Coeficiente de Poisson

Medida de la deformación del material perpendicular a la carga.

El coeficiente de Poisson de un material define la relación entre la deformación transversal ( dirección x ) y la deformación axial ( dirección y ).

En la ciencia de los materiales y la mecánica de sólidos , el coeficiente de Poisson ν ( nu ) es una medida del efecto Poisson , la deformación (expansión o contracción) de un material en direcciones perpendiculares a la dirección específica de la carga . El valor del coeficiente de Poisson es el negativo de la relación entre la deformación transversal y la deformación axial . Para valores pequeños de estos cambios, ν es la cantidad de elongación transversal dividida por la cantidad de compresión axial . La mayoría de los materiales tienen valores de coeficiente de Poisson que oscilan entre 0,0 y 0,5. Para materiales blandos, ^[1] como el caucho, donde el módulo volumétrico es mucho mayor que el módulo de corte, el coeficiente de Poisson está cerca de 0,5. Para las espumas de polímero de celdas abiertas, el coeficiente de Poisson está cerca de cero, ya que las celdas tienden a colapsar en la compresión. Muchos sólidos típicos tienen coeficientes de Poisson en el rango de 0,2 a 0,3. La relación debe su nombre al matemático y físico francés Siméon Poisson .

Origen

El coeficiente de Poisson es una medida del efecto Poisson, el fenómeno por el cual un material tiende a expandirse en direcciones perpendiculares a la dirección de compresión. Por el contrario, si el material se estira en lugar de comprimirse, generalmente tiende a contraerse en direcciones transversales a la dirección de estiramiento. Es una observación común que cuando se estira una banda de goma, se vuelve notablemente más delgada. Nuevamente, el coeficiente de Poisson será la relación entre la contracción relativa y la expansión relativa y tendrá el mismo valor que el anterior. En ciertos casos raros, ^[2] un material en realidad se encogerá en la dirección transversal cuando se comprima (o se expandirá cuando se estire), lo que producirá un valor negativo del coeficiente de Poisson.

El coeficiente de Poisson de un material elástico lineal , isótropo y estable debe estar entre -1,0 y +0,5 debido al requisito de que el módulo de Young , el módulo de corte y el módulo volumétrico tengan valores positivos. ^[3] La mayoría de los materiales tienen valores de coeficiente de Poisson que oscilan entre 0,0 y 0,5. Un material isótropo perfectamente incompresible deformado elásticamente a pequeñas deformaciones tendría un coeficiente de Poisson de exactamente 0,5. La mayoría de los aceros y polímeros rígidos cuando se utilizan dentro de sus límites de diseño (antes del límite elástico ) exhiben valores de aproximadamente 0,3, que aumentan a 0,5 para la deformación posterior al límite elástico que ocurre principalmente a volumen constante. ^[4] El caucho tiene un coeficiente de Poisson de casi 0,5. El coeficiente de Poisson del corcho es cercano a 0, mostrando muy poca expansión lateral cuando se comprime y el vidrio está entre 0,18 y 0,30. Algunos materiales, por ejemplo, algunas espumas de polímeros, pliegues de origami, ^{[5] [6]} y ciertas células pueden exhibir un coeficiente de Poisson negativo y se denominan materiales auxéticos . Si estos materiales auxéticos se estiran en una dirección, se vuelven más gruesos en la dirección perpendicular. Por el contrario, algunos materiales anisotrópicos , como los nanotubos de carbono , los materiales de láminas plegadas en zigzag, ^{[7] [8]} y los metamateriales auxéticos en forma de panal ^[9], por nombrar algunos, pueden exhibir uno o más coeficientes de Poisson superiores a 0,5 en ciertas direcciones.

Suponiendo que el material se estira o se comprime en una sola dirección (el eje x en el diagrama a continuación):

${\displaystyle \nu =-{\frac {d\varepsilon _{\mathrm {trans} }}{d\varepsilon _{\mathrm {axial} }}}=-{\frac {d\varepsilon _{\mathrm {y} }}{d\varepsilon _{\mathrm {x} }}}=-{\frac {d\varepsilon _{\mathrm {z} }}{d\varepsilon _{\mathrm {x} }}}}$

dónde

• ν es el coeficiente de Poisson resultante,
• ε _trans es la deformación transversal
• ε _axial es la deformación axial

y la tensión positiva indica extensión y la tensión negativa indica contracción.

