circuito LC

Circuito eléctrico "resonador", formado por elementos inductivos y capacitivos sin resistencia.

Un circuito LC , también llamado circuito resonante , circuito tanque o circuito sintonizado , es un circuito eléctrico que consta de un inductor , representado por la letra L, y un capacitor , representado por la letra C, conectados entre sí. El circuito puede actuar como un resonador eléctrico , un análogo eléctrico de un diapasón , almacenando energía que oscila a la frecuencia de resonancia del circuito .

• 
  diagrama de circuito LC
• 
  Circuito LC (izquierda) que consta de una bobina de ferrita y un condensador que se utiliza como circuito sintonizado en el receptor de un reloj de radio.
• 
  Circuito sintonizado de salida del transmisor de radio de onda corta .

Los circuitos LC se utilizan para generar señales a una frecuencia particular o para seleccionar una señal a una frecuencia particular a partir de una señal más compleja; esta función se llama filtro de paso de banda . Son componentes clave en muchos dispositivos electrónicos, particularmente equipos de radio, utilizados en circuitos como osciladores , filtros , sintonizadores y mezcladores de frecuencia .

Un circuito LC es un modelo idealizado ya que supone que no hay disipación de energía debido a la resistencia . Cualquier implementación práctica de un circuito LC siempre incluirá pérdidas resultantes de una resistencia pequeña pero distinta de cero dentro de los componentes y cables de conexión. El propósito de un circuito LC suele ser oscilar con una amortiguación mínima , por lo que la resistencia es lo más baja posible. Si bien ningún circuito práctico está libre de pérdidas, es instructivo estudiar esta forma ideal del circuito para ganar comprensión e intuición física. Para ver un modelo de circuito que incorpora resistencia, consulte Circuito RLC .

Terminología

El circuito LC de dos elementos descrito anteriormente es el tipo más simple de red inductor-condensador (o red LC ). También se le conoce como circuito LC de segundo orden ^{[1] [2]} para distinguirlo de redes LC más complicadas (de orden superior) con más inductores y condensadores. Estas redes LC con más de dos reactancias pueden tener más de una frecuencia de resonancia .

El orden de la red es el orden de la función racional que describe la red en la variable de frecuencia compleja s . Generalmente el orden es igual al número de elementos L y C del circuito y en ningún caso puede exceder este número.

Operación

Diagrama animado que muestra el funcionamiento de un circuito sintonizado (circuito LC). El condensador C almacena energía en su campo eléctrico E y el inductor L almacena energía en su campo magnético B ( verde ) . La animación muestra el circuito en puntos progresivos de la oscilación. Las oscilaciones se ralentizan; en un circuito sintonizado real, la carga puede oscilar de miles a miles de millones de veces por segundo.

Un circuito LC, que oscila a su frecuencia de resonancia natural , puede almacenar energía eléctrica . Ver la animación. Un condensador almacena energía en el campo eléctrico ( E ) entre sus placas, dependiendo del voltaje que lo atraviesa, y un inductor almacena energía en su campo magnético ( B ), dependiendo de la corriente que lo atraviesa.

Si se conecta un inductor a través de un capacitor cargado, el voltaje a través del capacitor impulsará una corriente a través del inductor, generando un campo magnético a su alrededor. El voltaje a través del capacitor cae a cero a medida que el flujo de corriente consume la carga. En este punto, la energía almacenada en el campo magnético de la bobina induce un voltaje a través de la bobina, porque los inductores se oponen a los cambios de corriente. Este voltaje inducido hace que una corriente comience a recargar el capacitor con un voltaje de polaridad opuesta a su carga original. Debido a la ley de Faraday , la FEM que impulsa la corriente es causada por una disminución en el campo magnético, por lo que la energía requerida para cargar el capacitor se extrae del campo magnético. Cuando el campo magnético se disipe por completo, la corriente se detendrá y la carga volverá a almacenarse en el condensador, con la polaridad opuesta a la anterior. Entonces el ciclo comenzará de nuevo, con la corriente fluyendo en dirección opuesta a través del inductor.

