Isotropía transversal

La isotropía transversal se observa en rocas sedimentarias en longitudes de onda largas. Cada capa tiene aproximadamente las mismas propiedades en el plano, pero diferentes propiedades en el espesor. El plano de cada capa es el plano de isotropía y el eje vertical es el eje de simetría.

Un material transversalmente isótropo es aquel cuyas propiedades físicas son simétricas respecto de un eje que es normal a un plano de isotropía . Este plano transversal tiene infinitos planos de simetría y, por lo tanto, dentro de este plano, las propiedades del material son las mismas en todas las direcciones. Por lo tanto, estos materiales también se conocen como materiales "anisotrópicos polares". En geofísica, la isotropía transversal vertical (VTI) también se conoce como anisotropía radial.

Este tipo de material presenta simetría hexagonal (aunque técnicamente esto deja de ser cierto para tensores de rango 6 y superiores), por lo que el número de constantes independientes en el tensor de elasticidad (de cuarto rango) se reduce a 5 (de un total de 21 constantes independientes en el caso de un sólido completamente anisotrópico ). Los tensores (de segundo rango) de resistividad eléctrica, permeabilidad, etc. tienen dos constantes independientes.

Ejemplo de materiales isótropos transversalmente

Un material elástico transversalmente isótropo.

Un ejemplo de material isótropo transversal es la denominada lámina compuesta de fibras unidireccionales sobre el eje, en la que las fibras tienen una sección transversal circular. En un compuesto unidireccional, el plano normal a la dirección de la fibra puede considerarse como el plano isótropo, en longitudes de onda largas (frecuencias bajas) de excitación. En la figura de la derecha, las fibras estarían alineadas con el eje, que es normal al plano de isotropía. ${\displaystyle x_{2}}$

En términos de propiedades efectivas, las capas geológicas de rocas suelen interpretarse como transversalmente isótropas. El cálculo de las propiedades elásticas efectivas de dichas capas en petrología se ha denominado aumento de escala de Backus , que se describe a continuación.

Matriz de simetría material

La matriz material tiene simetría con respecto a una transformación ortogonal dada ( ) si no cambia cuando se la somete a esa transformación. Para que las propiedades del material sean invariables bajo dicha transformación, necesitamos ${\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {K}}}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {A}}\cdot \mathbf {f} ={\boldsymbol {K}}\cdot ({\boldsymbol {A}}\cdot {\boldsymbol {d}})\implies \mathbf {f} =({\boldsymbol {A}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {K}}\cdot {\boldsymbol {A}})\cdot {\boldsymbol {d}}}$

Por lo tanto, la condición para la simetría material es (utilizando la definición de una transformación ortogonal)

${\displaystyle {\boldsymbol {K}}={\boldsymbol {A}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {K}}\cdot {\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {A}}^{T}\cdot {\boldsymbol {K}}\cdot {\boldsymbol {A}}}$

Las transformaciones ortogonales se pueden representar en coordenadas cartesianas mediante una matriz dada por ${\displaystyle 3\times 3}$ ${\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {A}}}}}$

${\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {A}}}}={\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&A_{13}\\A_{21}&A_{22}&A_{23}\\A_{31}&A_{32}&A_{33}\end{bmatrix}}~.}$

Por lo tanto, la condición de simetría se puede escribir en forma matricial como

${\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {K}}}}={\underline {\underline {{\boldsymbol {A}}^{T}}}}~{\underline {\underline {\boldsymbol {K}}}}~{\underline {\underline {\boldsymbol {A}}}}}$

Para un material isótropo transversalmente, la matriz tiene la forma ${\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {A}}}}}$

${\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {A}}}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta &0\\-\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&1\end{bmatrix}}~.}$

donde el eje es el eje de simetría . La matriz material permanece invariable bajo rotación en cualquier ángulo alrededor del eje. ${\displaystyle x_{3}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle x_{3}}$

En física

Las relaciones constitutivas materiales lineales en física se pueden expresar en la forma