Relación de Poisson a partir de cambios geométricos

Cambio de longitud

Figura 1 : Un cubo con lados de longitud L de un material isótropo elástico linealmente sometido a tensión a lo largo del eje x, con un coeficiente de Poisson de 0,5. El cubo verde no está deformado, el rojo se expande en la dirección x en Δ L debido a la tensión y se contrae en las direcciones y y z en Δ L ′ .

Para un cubo estirado en la dirección x (ver Figura 1) con un aumento de longitud de Δ L en la dirección x y una disminución de longitud de Δ L ′ en las direcciones y y z , las deformaciones diagonales infinitesimales se dan por

${\displaystyle d\varepsilon _{x}={\frac {dx}{x}},\qquad d\varepsilon _{y}={\frac {dy}{y}},\qquad d\varepsilon _{z}={\frac {dz}{z}}.}$

Si el coeficiente de Poisson es constante a través de la deformación, integrando estas expresiones y utilizando la definición del coeficiente de Poisson se obtiene

${\displaystyle -\nu \int _{L}^{L+\Delta L}{\frac {dx}{x}}=\int _{L}^{L+\Delta L'}{\frac {dy}{y}}=\int _{L}^{L+\Delta L'}{\frac {dz}{z}}.}$

Resolviendo y exponenciando, la relación entre Δ L y Δ L ′ es entonces

${\displaystyle \left(1+{\frac {\Delta L}{L}}\right)^{-\nu }=1+{\frac {\Delta L'}{L}}.}$

Para valores muy pequeños de Δ L y Δ L ′ , la aproximación de primer orden produce:

${\displaystyle \nu \approx -{\frac {\Delta L'}{\Delta L}}.}$

Cambio volumétrico

El cambio relativo de volumenΔV​/V⁠ de un cubo debido al estiramiento del material ahora se puede calcular. Dado que V = L ³ y

${\displaystyle V+\Delta V=(L+\Delta L)\left(L+\Delta L'\right)^{2}}$

Se puede derivar

${\displaystyle {\frac {\Delta V}{V}}=\left(1+{\frac {\Delta L}{L}}\right)\left(1+{\frac {\Delta L'}{L}}\right)^{2}-1}$

Utilizando la relación derivada anterior entre Δ L y Δ L ′ :

${\displaystyle {\frac {\Delta V}{V}}=\left(1+{\frac {\Delta L}{L}}\right)^{1-2\nu }-1}$

y para valores muy pequeños de Δ L y Δ L ′ , la aproximación de primer orden produce:

${\displaystyle {\frac {\Delta V}{V}}\approx (1-2\nu ){\frac {\Delta L}{L}}}$

Para materiales isótropos podemos utilizar la relación de Lamé ^[10]

${\displaystyle \nu \approx {\frac {1}{2}}-{\frac {E}{6K}}}$

donde K es el módulo volumétrico y E es el módulo de Young .

Cambio de ancho

Figura 2: La pendiente azul representa una fórmula simplificada (la superior en la leyenda) que funciona bien para deformaciones modestas, ∆ L , hasta aproximadamente ±3. La curva verde representa una fórmula más adecuada para deformaciones mayores.

Si una varilla con diámetro (o ancho o espesor) d y longitud L está sujeta a tensión de modo que su longitud cambiará en Δ L, entonces su diámetro d cambiará en:

${\displaystyle {\frac {\Delta d}{d}}=-\nu {\frac {\Delta L}{L}}}$

La fórmula anterior sólo es cierta en el caso de pequeñas deformaciones; si las deformaciones son grandes, se puede utilizar la siguiente fórmula (más precisa):

${\displaystyle \Delta d=-d\left(1-{\left(1+{\frac {\Delta L}{L}}\right)}^{-\nu }\right)}$

dónde

• d es el diámetro original
• Δ d es el cambio del diámetro de la varilla
• ν es el coeficiente de Poisson
• L es la longitud original, antes del estiramiento.
• Δ L es el cambio de longitud.