La carga fluye hacia adelante y hacia atrás entre las placas del capacitor, a través del inductor. La energía oscila de un lado a otro entre el condensador y el inductor hasta que (si no se repone desde un circuito externo) la resistencia interna hace que las oscilaciones desaparezcan. La acción del circuito sintonizado, conocido matemáticamente como oscilador armónico , es similar a un péndulo que se balancea hacia adelante y hacia atrás, o al agua que chapotea hacia adelante y hacia atrás en un tanque; por esta razón el circuito también se llama circuito de tanque . ^[3] La frecuencia natural (es decir, la frecuencia a la que oscilará cuando esté aislado de cualquier otro sistema, como se describe anteriormente) está determinada por los valores de capacitancia e inductancia. En la mayoría de las aplicaciones, el circuito sintonizado es parte de un circuito más grande que le aplica corriente alterna , generando oscilaciones continuas. Si la frecuencia de la corriente aplicada es la frecuencia de resonancia natural del circuito ( frecuencia natural a continuación), se producirá resonancia y una pequeña corriente impulsora puede excitar voltajes y corrientes oscilantes de gran amplitud. En los circuitos sintonizados típicos de los equipos electrónicos, las oscilaciones son muy rápidas, de miles a miles de millones de veces por segundo. ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle f_{0}\,}$

efecto de resonancia

La resonancia ocurre cuando un circuito LC es excitado desde una fuente externa a una frecuencia angular ω ₀ en la cual las reactancias inductiva y capacitiva son iguales en magnitud. La frecuencia a la que se cumple esta igualdad para un circuito particular se llama frecuencia de resonancia. La frecuencia de resonancia del circuito LC es

${\displaystyle \omega _{0}={\frac {1}{\sqrt {LC}}},}$

donde L es la inductancia en henrios y C es la capacitancia en faradios . La frecuencia angular ω ₀ tiene unidades de radianes por segundo.

La frecuencia equivalente en unidades de hercios es

${\displaystyle f_{0}={\frac {\omega _{0}}{2\pi }}={\frac {1}{2\pi {\sqrt {LC}}}}.}$

Aplicaciones

El efecto de resonancia del circuito LC tiene muchas aplicaciones importantes en sistemas de comunicaciones y procesamiento de señales.

• La aplicación más común de los circuitos de tanque es la sintonización de transmisores y receptores de radio. Por ejemplo, al sintonizar una radio en una estación particular, los circuitos LC se configuran en resonancia para esa frecuencia portadora en particular .
• Un circuito resonante en serie proporciona aumento de voltaje .
• Un circuito resonante paralelo proporciona ampliación de corriente .
• Se puede utilizar un circuito resonante paralelo como impedancia de carga en circuitos de salida de amplificadores de RF. Debido a la alta impedancia, la ganancia del amplificador es máxima en la frecuencia de resonancia.
• En el calentamiento por inducción se utilizan circuitos resonantes en serie y en paralelo .

Los circuitos LC se comportan como resonadores electrónicos , que son un componente clave en muchas aplicaciones:

• Amplificadores
• Osciladores
• Filtros
• Sintonizadores
• Mezcladores
• Discriminador de Foster-Seeley
• Tarjetas sin contacto
• Tabletas gráficas
• Vigilancia electrónica de artículos (etiquetas de seguridad)

Solución en el dominio del tiempo

las leyes de kirchhoff

Según la ley de voltaje de Kirchhoff , el voltaje V _C a través del capacitor más el voltaje V _L a través del inductor debe ser igual a cero:

${\displaystyle V_{C}+V_{L}=0.}$

Asimismo, según la ley de corrientes de Kirchhoff , la corriente que pasa por el condensador es igual a la corriente que pasa por el inductor:

${\displaystyle I_{C}=I_{L}.}$

De las relaciones constitutivas de los elementos del circuito, también sabemos que

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{L}(t)&=L{\frac {\mathrm {d} I_{L}}{\mathrm {d} t}},\\I_{C}(t)&=C{\frac {\mathrm {d} V_{C}}{\mathrm {d} t}}.\end{aligned}}}$

Ecuación diferencial

Reorganizando y sustituyendo se obtiene la ecuación diferencial de segundo orden.