${\displaystyle \mathbf {f} ={\boldsymbol {K}}\cdot \mathbf {d} }$

donde son dos vectores que representan magnitudes físicas y es un tensor material de segundo orden. En forma matricial, ${\displaystyle \mathbf {d} ,\mathbf {f} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {K}}}$

${\displaystyle {\underline {\underline {\mathbf {f} }}}={\underline {\underline {\boldsymbol {K}}}}~{\underline {\underline {\mathbf {d} }}}\implies {\begin{bmatrix}f_{1}\\f_{2}\\f_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}K_{11}&K_{12}&K_{13}\\K_{21}&K_{22}&K_{23}\\K_{31}&K_{32}&K_{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}d_{1}\\d_{2}\\d_{3}\end{bmatrix}}}$

En la siguiente tabla se enumeran ejemplos de problemas físicos que se ajustan a la plantilla anterior. ^[1]

El uso de la matriz implica que . El uso conduce a y . Las restricciones de energía generalmente requieren y, por lo tanto, debemos tener . Por lo tanto, las propiedades del material de un material transversalmente isótropo se describen mediante la matriz ${\displaystyle \theta =\pi }$ ${\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {A}}}}}$ ${\displaystyle K_{13}=K_{31}=K_{23}=K_{32}=0}$ ${\displaystyle \theta ={\tfrac {\pi }{2}}}$ ${\displaystyle K_{11}=K_{22}}$ ${\displaystyle K_{12}=-K_{21}}$ ${\displaystyle K_{12},K_{21}\geq 0}$ ${\displaystyle K_{12}=K_{21}=0}$

${\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {K}}}}={\begin{bmatrix}K_{11}&0&0\\0&K_{11}&0\\0&0&K_{33}\end{bmatrix}}}$

En elasticidad lineal

Condición para la simetría del material

En la elasticidad lineal , la tensión y la deformación están relacionadas por la ley de Hooke , es decir,

${\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {\sigma }}}}={\underline {\underline {\mathsf {C}}}}~{\underline {\underline {\boldsymbol {\varepsilon }}}}}$

o, utilizando la notación Voigt ,

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{1}\\\sigma _{2}\\\sigma _{3}\\\sigma _{4}\\\sigma _{5}\\\sigma _{6}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&C_{14}&C_{15}&C_{16}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}&C_{24}&C_{25}&C_{26}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}&C_{34}&C_{35}&C_{36}\\C_{14}&C_{24}&C_{34}&C_{44}&C_{45}&C_{46}\\C_{15}&C_{25}&C_{35}&C_{45}&C_{55}&C_{56}\\C_{16}&C_{26}&C_{36}&C_{46}&C_{56}&C_{66}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{1}\\\varepsilon _{2}\\\varepsilon _{3}\\\varepsilon _{4}\\\varepsilon _{5}\\\varepsilon _{6}\end{bmatrix}}}$

La condición para la simetría del material en materiales elásticos lineales es. ^[2]

${\displaystyle {\underline {\underline {\mathsf {C}}}}={\underline {\underline {{\mathsf {A}}_{\varepsilon }}}}^{T}~{\underline {\underline {\mathsf {C}}}}~{\underline {\underline {{\mathsf {A}}_{\varepsilon }}}}}$