El valor es negativo porque disminuye con el aumento de la longitud.

Materiales característicos

Isotrópico

En el caso de un material isótropo lineal sometido únicamente a fuerzas de compresión (es decir, normales), la deformación de un material en la dirección de un eje producirá una deformación del material a lo largo del otro eje en tres dimensiones. Por lo tanto, es posible generalizar la Ley de Hooke (para fuerzas de compresión) en tres dimensiones:

${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{xx}&={\frac {1}{E}}\left[\sigma _{xx}-\nu \left(\sigma _{yy}+\sigma _{zz}\right)\right]\\[6px]\varepsilon _{yy}&={\frac {1}{E}}\left[\sigma _{yy}-\nu \left(\sigma _{zz}+\sigma _{xx}\right)\right]\\[6px]\varepsilon _{zz}&={\frac {1}{E}}\left[\sigma _{zz}-\nu \left(\sigma _{xx}+\sigma _{yy}\right)\right]\end{aligned}}}$^{[ cita requerida ]}

dónde:

• ε _xx , ε _yy y ε _zz son deformaciones en la dirección de x , y y z
• σ _xx , σ _yy y σ _zz son tensiones en la dirección de x , y y z
• E es el módulo de Young (el mismo en todas las direcciones para materiales isótropos)
• ν es el coeficiente de Poisson (el mismo en todas las direcciones para materiales isótropos)

Estas ecuaciones se pueden sintetizar todas de la siguiente manera:

${\displaystyle \varepsilon _{ii}={\frac {1}{E}}\left[\sigma _{ii}(1+\nu )-\nu \sum _{k}\sigma _{kk}\right]}$

En el caso más general, también se mantendrán las tensiones cortantes , así como las tensiones normales, y la generalización completa de la ley de Hooke viene dada por:

${\displaystyle \varepsilon _{ij}={\frac {1}{E}}\left[\sigma _{ij}(1+\nu )-\nu \delta _{ij}\sum _{k}\sigma _{kk}\right]}$

donde δ _ij es la delta de Kronecker . Se suele adoptar la notación de Einstein :

${\displaystyle \sigma _{kk}\equiv \sum _{l}\delta _{kl}\sigma _{kl}}$

Para escribir la ecuación simplemente como:

${\displaystyle \varepsilon _{ij}={\frac {1}{E}}\left[\sigma _{ij}(1+\nu )-\nu \delta _{ij}\sigma _{kk}\right]}$

Anisótropo

Para materiales anisotrópicos, el coeficiente de Poisson depende de la dirección de extensión y de la deformación transversal.

${\displaystyle {\begin{aligned}\nu (\mathbf {n} ,\mathbf {m} )&=-E\left(\mathbf {n} \right)s_{ij\alpha \beta }n_{i}n_{j}m_{\alpha }m_{\beta }\\[4px]E^{-1}(\mathbf {n} )&=s_{ij\alpha \beta }n_{i}n_{j}n_{\alpha }n_{\beta }\end{aligned}}}$

Aquí ν es el coeficiente de Poisson, E es el módulo de Young , n es un vector unitario dirigido a lo largo de la dirección de extensión, m es un vector unitario dirigido perpendicularmente a la dirección de extensión. El coeficiente de Poisson tiene un número diferente de direcciones especiales dependiendo del tipo de anisotropía. ^{[11] [12]}

Ortotrópico

Los materiales ortotrópicos tienen tres planos de simetría perpendiculares entre sí en sus propiedades materiales. Un ejemplo es la madera, que es más rígida (y resistente) a lo largo de la fibra y menos rígida en las otras direcciones.