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}I(t)+{\frac {1}{LC}}I(t)=0.}$

El parámetro ω ₀ , la frecuencia angular resonante , se define como

${\displaystyle \omega _{0}={\frac {1}{\sqrt {LC}}}.}$

Usar esto puede simplificar la ecuación diferencial:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}I(t)+\omega _{0}^{2}I(t)=0.}$

La transformada de Laplace asociada es

${\displaystyle s^{2}+\omega _{0}^{2}=0,}$

de este modo

${\displaystyle s=\pm j\omega _{0},}$

donde j es la unidad imaginaria .

Solución

Por tanto, la solución completa de la ecuación diferencial es

${\displaystyle I(t)=Ae^{+j\omega _{0}t}+Be^{-j\omega _{0}t}}$

y se puede resolver para A y B considerando las condiciones iniciales. Como la exponencial es compleja , la solución representa una corriente alterna sinusoidal . Dado que la corriente eléctrica I es una cantidad física, debe tener un valor real. Como resultado, se puede demostrar que las constantes A y B deben ser conjugados complejos :

${\displaystyle A=B^{*}.}$

Ahora deja

${\displaystyle A={\frac {I_{0}}{2}}e^{+j\phi }.}$

Por lo tanto,

${\displaystyle B={\frac {I_{0}}{2}}e^{-j\phi }.}$

A continuación, podemos usar la fórmula de Euler para obtener una sinusoide real con amplitud I ₀ , frecuencia angular ω ₀ =1/√LC _y ángulo de fase . ${\displaystyle \phi }$

Por lo tanto, la solución resultante se convierte en

${\displaystyle I(t)=I_{0}\cos \left(\omega _{0}t+\phi \right),}$

${\displaystyle V_{L}(t)=L{\frac {\mathrm {d} I}{\mathrm {d} t}}=-\omega _{0}LI_{0}\sin \left(\omega _{0}t+\phi \right).}$

Condiciones iniciales

Las condiciones iniciales que satisfacerían este resultado son

${\displaystyle I(0)=I_{0}\cos \phi ,}$

${\displaystyle V_{L}(0)=L{\frac {\mathrm {d} I}{\mathrm {d} t}}{\Bigg |}_{t=0}=-\omega _{0}LI_{0}\sin \phi .}$

Circuito en serie

Circuito LC serie

En la configuración en serie del circuito LC, el inductor (L) y el condensador (C) están conectados en serie, como se muestra aquí. El voltaje total V en los terminales abiertos es simplemente la suma del voltaje en el inductor y el voltaje en el capacitor. La corriente I que ingresa al terminal positivo del circuito es igual a la corriente que pasa tanto por el capacitor como por el inductor.

${\displaystyle {\begin{aligned}V&=V_{L}+V_{C},\\I&=I_{L}=I_{C}.\end{aligned}}}$

Resonancia

La reactancia inductiva aumenta a medida que aumenta la frecuencia, mientras que la reactancia capacitiva disminuye con el aumento de la frecuencia (definida aquí como un número positivo). A una frecuencia particular, estas dos reactancias son iguales y los voltajes entre ellas son iguales y de signo opuesto; esa frecuencia se llama frecuencia resonante f ₀ para el circuito dado. ${\displaystyle \ X_{\mathsf {L}}=\omega L\ }$ ${\displaystyle \ X_{\mathsf {C}}={\frac {1}{\ \omega C\ }}\ }$  

Por lo tanto, en resonancia,

${\displaystyle {\begin{aligned}X_{\mathsf {L}}&=X_{\mathsf {C}}\ ,\\\omega L&={\frac {1}{\ \omega C\ }}~.\end{aligned}}}$