dónde

${\displaystyle {\underline {\underline {{\mathsf {A}}_{\varepsilon }}}}={\begin{bmatrix}A_{11}^{2}&A_{12}^{2}&A_{13}^{2}&A_{12}A_{13}&A_{11}A_{13}&A_{11}A_{12}\\A_{21}^{2}&A_{22}^{2}&A_{23}^{2}&A_{22}A_{23}&A_{21}A_{23}&A_{21}A_{22}\\A_{31}^{2}&A_{32}^{2}&A_{33}^{2}&A_{32}A_{33}&A_{31}A_{33}&A_{31}A_{32}\\2A_{21}A_{31}&2A_{22}A_{32}&2A_{23}A_{33}&A_{22}A_{33}+A_{23}A_{32}&A_{21}A_{33}+A_{23}A_{31}&A_{21}A_{32}+A_{22}A_{31}\\2A_{11}A_{31}&2A_{12}A_{32}&2A_{13}A_{33}&A_{12}A_{33}+A_{13}A_{32}&A_{11}A_{33}+A_{13}A_{31}&A_{11}A_{32}+A_{12}A_{31}\\2A_{11}A_{21}&2A_{12}A_{22}&2A_{13}A_{23}&A_{12}A_{23}+A_{13}A_{22}&A_{11}A_{23}+A_{13}A_{21}&A_{11}A_{22}+A_{12}A_{21}\end{bmatrix}}}$

Tensor de elasticidad

Utilizando los valores específicos de en la matriz , ^[3] se puede demostrar que el tensor de rigidez elástica de cuarto rango se puede escribir en notación Voigt de 2 índices como la matriz ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {A}}}}}$

${\displaystyle {\underline {\underline {\mathsf {C}}}}={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&0&0&0\\C_{12}&C_{11}&C_{13}&0&0&0\\C_{13}&C_{13}&C_{33}&0&0&0\\0&0&0&C_{44}&0&0\\0&0&0&0&C_{44}&0\\0&0&0&0&0&(C_{11}-C_{12})/2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{11}-2C_{66}&C_{13}&0&0&0\\C_{11}-2C_{66}&C_{11}&C_{13}&0&0&0\\C_{13}&C_{13}&C_{33}&0&0&0\\0&0&0&C_{44}&0&0\\0&0&0&0&C_{44}&0\\0&0&0&0&0&C_{66}\end{bmatrix}}.}$

La matriz de elasticidad-rigidez tiene 5 constantes independientes, que están relacionadas con módulos elásticos de ingeniería bien conocidos de la siguiente manera. Estos módulos de ingeniería se determinan experimentalmente. ${\displaystyle C_{ij}}$

La matriz de cumplimiento (inversa de la matriz de rigidez elástica) es

${\displaystyle {\underline {\underline {\mathsf {C}}}}^{-1}={\frac {1}{\Delta }}{\begin{bmatrix}C_{11}C_{33}-C_{13}^{2}&C_{13}^{2}-C_{12}C_{33}&(C_{12}-C_{11})C_{13}&0&0&0\\C_{13}^{2}-C_{12}C_{33}&C_{11}C_{33}-C_{13}^{2}&(C_{12}-C_{11})C_{13}&0&0&0\\(C_{12}-C_{11})C_{13}&(C_{12}-C_{11})C_{13}&C_{11}^{2}-C_{12}^{2}&0&0&0\\0&0&0&{\frac {\Delta }{C_{44}}}&0&0\\0&0&0&0&{\frac {\Delta }{C_{44}}}&0\\0&0&0&0&0&{\frac {2\Delta }{(C_{11}-C_{12})}}\end{bmatrix}}}$

donde . En notación de ingeniería, ${\displaystyle \Delta :=(C_{11}-C_{12})[(C_{11}+C_{12})C_{33}-2C_{13}C_{13}]}$

${\displaystyle {\underline {\underline {\mathsf {C}}}}^{-1}={\begin{bmatrix}{\tfrac {1}{E_{\rm {x}}}}&-{\tfrac {\nu _{\rm {yx}}}{E_{\rm {x}}}}&-{\tfrac {\nu _{\rm {zx}}}{E_{\rm {z}}}}&0&0&0\\-{\tfrac {\nu _{\rm {xy}}}{E_{\rm {x}}}}&{\tfrac {1}{E_{\rm {x}}}}&-{\tfrac {\nu _{\rm {zx}}}{E_{\rm {z}}}}&0&0&0\\-{\tfrac {\nu _{\rm {xz}}}{E_{\rm {x}}}}&-{\tfrac {\nu _{\rm {xz}}}{E_{\rm {x}}}}&{\tfrac {1}{E_{\rm {z}}}}&0&0&0\\0&0&0&{\tfrac {1}{G_{\rm {xz}}}}&0&0\\0&0&0&0&{\tfrac {1}{G_{\rm {xz}}}}&0\\0&0&0&0&0&{\tfrac {2(1+\nu _{\rm {xy}})}{E_{\rm {x}}}}\end{bmatrix}}}$