Entonces la ley de Hooke se puede expresar en forma matricial como ^{[13] [14]}

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\epsilon _{xx}\\\epsilon _{yy}\\\epsilon _{zz}\\2\epsilon _{yz}\\2\epsilon _{zx}\\2\epsilon _{xy}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\tfrac {1}{E_{x}}}&-{\tfrac {\nu _{yx}}{E_{y}}}&-{\tfrac {\nu _{zx}}{E_{z}}}&0&0&0\\-{\tfrac {\nu _{xy}}{E_{x}}}&{\tfrac {1}{E_{y}}}&-{\tfrac {\nu _{zy}}{E_{z}}}&0&0&0\\-{\tfrac {\nu _{xz}}{E_{x}}}&-{\tfrac {\nu _{yz}}{E_{y}}}&{\tfrac {1}{E_{z}}}&0&0&0\\0&0&0&{\tfrac {1}{G_{yz}}}&0&0\\0&0&0&0&{\tfrac {1}{G_{zx}}}&0\\0&0&0&0&0&{\tfrac {1}{G_{xy}}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{xx}\\\sigma _{yy}\\\sigma _{zz}\\\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}\\\sigma _{xy}\end{bmatrix}}}$

dónde

• E _i es el módulo de Young a lo largo del eje i
• G _ij es el módulo de corte en la dirección j en el plano cuya normal está en la dirección i
• ν _ij es el coeficiente de Poisson que corresponde a una contracción en la dirección j cuando se aplica una extensión en la dirección i .

El coeficiente de Poisson de un material ortotrópico es diferente en cada dirección ( x , y y z ). Sin embargo, la simetría de los tensores de tensión y deformación implica que no todos los seis coeficientes de Poisson de la ecuación son independientes. Solo hay nueve propiedades independientes del material: tres módulos elásticos, tres módulos de corte y tres coeficientes de Poisson. Los tres coeficientes de Poisson restantes se pueden obtener a partir de las relaciones

${\displaystyle {\frac {\nu _{yx}}{E_{y}}}={\frac {\nu _{xy}}{E_{x}}}\,,\qquad {\frac {\nu _{zx}}{E_{z}}}={\frac {\nu _{xz}}{E_{x}}}\,,\qquad {\frac {\nu _{yz}}{E_{y}}}={\frac {\nu _{zy}}{E_{z}}}}$

De las relaciones anteriores podemos ver que si E _x > E _y entonces ν _xy > ν _yx . La razón más grande (en este caso ν _xy ) se llama razón de Poisson mayor mientras que la más pequeña (en este caso ν _yx ) se llama razón de Poisson menor . Podemos encontrar relaciones similares entre las otras razones de Poisson.

Transversalmente isotrópico

Los materiales transversalmente isótropos tienen un plano de isotropía en el que las propiedades elásticas son isótropas. Si suponemos que este plano de isotropía es el plano yz , entonces la ley de Hooke toma la forma ^[15]

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\epsilon _{xx}\\\epsilon _{yy}\\\epsilon _{zz}\\2\epsilon _{yz}\\2\epsilon _{zx}\\2\epsilon _{xy}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\tfrac {1}{E_{x}}}&-{\tfrac {\nu _{yx}}{E_{y}}}&-{\tfrac {\nu _{zx}}{E_{z}}}&0&0&0\\-{\tfrac {\nu _{xy}}{E_{x}}}&{\tfrac {1}{E_{y}}}&-{\tfrac {\nu _{zy}}{E_{z}}}&0&0&0\\-{\tfrac {\nu _{xz}}{E_{x}}}&-{\tfrac {\nu _{yz}}{E_{y}}}&{\tfrac {1}{E_{z}}}&0&0&0\\0&0&0&{\tfrac {1}{G_{\rm {yz}}}}&0&0\\0&0&0&0&{\tfrac {1}{G_{\rm {zx}}}}&0\\0&0&0&0&0&{\tfrac {1}{G_{\rm {xy}}}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{xx}\\\sigma _{yy}\\\sigma _{zz}\\\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}\\\sigma _{xy}\end{bmatrix}}}$

donde hemos utilizado el plano yz de isotropía para reducir el número de constantes, es decir,

${\displaystyle E_{y}=E_{z},\qquad \nu _{xy}=\nu _{xz},\qquad \nu _{yx}=\nu _{zx}.}$.

