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Los problemas de Hilbert

David Hilbert

Los problemas de Hilbert son 23 problemas matemáticos publicados por el matemático alemán David Hilbert en 1900. Todos ellos estaban sin resolver en su momento, y varios resultaron ser muy influyentes para las matemáticas del siglo XX. Hilbert presentó diez de los problemas (1, 2, 6, 7, 8, 13, 16, 19, 21 y 22) en la conferencia de París del Congreso Internacional de Matemáticos , hablando el 8 de agosto en la Sorbona . La lista completa de 23 problemas fue publicada más tarde, en traducción al inglés en 1902 por Mary Frances Winston Newson en el Bulletin of the American Mathematical Society . [1] Publicaciones anteriores (en el alemán original) aparecieron en Archiv der Mathematik und Physik . [2]

Lista de problemas de Hilbert

Los siguientes son los encabezados de los 23 problemas de Hilbert tal como aparecieron en la traducción de 1902 en el Boletín de la Sociedad Matemática Americana . [1]

1. Problema de Cantor del número cardinal del continuo.
2. La compatibilidad de los axiomas aritméticos.
3. La igualdad de los volúmenes de dos tetraedros de bases iguales y alturas iguales.
4. Problema de la recta como distancia más corta entre dos puntos.
5. Concepto de Lie de un grupo continuo de transformaciones sin el supuesto de la diferenciabilidad de las funciones que definen el grupo.
6. Tratamiento matemático de los axiomas de la física.
7. Irracionalidad y trascendencia de ciertos números.
8. Problemas de números primos (La "Hipótesis de Riemann").
9. Prueba de la ley de reciprocidad más general en cualquier cuerpo de números.
10. Determinación de la solubilidad de una ecuación diofántica.
11. Formas cuadráticas con cualquier coeficiente numérico algebraico
12. Extensiones del teorema de Kronecker sobre campos abelianos a cualquier ámbito algebraico de racionalidad
13. Imposibilidad de la solución de la ecuación general de 7º grado mediante funciones de sólo dos argumentos.
14. Prueba de la finitud de ciertos sistemas completos de funciones.
15. Fundamentación rigurosa del cálculo enumerativo de Schubert.
16. Problema de la topología de curvas y superficies algebraicas.
17. Expresión de formas definidas mediante cuadrados.
18. Construcción del espacio a partir de poliedros congruentes.
19. ¿Las soluciones de problemas regulares en el cálculo de variaciones son siempre necesariamente analíticas?
20. El problema general de los valores en la frontera (Problemas de valores en la frontera en EDP).
21. Prueba de la existencia de ecuaciones diferenciales lineales que tienen un grupo de monodromía prescrito.
22. Uniformización de relaciones analíticas mediante funciones automórficas.
23. Desarrollo ulterior de los métodos de cálculo de variaciones.

Naturaleza e influencia de los problemas

Los problemas de Hilbert variaban mucho en cuanto a su temática y precisión. Algunos de ellos, como el 3.er problema, que fue el primero en ser resuelto, o el 8.º problema (la hipótesis de Riemann ), que aún permanece sin resolver, fueron presentados con la suficiente precisión como para permitir una respuesta afirmativa o negativa clara. Para otros problemas, como el 5.º, los expertos tradicionalmente han acordado una única interpretación, y se ha dado una solución a la interpretación aceptada, pero existen problemas estrechamente relacionados sin resolver. Algunas de las afirmaciones de Hilbert no eran lo suficientemente precisas como para especificar un problema particular, pero eran lo suficientemente sugerentes como para que ciertos problemas de naturaleza contemporánea parecieran aplicarse; por ejemplo, la mayoría de los teóricos de números modernos probablemente verían el 9.º problema como una referencia a la correspondencia conjetural de Langlands sobre representaciones del grupo absoluto de Galois de un cuerpo de números . [3] Aún otros problemas, como el 11.º y el 16.º, se refieren a lo que ahora son subdisciplinas matemáticas florecientes, como las teorías de las formas cuadráticas y las curvas algebraicas reales .

Hay dos problemas que no sólo no están resueltos, sino que, de hecho, pueden ser irresolubles según los estándares modernos. El sexto problema se refiere a la axiomatización de la física , un objetivo que los avances del siglo XX parecen hacer más remoto y menos importante que en la época de Hilbert. Además, el cuarto problema se refiere a los fundamentos de la geometría , de una manera que ahora se considera generalmente demasiado vaga para permitir una respuesta definitiva.