Comparando estas dos formas de la matriz de cumplimiento, vemos que el módulo de Young longitudinal está dado por

${\displaystyle E_{L}=E_{\rm {z}}=C_{33}-2C_{13}C_{13}/(C_{11}+C_{12})}$

De manera similar, el módulo de Young transversal es

${\displaystyle E_{T}=E_{\rm {x}}=E_{\rm {y}}=(C_{11}-C_{12})(C_{11}C_{33}+C_{12}C_{33}-2C_{13}C_{13})/(C_{11}C_{33}-C_{13}C_{13})}$

El módulo de corte en el plano es

${\displaystyle G_{xy}=(C_{11}-C_{12})/2=C_{66}}$

y el coeficiente de Poisson para la carga a lo largo del eje polar es

${\displaystyle \nu _{LT}=\nu _{zx}=C_{13}/(C_{11}+C_{12})}$.

Aquí, L representa la dirección longitudinal (polar) y T representa la dirección transversal.

En geofísica

En geofísica, una suposición común es que las formaciones rocosas de la corteza son anisotrópicas localmente polares (transversalmente isotrópicas); este es el caso más simple de interés geofísico. El aumento de escala de Backus ^[4] se utiliza a menudo para determinar las constantes elásticas transversalmente isotrópicas efectivas de medios estratificados para ondas sísmicas de longitud de onda larga.

Los supuestos que se realizan en la aproximación de Backus son:

• Todos los materiales son elásticos linealmente.
• No hay fuentes de disipación de energía intrínseca (por ejemplo, fricción)
• Válido en el límite de longitud de onda infinita, por lo tanto, solo se obtienen buenos resultados si el espesor de la capa es mucho menor que la longitud de onda.
• Las estadísticas de distribución de las propiedades elásticas de las capas son estacionarias, es decir, no existe una tendencia correlacionada en estas propiedades.

Para longitudes de onda más cortas, el comportamiento de las ondas sísmicas se describe mediante la superposición de ondas planas . Los medios transversalmente isótropos admiten tres tipos de ondas planas elásticas:

• Una onda cuasi-P ( dirección de polarización casi igual a la dirección de propagación)
• una onda cuasi-S
• una onda S (polarizada ortogonal a la onda cuasi-S, al eje de simetría y a la dirección de propagación).

Las soluciones a los problemas de propagación de ondas en dichos medios pueden construirse a partir de estas ondas planas, utilizando la síntesis de Fourier .

Aumento de escala de Backus (aproximación de longitud de onda larga)

Un modelo en capas de material homogéneo e isótropo puede ampliarse a un medio isótropo transversal, propuesto por Backus. ^[4]

Backus presentó una teoría de medio equivalente, un medio heterogéneo puede ser reemplazado por uno homogéneo que predice la propagación de ondas en el medio real. ^[5] Backus demostró que la estratificación en una escala mucho más fina que la longitud de onda tiene un impacto y que una serie de capas isotrópicas pueden ser reemplazadas por un medio homogéneo transversalmente isotrópico que se comporta exactamente de la misma manera que el medio real bajo carga estática en el límite de longitud de onda infinita.