Resolviendo para ω , tenemos

${\displaystyle \omega =\omega _{0}={\frac {1}{\ {\sqrt {LC\;}}\ }}\ ,}$

que se define como la frecuencia angular resonante del circuito. Al convertir la frecuencia angular (en radianes por segundo) en frecuencia (en Hertz ), se tiene

${\displaystyle f_{0}={\frac {\omega _{0}}{\ 2\pi \ }}={\frac {1}{\ 2\pi {\sqrt {LC\;}}\ }}\ ,}$

y

${\displaystyle X_{{\mathsf {L}}0}=X_{{\mathsf {C}}0}={\sqrt {{\frac {\ L\ }{C}}\;}}}$

en . ${\displaystyle \omega _{0}}$

En una configuración en serie, X _C y XL _L se cancelan entre sí. En los componentes reales, más que en los idealizados, la corriente se opone, principalmente por la resistencia de los devanados de la bobina. Por tanto, la corriente suministrada a un circuito resonante en serie es máxima en resonancia.

• En el límite cuando f → f ₀ la corriente es máxima. La impedancia del circuito es mínima. En este estado, un circuito se llama circuito aceptor ^[4]  
• Para   f   <   f ₀  ,   X _L ≪ X _C  ; por tanto, el circuito es capacitivo.
• Para   f   >   f ₀  ,   X _L ≫ X _C  ; por tanto, el circuito es inductivo.

Impedancia

En la configuración en serie, la resonancia ocurre cuando la impedancia eléctrica compleja del circuito se acerca a cero.

Primero considere la impedancia del circuito LC en serie. La impedancia total viene dada por la suma de las impedancias inductiva y capacitiva:

${\displaystyle Z=Z_{\mathsf {L}}+Z_{\mathsf {C}}~.}$

Escribiendo la impedancia inductiva como  Z _L = jωL  y la impedancia capacitiva como  Z _C =1/ jωC  y sustituyendo da

${\displaystyle Z(\omega )=j\omega L+{\frac {1}{\ j\omega C\ }}~.}$

Escribir esta expresión bajo un denominador común da

${\displaystyle Z(\omega )=j\left({\frac {\ \omega ^{2}LC-1\ }{\omega C}}\right)~.}$

Finalmente, definiendo la frecuencia angular natural como

${\displaystyle \omega _{0}={\frac {1}{\ {\sqrt {LC\;}}\ }}\ ,}$

la impedancia se convierte

${\displaystyle Z(\omega )=j\ L\ \left({\frac {\ \omega ^{2}-\omega _{0}^{2}\ }{\omega }}\right)=j\ \omega _{0}L\ \left({\frac {\omega }{\ \omega _{0}\ }}-{\frac {\ \omega _{0}\ }{\omega }}\right)=j\ {\frac {1}{\ \omega _{0}C\ }}\left({\frac {\omega }{\ \omega _{0}\ }}-{\frac {\ \omega _{0}\ }{\omega }}\right)\ ,}$

donde da la reactancia del inductor en resonancia. ${\displaystyle \,\omega _{0}L\ \,}$

El numerador implica que en el límite como ω → ± ω ₀ , la impedancia total  Z  será cero y, en caso contrario, distinto de cero. Por lo tanto, el circuito LC en serie, cuando se conecta en serie con una carga, actuará como un filtro de paso de banda que tiene impedancia cero a la frecuencia de resonancia del circuito LC.  