El problema 23 fue propuesto por Hilbert como una indicación general para destacar el cálculo de variaciones como un campo poco apreciado y poco estudiado. En la conferencia que presentó estos problemas, Hilbert hizo la siguiente observación introductoria al problema 23:

"Hasta ahora he mencionado en general problemas tan específicos y concretos como ha sido posible, en la opinión de que son precisamente estos problemas específicos y concretos los que más nos atraen y los que ejercen a menudo una influencia más duradera sobre la ciencia. Sin embargo, me gustaría terminar con un problema general, a saber, con la indicación de una rama de las matemáticas mencionada repetidamente en esta conferencia, que, a pesar del considerable avance que le ha dado recientemente Weierstrass, no recibe la apreciación general que, en mi opinión, se merece: me refiero al cálculo de variaciones."

Los otros 21 problemas recibieron una atención considerable y, a finales del siglo XX, el trabajo sobre ellos todavía se consideraba de la mayor importancia. Paul Cohen recibió la Medalla Fields en 1966 por su trabajo sobre el primer problema, y ​​la solución negativa del décimo problema en 1970 por Yuri Matiyasevich (completando el trabajo de Julia Robinson , Hilary Putnam y Martin Davis ) generó una aclamación similar. Algunos aspectos de estos problemas siguen siendo de gran interés hoy en día.

Cognibilidad

Siguiendo a Gottlob Frege y Bertrand Russell , Hilbert buscó definir las matemáticas de manera lógica utilizando el método de sistemas formales , es decir, pruebas finitistas a partir de un conjunto acordado de axiomas . [4] Uno de los principales objetivos del programa de Hilbert era una prueba finitista de la consistencia de los axiomas de la aritmética: ese es su segundo problema. [a]

Sin embargo, el segundo teorema de incompletitud de Gödel da un sentido preciso en el que una prueba finitista de la consistencia de la aritmética es demostrablemente imposible. Hilbert vivió 12 años después de que Kurt Gödel publicara su teorema, pero no parece haber escrito ninguna respuesta formal al trabajo de Gödel. [b] [c]

El décimo problema de Hilbert no pregunta si existe un algoritmo para decidir la resolubilidad de ecuaciones diofánticas , sino que pide la construcción de dicho algoritmo: "idear un proceso según el cual se pueda determinar en un número finito de operaciones si la ecuación es resoluble en números enteros racionales ". El hecho de que este problema se resolviera demostrando que no puede existir tal algoritmo contradecía la filosofía de las matemáticas de Hilbert.

Al discutir su opinión de que cada problema matemático debería tener una solución, Hilbert permite la posibilidad de que la solución podría ser una prueba de que el problema original es imposible. [d] Afirmó que el punto es saber de una manera u otra cuál es la solución, y creía que siempre podemos saber esto, que en matemáticas no hay ningún " ignorabimus " (afirmación cuya verdad nunca puede ser conocida). [e] Parece poco claro si habría considerado la solución del décimo problema como un ejemplo de ignorabimus: lo que se demuestra que no existe no es la solución entera, sino (en cierto sentido) la capacidad de discernir de una manera específica si existe una solución.

Por otra parte, el estado del primer y segundo problema es aún más complicado: no hay un consenso matemático claro sobre si los resultados de Gödel (en el caso del segundo problema), o de Gödel y Cohen (en el caso del primer problema) dan soluciones negativas definitivas o no, ya que estas soluciones se aplican a una cierta formalización de los problemas, que no es necesariamente la única posible. [f]

El problema 24

Hilbert originalmente incluyó 24 problemas en su lista, pero decidió no incluir uno de ellos en la lista publicada. El "problema 24" (en teoría de la demostración , sobre un criterio de simplicidad y métodos generales) fue redescubierto en las notas del manuscrito original de Hilbert por el historiador alemán Rüdiger Thiele en 2000. [7]

Seguimientos

Desde 1900, los matemáticos y las organizaciones matemáticas han anunciado listas de problemas pero, con pocas excepciones, éstas no han tenido tanta influencia ni han generado tanto trabajo como los problemas de Hilbert.

