }^{\mu }\Gamma _{\beta \sigma }^{\rho }+\Gamma _{\beta \sigma }^{\mu }\Gamma _{\alpha \rho }^{\rho }-\Gamma _{\sigma \rho }^{\mu }\Gamma _{\alpha \beta }^{\rho }-\Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }\Gamma _{\sigma \rho }^{\rho }\right)g^{\nu \alpha }g^{\beta \sigma }+\\&\left.\left(\Gamma _{\alpha \sigma }^{\mu }\Gamma _{\beta \rho }^{\nu }-\Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }\Gamma _{\sigma \rho }^{\nu }\right)g^{\alpha \beta }g^{\sigma \rho }\right]\end{aligned}}}$$

Esta definición de energía-momento es aplicable covariantemente no sólo bajo transformaciones de Lorentz, sino también bajo transformaciones de coordenadas generales.

Pseudotensor de Einstein

Este pseudotensor fue desarrollado originalmente por Albert Einstein . ^{[4] [5]}

Paul Dirac demostró ^[6] que el pseudotensor mixto de Einstein

$${\displaystyle {t_{\mu }}^{\nu }={\frac {c^{4}}{16\pi G{\sqrt {-g}}}}\left(\left(g^{\alpha \beta }{\sqrt {-g}}\right)_{,\mu }\left(\Gamma _{\alpha \beta }^{\nu }-\delta _{\beta }^{\nu }\Gamma _{\alpha \sigma }^{\sigma }\right)-\delta _{\mu }^{\nu }g^{\alpha \beta }\left(\Gamma _{\alpha \beta }^{\sigma }\Gamma _{\sigma \rho }^{\rho }-\Gamma _{\alpha \sigma }^{\rho }\Gamma _{\beta \rho }^{\sigma }\right){\sqrt {-g}}\right)}$$

$${\displaystyle \left(\left({T_{\mu }}^{\nu }+{t_{\mu }}^{\nu }\right){\sqrt {-g}}\right)_{,\nu }=0.}$$

Claramente, este pseudotensor para tensión-energía gravitacional se construye exclusivamente a partir del tensor métrico y sus primeras derivadas. En consecuencia, desaparece en cualquier caso cuando se elige el sistema de coordenadas para hacer que las primeras derivadas de la métrica desaparezcan porque cada término del pseudotensor es cuadrático en las primeras derivadas de la métrica. Sin embargo, no es simétrico y, por tanto, no es adecuado como base para definir el momento angular.

Ver también

• Tensor de Bel-Robinson
• onda gravitacional

Notas

1. Lev Davidovich Landau y Evgeny Mikhailovich Lifshitz , La teoría clásica de los campos , (1951), Pergamon Press, ISBN  7-5062-4256-7 capítulo 11, sección n.° 96
2. Ecuación de Landau-Lifshitz 96,9
3. Ecuación de Landau-Lifshitz 96,8
4. Albert Einstein Das hamiltonisches Prinzip und allgemeine Relativitätstheorie (El principio hamiltoniano y la relatividad general). Sitzungsber. preus. Acad. Wiss. 1916, 2, 1111–1116.
5. Albert Einstein Der Energiesatz in der allgemeinen Relativitätstheorie. (Una ley de conservación de energía en la relatividad general). Sitzungsber. preus. Acad. Wiss. 1918, 1, 448–459
6. PAMDirac, Teoría general de la relatividad (1975), Princeton University Press, presentación rápida de los conceptos básicos de GTR. ISBN 0-691-01146-X páginas 61—63 

Referencias

• Petrov, Alejandro (2008). "Perturbaciones no lineales y leyes de conservación sobre fondos curvos en GR y otras teorías métricas". En Christiansen, Minnesota; Rasmussen, TK (eds.). Investigación sobre gravedad clásica y cuántica. Nueva York: Editores Nova Science . arXiv : 0705.0019 . ISBN 978-1-61122-957-8.