Circuito paralelo

Circuito LC paralelo

Cuando el inductor (L) y el capacitor (C) están conectados en paralelo como se muestra aquí, el voltaje V a través de los terminales abiertos es igual al voltaje a través del inductor y al voltaje a través del capacitor. La corriente total I que fluye hacia el terminal positivo del circuito es igual a la suma de la corriente que fluye a través del inductor y la corriente que fluye a través del capacitor:

${\displaystyle {\begin{aligned}V&=V_{\mathsf {L}}=V_{\mathsf {C}}\ ,\\I&=I_{\mathsf {L}}+I_{\mathsf {C}}~.\end{aligned}}}$

Resonancia

Cuando X _L es igual a X _C , las dos corrientes derivadas son iguales y opuestas. Se cancelan entre sí para dar una corriente mínima en la línea principal (en principio, corriente cero). Sin embargo, hay una gran corriente circulando entre el condensador y el inductor. En principio, esta corriente circulante es infinita, pero en realidad está limitada por la resistencia del circuito, particularmente la resistencia en los devanados del inductor. Como la corriente total es mínima, en este estado la impedancia total es máxima.

La frecuencia de resonancia está dada por

${\displaystyle f_{0}={\frac {\omega _{0}}{\ 2\pi \ }}={\frac {1}{\ 2\pi {\sqrt {LC\;}}\ }}~.}$

Cualquier corriente derivada no es mínima en resonancia, pero cada una se obtiene por separado dividiendo el voltaje de la fuente ( V ) por la reactancia ( Z ). Por lo tanto   yo = V /z , según la ley de Ohm .

• En   f ₀  , la corriente de línea es mínima. La impedancia total es máxima. En este estado, un circuito se llama circuito rechazador . ^[5]
• Por debajo   de f ₀  , el circuito es inductivo.
• Por encima de   f ₀  , el circuito es capacitivo.

Impedancia

El mismo análisis se puede aplicar al circuito LC en paralelo. La impedancia total entonces viene dada por

${\displaystyle Z={\frac {\ Z_{\mathsf {L}}Z_{\mathsf {C}}\ }{Z_{\mathsf {L}}+Z_{\mathsf {C}}}}\ ,}$

y después de la sustitución de Z _L = j ω L y Z _C =1/ jωC y simplificación, da

${\displaystyle Z(\omega )=-j\cdot {\frac {\omega L}{\ \omega ^{2}LC-1\ }}~.}$

Usando

${\displaystyle \omega _{0}={\frac {1}{\ {\sqrt {LC\;}}\ }}\ ,}$

simplifica aún más

${\displaystyle Z(\omega )=-j\ \left({\frac {1}{\ C\ }}\right)\left({\frac {\omega }{\ \omega ^{2}-\omega _{0}^{2}\ }}\right)=+j\ {\frac {1}{\ \omega _{0}C\left({\tfrac {\omega _{0}}{\omega }}-{\tfrac {\omega }{\omega _{0}}}\right)\ }}=+j\ {\frac {\omega _{0}L}{\ \left({\tfrac {\omega _{0}}{\omega }}-{\tfrac {\omega }{\omega _{0}}}\right)\ }}~.}$

Tenga en cuenta que

${\displaystyle \lim _{\omega \to \omega _{0}}Z(\omega )=\infty \ ,}$

pero para todos los demás valores de ω la impedancia es finita.

Por lo tanto, el circuito LC paralelo conectado en serie con una carga actuará como filtro de eliminación de banda que tiene una impedancia infinita en la frecuencia de resonancia del circuito LC, mientras que el circuito LC paralelo conectado en paralelo con una carga actuará como filtro de paso de banda .

solución de Laplace

El circuito LC se puede resolver mediante la transformada de Laplace .

Comenzamos definiendo la relación entre corriente y voltaje a través del capacitor y el inductor de la manera habitual:

${\displaystyle v_{\mathrm {C} }(t)=v(t)\ ,~}$ ${\displaystyle i(t)=C\ {\frac {\mathrm {d} \ v_{\mathrm {C} }}{\mathrm {d} t}}\ ,~}$y ${\displaystyle ~v_{\mathrm {L} }(t)=L\ {\frac {\mathrm {d} \ i}{\mathrm {d} t}}\;.}$

Luego, aplicando las leyes de Kirchoff, podemos llegar a las ecuaciones diferenciales que gobiernan el sistema.