Una excepción son las tres conjeturas formuladas por André Weil a finales de los años 1940 (las conjeturas de Weil ). En los campos de la geometría algebraica , la teoría de números y los vínculos entre ambas, las conjeturas de Weil fueron muy importantes. [8] [9] La primera de ellas fue demostrada por Bernard Dwork ; una demostración completamente diferente de las dos primeras, mediante la cohomología ℓ-ádica , fue dada por Alexander Grothendieck . La última y más profunda de las conjeturas de Weil (un análogo de la hipótesis de Riemann) fue demostrada por Pierre Deligne . Tanto Grothendieck como Deligne recibieron la medalla Fields . Sin embargo, las conjeturas de Weil eran, en su alcance, más como un único problema de Hilbert, y Weil nunca las concibió como un programa para todas las matemáticas. Esto es un tanto irónico, ya que se podría decir que Weil fue el matemático de los años 1940 y 1950 que mejor desempeñó el papel de Hilbert, pues conocía casi todas las áreas de las matemáticas (teóricas) y había desempeñado un papel importante en el desarrollo de muchas de ellas.

Paul Erdős planteó cientos, si no miles, de problemas matemáticos , muchos de ellos profundos. Erdős solía ofrecer recompensas monetarias; el tamaño de la recompensa dependía de la dificultad percibida del problema. [10]

El fin del milenio, que coincidió también con el centenario del anuncio de los problemas de Hilbert, brindó una ocasión natural para proponer "un nuevo conjunto de problemas de Hilbert". Varios matemáticos aceptaron el desafío, en particular el medallista Fields Steve Smale , quien respondió a una petición de Vladimir Arnold de proponer una lista de 18 problemas.

Al menos en los medios de comunicación tradicionales, el análogo de facto de los problemas de Hilbert en el siglo XXI es la lista de siete problemas del Premio del Milenio elegidos durante el año 2000 por el Instituto de Matemáticas Clay . A diferencia de los problemas de Hilbert, donde el premio principal era la admiración de Hilbert en particular y de los matemáticos en general, cada problema premiado incluye una recompensa de un millón de dólares. Al igual que con los problemas de Hilbert, uno de los problemas premiados (la conjetura de Poincaré ) se resolvió relativamente pronto después de que se anunciaran los problemas.

La hipótesis de Riemann es notable por su aparición en la lista de problemas de Hilbert, la lista de Smale, la lista de problemas del Premio del Milenio e incluso en las conjeturas de Weil, en su forma geométrica. Aunque ha sido atacada por los principales matemáticos de nuestros días, muchos expertos creen que seguirá formando parte de las listas de problemas sin resolver durante muchos siglos. El propio Hilbert declaró: "Si me despertara después de haber dormido durante mil años, mi primera pregunta sería: ¿Se ha demostrado la hipótesis de Riemann?" [11]

En 2008, DARPA anunció su propia lista de 23 problemas que esperaba pudieran conducir a importantes avances matemáticos, "fortaleciendo así las capacidades científicas y tecnológicas del Departamento de Defensa ". [12] [13] La lista de DARPA también incluye algunos problemas de la lista de Hilbert, por ejemplo, la hipótesis de Riemann.

Resumen

De los problemas de Hilbert claramente formulados, los números 3, 7, 10, 14, 17, 18, 19 y 20 tienen resoluciones que son aceptadas por consenso de la comunidad matemática. Los problemas 1, 2, 5, 6, [g] 9, 11, 12, 15, 21 y 22 tienen soluciones que tienen una aceptación parcial, pero existe cierta controversia en cuanto a si resuelven los problemas.

Esto deja sin resolver la hipótesis 8 (la hipótesis de Riemann ), la 13 y la 16 [h] , y la 4 y la 23 son demasiado vagas como para que alguna vez se las pueda describir como resueltas. La hipótesis 24, que fue retirada, también estaría en esta clase.

Tabla de problemas

Los 23 problemas de Hilbert son (para más detalles sobre las soluciones y referencias, consulte los artículos enlazados en la primera columna):