La simetría de los tensores de tensión y deformación implica que

${\displaystyle {\frac {\nu _{xy}}{E_{x}}}={\frac {\nu _{yx}}{E_{y}}},\qquad \nu _{yz}=\nu _{zy}.}$

Esto nos deja con seis constantes independientes E _x , E _y , G _xy , G _yz , ν _xy , ν _yz . Sin embargo, la isotropía transversal da lugar a una restricción adicional entre G _yz y E _y , ν _yz que es

${\displaystyle G_{yz}={\frac {E_{y}}{2\left(1+\nu _{yz}\right)}}.}$

Por lo tanto, existen cinco propiedades elásticas independientes de los materiales, dos de las cuales son coeficientes de Poisson. Para el plano de simetría supuesto, el mayor de los coeficientes de Poisson ν _xy y ν _yx es el mayor. Los otros coeficientes de Poisson mayores y menores son iguales.

Valores del coeficiente de Poisson para diferentes materiales

Influencias de la adición de componentes de vidrio seleccionados en el coeficiente de Poisson de un vidrio base específico. ^[16]

Materiales con coeficiente de Poisson negativo

Algunos materiales conocidos como materiales auxéticos muestran un coeficiente de Poisson negativo. Cuando se someten a una deformación positiva en un eje longitudinal, la deformación transversal en el material será en realidad positiva (es decir, aumentará el área de la sección transversal). Para estos materiales, generalmente se debe a enlaces moleculares articulados con orientación única. Para que estos enlaces se estiren en la dirección longitudinal, las bisagras deben "abrirse" en la dirección transversal, exhibiendo efectivamente una deformación positiva. ^[19] Esto también se puede hacer de manera estructurada y conducir a nuevos aspectos en el diseño de materiales como para los metamateriales mecánicos .

Los estudios han demostrado que ciertos tipos de madera maciza muestran un coeficiente de Poisson negativo exclusivamente durante una prueba de fluencia por compresión . ^{[20] [21]} Inicialmente, la prueba de fluencia por compresión muestra coeficientes de Poisson positivos, pero disminuyen gradualmente hasta alcanzar valores negativos. En consecuencia, esto también demuestra que el coeficiente de Poisson para la madera depende del tiempo durante una carga constante, lo que significa que la deformación en la dirección axial y transversal no aumenta al mismo ritmo.

Los medios con microestructura diseñada pueden presentar un coeficiente de Poisson negativo. En un caso simple, la auxeticidad se obtiene eliminando material y creando un medio poroso periódico. ^[22] Las redes pueden alcanzar valores más bajos del coeficiente de Poisson, ^[23] que pueden estar indefinidamente cerca del valor límite −1 en el caso isotrópico. ^[24]

Más de trescientos materiales cristalinos tienen un coeficiente de Poisson negativo. ^{[25] [26] [27]} Por ejemplo, Li, Na, K, Cu, Rb, Ag, Fe, Ni, Co, Cs, Au, Be, Ca, Zn Sr, Sb, MoS ₂ y otros.

Función de Poisson

En deformaciones finitas , la relación entre las deformaciones transversales y axiales ε _trans y ε _axial no suele estar bien descrita por el coeficiente de Poisson. De hecho, el coeficiente de Poisson suele considerarse una función de la deformación aplicada en el régimen de deformaciones grandes. En tales casos, el coeficiente de Poisson se sustituye por la función de Poisson, para la que existen varias definiciones en competencia. ^[28] Definiendo el estiramiento transversal λ _trans = ε _trans + 1 y el estiramiento axial λ _axial = ε _axial + 1 , donde el estiramiento transversal es una función del estiramiento axial, las más comunes son las funciones de Hencky, Biot, Green y Almansi:

${\displaystyle {\begin{aligned}\nu ^{\text{Hencky}}&=-{\frac {\ln \lambda _{\text{trans}}}{\ln \lambda _{\text{axial}}}}\\[6pt]\nu ^{\text{Biot}}&={\frac {1-\lambda _{\text{trans}}}{\lambda _{\text{axial}}-1}}\\[6pt]\nu ^{\text{Green}}&={\frac {1-\lambda _{\text{trans}}^{2}}{\lambda _{\text{axial}}^{2}-1}}\\[6pt]\nu ^{\text{Almansi}}&={\frac {\lambda _{\text{trans}}^{-2}-1}{1-\lambda _{\text{axial}}^{-2}}}\end{aligned}}}$

Aplicaciones del efecto Poisson

Un área en la que el efecto Poisson tiene una influencia considerable es en el flujo de tuberías presurizadas. Cuando el aire o el líquido dentro de una tubería está muy presurizado, ejerce una fuerza uniforme en el interior de la tubería, lo que da como resultado una tensión circular dentro del material de la tubería. Debido al efecto Poisson, esta tensión circular hará que la tubería aumente de diámetro y disminuya ligeramente su longitud. La disminución de la longitud, en particular, puede tener un efecto notable en las juntas de la tubería, ya que el efecto se acumulará para cada sección de tubería unida en serie. Una junta restringida puede separarse o ser propensa a fallar. ^{[ cita requerida ]}

Otro campo de aplicación del efecto Poisson es el de la geología estructural . Las rocas, como la mayoría de los materiales, están sujetas al efecto Poisson cuando están sometidas a tensión. En una escala de tiempo geológica, la erosión o sedimentación excesiva de la corteza terrestre puede crear o eliminar grandes tensiones verticales sobre la roca subyacente. Esta roca se expandirá o contraerá en dirección vertical como resultado directo de la tensión aplicada, y también se deformará en dirección horizontal como resultado del efecto Poisson. Este cambio de deformación en la dirección horizontal puede afectar o formar juntas y tensiones latentes en la roca. ^[29]

Aunque históricamente se ha elegido el corcho para sellar las botellas de vino por otras razones (incluida su naturaleza inerte, impermeabilidad, flexibilidad, capacidad de sellado y resiliencia), ^[30] el coeficiente de Poisson de cero del corcho proporciona otra ventaja. A medida que se inserta el corcho en la botella, la parte superior que aún no se ha insertado no se expande en diámetro ya que se comprime axialmente. La fuerza necesaria para insertar un corcho en una botella surge únicamente de la fricción entre el corcho y la botella debido a la compresión radial del corcho. Si el tapón estuviera hecho de caucho, por ejemplo, (con un coeficiente de Poisson de aproximadamente +0,5), se requeriría una fuerza adicional relativamente grande para superar la expansión radial de la parte superior del tapón de caucho.

La mayoría de los mecánicos de automóviles saben que es difícil sacar una manguera de goma (como una manguera de refrigerante) de un extremo de tubería de metal, ya que la tensión al tirar hace que el diámetro de la manguera se encoja, agarrando el extremo con fuerza. (Este es el mismo efecto que se muestra en una trampa para dedos china ). Las mangueras se pueden sacar de los extremos con mayor facilidad utilizando una hoja plana y ancha.

Véase también

• Elasticidad lineal
• Ley de Hooke
• Técnica de excitación por impulsos
• Material ortotrópico
• Módulo de corte
• Módulo de Young
• Coeficiente de expansión térmica

Referencias

1. En el caso de materiales blandos, el módulo volumétrico ( K ) suele ser grande en comparación con el módulo de corte ( G ), por lo que pueden considerarse incompresibles, ya que es más fácil cambiar de forma que comprimirlos. Esto da como resultado que el módulo de Young ( E ) sea E = 3 G y, por lo tanto, ν = 0,5 . Jastrzebski, D. (1959). Naturaleza y propiedades de los materiales de ingeniería (Wiley International ed.). John Wiley & Sons, Inc.
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Enlaces externos

• Significado del coeficiente de Poisson
• Materiales con coeficiente de Poisson negativo
• Más sobre materiales con coeficiente de Poisson negativo (auxéticos) Archivado el 8 de febrero de 2018 en Wayback Machine.