${\displaystyle v_{in}(t)=v_{\mathrm {L} }(t)+v_{\mathrm {C} }(t)=L\ {\frac {\mathrm {d} \ i}{\mathrm {d} t}}+v=L\ C\ {\frac {\mathrm {d} ^{2}\ v}{\mathrm {d} t^{2}}}+v\;.}$

Con condiciones iniciales y ${\displaystyle \ v(0)=v_{0}\ }$ ${\displaystyle \ i(0)=i_{0}=C\cdot v'(0)=C\cdot v'_{0}\;.}$

Haciendo las siguientes definiciones,

${\displaystyle \omega _{0}\equiv {\frac {1}{\ {\sqrt {L\ C\ }}}}~}$y ${\displaystyle ~f(t)\equiv \omega _{0}^{2}\ v_{\mathrm {in} }(t)}$

da

${\displaystyle f(t)={\frac {\ \mathrm {d} ^{2}\ v\ }{\mathrm {d} t^{2}}}+\omega _{0}^{2}\ v\;.}$

Ahora aplicamos la transformada de Laplace.

${\displaystyle \operatorname {\mathcal {L}} \left[\ f(t)\ \right]=\operatorname {\mathcal {L}} \left[\ {\frac {\ \mathrm {d} ^{2}\ v\ }{\mathrm {d} t^{2}}}+\omega _{0}^{2}\ v\ \right]\,,}$

${\displaystyle F(s)=s^{2}\ V(s)-s\ v_{0}-v'_{0}+\omega _{0}^{2}\ V(s)\;.}$

La transformada de Laplace ha convertido nuestra ecuación diferencial en una ecuación algebraica. Resolver V en el dominio s (dominio de frecuencia) es mucho más sencillo.

${\displaystyle V(s)={\frac {\ s\ v_{0}+v'_{0}+F(s)\ }{s^{2}+\omega _{0}^{2}}}}$

${\displaystyle V(s)={\frac {\ s\ v_{0}}{s^{2}+\omega _{0}^{2}}}+{\frac {v'_{0}}{s^{2}+\omega _{0}^{2}}}+{\frac {F(s)\ }{s^{2}+\omega _{0}^{2}}}\,,}$

Que se puede transformar nuevamente al dominio del tiempo mediante la transformada inversa de Laplace:

${\displaystyle v(t)=\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ V(s)\ \right]}$

${\displaystyle v(t)=\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ {\frac {\ s\ v_{0}}{s^{2}+\omega _{0}^{2}}}+{\frac {v'_{0}}{s^{2}+\omega _{0}^{2}}}+{\frac {F(s)\ }{s^{2}+\omega _{0}^{2}}}\ \right],}$

Para el segundo sumando, se necesita una fracción equivalente de : ${\displaystyle \omega _{0}}$

${\displaystyle v(t)=v_{0}\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ {\frac {s}{s^{2}+\omega _{0}^{2}}}\ \right]+v'_{0}\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ {\frac {\omega _{0}}{\omega _{0}(s^{2}+\omega _{0}^{2})}}\ \right]+\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ {\frac {F(s)\ }{s^{2}+\omega _{0}^{2}}}\ \right],}$

Para el segundo sumando, se necesita una fracción equivalente de : ${\displaystyle \omega _{0}}$

${\displaystyle v(t)=v_{0}\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ {\frac {s}{s^{2}+\omega _{0}^{2}}}\ \right]+{\frac {v'_{0}}{\omega _{0}}}\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ {\frac {\omega _{0}}{(s^{2}+\omega _{0}^{2})}}\ \right]+\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ {\frac {F(s)\ }{s^{2}+\omega _{0}^{2}}}\ \right],}$

${\displaystyle v(t)=v_{0}\cos(\omega _{0}\ t)+{\frac {v'_{0}}{\ \omega _{0}\ }}\ \sin(\omega _{0}\ t)+\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ {\frac {F(s)}{\ s^{2}+\omega _{0}^{2}\ }}\ \right]}$

El término final depende de la forma exacta del voltaje de entrada. Dos casos comunes son la función escalonada de Heaviside y una onda sinusoidal . Para una función de paso de Heaviside obtenemos