Véase también

Notas

  1. ^ Véase Nagel y Newman revisado por Hofstadter (2001, p. 107), [5] nota al pie 37: "Además, aunque la mayoría de los especialistas en lógica matemática no cuestionan la coherencia de la prueba [de Gentzen], no es finitista en el sentido de las estipulaciones originales de Hilbert para una prueba absoluta de consistencia". Véase también la página siguiente: "Pero estas pruebas [de Gentzen et al.] no pueden reflejarse dentro de los sistemas a los que se refieren y, dado que no son finitistas, no logran los objetivos proclamados del programa original de Hilbert". Hofstadter reescribió ligeramente la nota al pie original (1958), cambiando la palabra "estudiantes" por "especialistas en lógica matemática". Y este punto se vuelve a discutir en la página 109 [5] y no fue modificado allí por Hofstadter (p. 108). [5]
  2. ↑ Reid informa que al enterarse de la obra de Gödel por boca de Bernays, se sintió "algo enojado"... Al principio sólo estaba enojado y frustrado, pero luego comenzó a tratar de lidiar constructivamente con el problema..... Todavía no estaba claro qué influencia tendría finalmente la obra de Gödel" (p. 198-199). [6] Reid señala que en dos artículos de 1931 Hilbert propuso una forma diferente de inducción llamada "unendliche Induktion" (p. 199). [6]
  3. ^ La biografía de Hilbert escrita por Reid durante la década de 1960 a partir de entrevistas y cartas, informa que "Godel (que nunca tuvo correspondencia con Hilbert) siente que el esquema de Hilbert para los fundamentos de las matemáticas 'sigue siendo muy interesante e importante a pesar de mis resultados negativos' (p. 217). Obsérvese el uso del tiempo presente: ella informa que Gödel y Bernays, entre otros, "respondieron mis preguntas sobre el trabajo de Hilbert en lógica y fundamentos" (p. vii). [6]
  4. ^ Esta cuestión tiene su origen en la "crisis fundacional" de principios del siglo XX, en particular la controversia sobre en qué circunstancias se podía emplear la Ley del Tercero Excluido en las demostraciones. Véase mucho más en Controversia Brouwer-Hilbert .
  5. ^ "Esta convicción de la resolubilidad de todo problema matemático es un poderoso incentivo para el trabajador. Oímos dentro de nosotros el llamado perpetuo: ahí está el problema. Buscad su solución. Podéis encontrarla por medio de la razón pura, pues en matemáticas no existe el ignorabimus ." (Hilbert, 1902, p. 445)
  6. ^ Nagel, Newman y Hofstadter discuten esta cuestión: "La posibilidad de construir una prueba absoluta finitista de consistencia para un sistema formal como Principia Mathematica no queda excluida por los resultados de Gödel... Su argumento no elimina la posibilidad... Pero nadie parece tener hoy una idea clara de cómo sería una prueba finitista que no sea capaz de reflejarse dentro de Principia Mathematica (nota 39, página 109). Los autores concluyen que la perspectiva "es muy improbable". [5]
  7. ^ El número 6 ahora se considera un problema de física más que de matemáticas.
  8. ^ Algunos autores consideran que este problema es demasiado vago como para poder decir que está resuelto, aunque todavía hay investigaciones activas al respecto.
  9. ^ Según Gray, la mayoría de los problemas han sido resueltos. Algunos no fueron definidos completamente, pero se ha avanzado lo suficiente como para considerarlos "resueltos"; Gray menciona el cuarto problema como demasiado vago para decir si ha sido resuelto.
  10. ^ El problema 9 fue resuelto por Emil Artin en 1927 para extensiones abelianas de los números racionales durante el desarrollo de la teoría de campos de clases ; el caso no abeliano permanece sin resolver, si uno interpreta esto como que significa teoría de campos de clases no abeliana .
  11. ^ No es difícil demostrar que el problema tiene una solución parcial dentro del espacio de funciones analíticas univaluadas (Raudenbush). Algunos autores sostienen que Hilbert pretendía una solución dentro del espacio de funciones algebraicas (multivaluadas), continuando así su propio trabajo sobre funciones algebraicas y siendo una cuestión sobre una posible extensión de la teoría de Galois (véase, por ejemplo, Abhyankar [19] Vitushkin, [20] Chebotarev, [21] y otros). De uno de los artículos de Hilbert [22] se desprende que esta era su intención original para el problema. El lenguaje de Hilbert allí es " Existez von algebraischen Funktionen " ("existencia de funciones algebraicas "). Como tal, el problema aún está sin resolver.
  12. ^ Gray también enumera el problema 18 como "abierto" en su libro de 2000, porque el problema del empaquetamiento de esferas (también conocido como la conjetura de Kepler ) no estaba resuelto, pero ahora se ha afirmado que tiene solución.

Referencias

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Lectura adicional

Enlaces externos

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Problemas matemáticos