Si cada capa se describe mediante 5 parámetros transversalmente isótropos , especificando la matriz ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle (a_{i},b_{i},c_{i},d_{i},e_{i})}$

${\displaystyle {\underline {\underline {{\mathsf {C}}_{i}}}}={\begin{bmatrix}a_{i}&a_{i}-2e_{i}&b_{i}&0&0&0\\a_{i}-2e_{i}&a_{i}&b_{i}&0&0&0\\b_{i}&b_{i}&c_{i}&0&0&0\\0&0&0&d_{i}&0&0\\0&0&0&0&d_{i}&0\\0&0&0&0&0&e_{i}\\\end{bmatrix}}}$

Los módulos elásticos para el medio efectivo serán

${\displaystyle {\underline {\underline {{\mathsf {C}}_{\mathrm {eff} }}}}={\begin{bmatrix}A&A-2E&B&0&0&0\\A-2E&A&B&0&0&0\\B&B&C&0&0&0\\0&0&0&D&0&0\\0&0&0&0&D&0\\0&0&0&0&0&E\end{bmatrix}}}$

dónde

${\displaystyle {\begin{aligned}A&=\langle a-b^{2}c^{-1}\rangle +\langle c^{-1}\rangle ^{-1}\langle bc^{-1}\rangle ^{2}\\B&=\langle c^{-1}\rangle ^{-1}\langle bc^{-1}\rangle \\C&=\langle c^{-1}\rangle ^{-1}\\D&=\langle d^{-1}\rangle ^{-1}\\E&=\langle e\rangle \\\end{aligned}}}$

${\displaystyle \langle \cdot \rangle }$denota el promedio ponderado del volumen sobre todas las capas.

Esto incluye capas isotrópicas, ya que la capa es isotrópica si , y . ${\displaystyle b_{i}=a_{i}-2e_{i}}$ ${\displaystyle a_{i}=c_{i}}$ ${\displaystyle d_{i}=e_{i}}$

Aproximación de longitudes de onda cortas y medias

Las soluciones a los problemas de propagación de ondas en medios isótropos transversales elásticos lineales se pueden construir superponiendo soluciones para la onda cuasi-P, la onda cuasi-S y una onda S polarizada ortogonalmente a la onda cuasi-S. Sin embargo, las ecuaciones para la variación angular de la velocidad son algebraicamente complejas y las velocidades de las ondas planas son funciones del ángulo de propagación . ^{[6] Las} velocidades de onda dependientes de la dirección para las ondas elásticas a través del material se pueden encontrar utilizando la ecuación de Christoffel y se dan por ^[7] ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{qP}(\theta )&={\sqrt {\frac {C_{11}\sin ^{2}(\theta )+C_{33}\cos ^{2}(\theta )+C_{44}+{\sqrt {M(\theta )}}}{2\rho }}}\\V_{qS}(\theta )&={\sqrt {\frac {C_{11}\sin ^{2}(\theta )+C_{33}\cos ^{2}(\theta )+C_{44}-{\sqrt {M(\theta )}}}{2\rho }}}\\V_{S}&={\sqrt {\frac {C_{66}\sin ^{2}(\theta )+C_{44}\cos ^{2}(\theta )}{\rho }}}\\M(\theta )&=\left[\left(C_{11}-C_{44}\right)\sin ^{2}(\theta )-\left(C_{33}-C_{44}\right)\cos ^{2}(\theta )\right]^{2}+\left(C_{13}+C_{44}\right)^{2}\sin ^{2}(2\theta )\\\end{aligned}}}$

donde es el ángulo entre el eje de simetría y la dirección de propagación de la onda, es la densidad de masa y son elementos de la matriz de rigidez elástica . Los parámetros de Thomsen se utilizan para simplificar estas expresiones y hacerlas más fáciles de entender. ${\displaystyle {\begin{aligned}\theta \end{aligned}}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle C_{ij}}$

Parámetros de Thomsen

Los parámetros de Thomsen ^[8] son ​​combinaciones adimensionales de módulos elásticos que caracterizan a los materiales transversalmente isótropos, que se encuentran, por ejemplo, en geofísica . En términos de los componentes de la matriz de rigidez elástica , estos parámetros se definen como:

${\displaystyle {\begin{aligned}\epsilon &={\frac {C_{11}-C_{33}}{2C_{33}}}\\\delta &={\frac {(C_{13}+C_{44})^{2}-(C_{33}-C_{44})^{2}}{2C_{33}(C_{33}-C_{44})}}\\\gamma &={\frac {C_{66}-C_{44}}{2C_{44}}}\end{aligned}}}$

donde el índice 3 indica el eje de simetría ( ). Estos parámetros, junto con las velocidades de las ondas P y S asociadas, se pueden utilizar para caracterizar la propagación de las ondas a través de medios estratificados débilmente anisotrópicos. Empíricamente, los parámetros de Thomsen para la mayoría de las formaciones rocosas estratificadas son mucho menores que 1. ${\displaystyle \mathbf {e} _{3}}$

El nombre hace referencia a Leon Thomsen, profesor de geofísica de la Universidad de Houston , quien propuso estos parámetros en su artículo de 1986 "Anisotropía elástica débil".

Expresiones simplificadas para velocidades de onda

En geofísica, la anisotropía en las propiedades elásticas suele ser débil, en cuyo caso . Cuando las expresiones exactas para las velocidades de onda anteriores se linealizan en estas pequeñas cantidades, se simplifican a ${\displaystyle \delta ,\gamma ,\epsilon \ll 1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{qP}(\theta )&\approx V_{P0}(1+\delta \sin ^{2}\theta \cos ^{2}\theta +\epsilon \sin ^{4}\theta )\\V_{qS}(\theta )&\approx V_{S0}\left[1+\left({\frac {V_{P0}}{V_{S0}}}\right)^{2}(\epsilon -\delta )\sin ^{2}\theta \cos ^{2}\theta \right]\\V_{S}(\theta )&\approx V_{S0}(1+\gamma \sin ^{2}\theta )\end{aligned}}}$

dónde

${\displaystyle V_{P0}={\sqrt {C_{33}/\rho }}~;~~V_{S0}={\sqrt {C_{44}/\rho }}}$

son las velocidades de las ondas P y S en la dirección del eje de simetría ( ) (en geofísica, esta suele ser la dirección vertical, aunque no siempre). Nótese que se puede linealizar aún más, pero esto no conduce a una mayor simplificación. ${\displaystyle \mathbf {e} _{3}}$ ${\displaystyle \delta }$

Las expresiones aproximadas para las velocidades de las ondas son lo suficientemente simples como para ser interpretadas físicamente y lo suficientemente precisas para la mayoría de las aplicaciones geofísicas. Estas expresiones también son útiles en algunos contextos en los que la anisotropía no es débil.

Véase también

• Ley de Hooke
• Elasticidad lineal
• Material ortotrópico

Referencias

1. Milton, GW (2002). La teoría de los materiales compuestos . Cambridge University Press.
2. Slawinski, MA (2010). Ondas y rayos en continuos elásticos (PDF) . World Scientific. Archivado desde el original (PDF) el 10 de febrero de 2009.
3. Podemos utilizar los valores y para obtener la matriz de rigidez de los materiales isotrópicos transversales. Se eligen valores específicos para facilitar el cálculo. ${\displaystyle \theta =\pi }$ ${\displaystyle \theta ={\tfrac {\pi }{2}}}$
4. Backus, GE (1962), Anisotropía elástica de onda larga producida por estratificación horizontal, J. Geophys. Res., 67(11), 4427–4440
5. Ikelle, Luc T. y Amundsen, Lasse (2005), Introducción a la sismología del petróleo, Investigaciones SEG en Geofísica N.º 12
6. Nye, JF (2000). Propiedades físicas de los cristales: su representación mediante tensores y matrices . Oxford University Press.
7. G. Mavko , T. Mukerji, J. Dvorkin. Manual de física de rocas . Cambridge University Press 2003 (libro de bolsillo). ISBN 0-521-54344-4 
8. Thomsen, Leon (1986). "Anisotropía elástica débil". Geofísica . 51 (10): 1954–1966. Código Bibliográfico :1986Geop...51.1954T. doi :10.1190/1.1442051.