${\displaystyle v_{\mathrm {in} }(t)=M\ u(t)\,,}$

${\displaystyle \operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ \omega _{0}^{2}{\frac {V_{\mathrm {in} }(s)}{\ s^{2}+\omega _{0}^{2}\ }}\ \right]~=~\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ \omega _{0}^{2}\ M\ {\frac {1}{\ s\ (s^{2}+\omega _{0}^{2})\ }}\ \right]~=~M\ {\Bigl (}1-\cos(\omega _{0}\ t){\Bigr )}\,,}$

${\displaystyle v(t)=v_{0}\ \cos(\omega _{0}\ t)+{\frac {v'_{0}}{\omega _{0}}}\ \sin(\omega _{0}\ t)+M\ {\Bigl (}1-\cos(\omega _{0}\ t){\Bigr )}\;.}$

Para el caso de una función sinusoidal como entrada obtenemos:

${\displaystyle v_{\mathrm {in} }(t)=U\ \sin(\omega _{\mathrm {f} }\ t)\Rightarrow V_{\mathrm {in} }(s)={\frac {\ U\ \omega _{\mathrm {f} }\ }{\ s^{2}+\omega _{\mathrm {f} }^{2}\ }}\,}$

donde es la amplitud y la frecuencia de la función aplicada. ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \omega _{f}}$

${\displaystyle \operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ \omega _{0}^{2}\ {\frac {1}{\ s^{2}+\omega _{0}^{2}\ }}\ {\frac {U\ \omega _{\mathrm {f} }}{\ s^{2}+\omega _{\mathrm {f} }^{2}\ }}\ \right]}$

Usando el método de fracción parcial:

${\displaystyle \operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ \omega _{0}^{2}\ U\ \omega _{\mathrm {f} }{\frac {1}{\ s^{2}+\omega _{0}^{2}\ }}\ {\frac {1}{\ s^{2}+\omega _{\mathrm {f} }^{2}\ }}\ \right]=\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ \omega _{0}^{2}\ U\ \omega _{\mathrm {f} }{\frac {A+Bs}{\ s^{2}+\omega _{0}^{2}\ }}\ +{\frac {C+Ds}{\ s^{2}+\omega _{\mathrm {f} }^{2}\ }}\ \right]}$

Simplificando por ambos lados

${\displaystyle 1=(A+Bs)(\ s^{2}+\omega _{\mathrm {f} }^{2}\ )+(C+Ds)(\ s^{2}+\omega _{0}^{2}\ )}$

${\displaystyle 1=(A\ s^{2}+\ A\ \omega _{\mathrm {f} }^{2}\ +\ B\ s^{3}+\ B\ \omega _{\mathrm {f} }^{2}\ )+\ C\ s^{2}+\ C\ \omega _{0}^{2}\ +\ D\ s^{3}+\ D\ s\omega _{0}^{2}\ )}$

${\displaystyle 1=s^{3}(B\ +\ D\ )+s^{2}(A\ +\ C)+s(B\ \omega _{\mathrm {f} }^{2}+\ D\ \omega _{0}^{2})+(A\ \omega _{\mathrm {f} }^{2}\ +\ C\ \omega _{0}^{2})}$

Resolvemos la ecuación para A, B y C:

${\displaystyle A+C=0\Rightarrow C=-A}$

${\displaystyle A\ \omega _{\mathrm {f} }^{2}\ +\ C\ \omega _{0}^{2}=1\Rightarrow A\ \omega _{\mathrm {f} }^{2}\ -\ A\ \omega _{0}^{2}=1}$

${\displaystyle \Rightarrow A\ ={\frac {1}{(\omega _{\mathrm {f} }^{2}\ -\omega _{0}^{2})}}}$

${\displaystyle \Rightarrow C\ =-{\frac {1}{(\omega _{\mathrm {f} }^{2}\ -\omega _{0}^{2})}}}$

${\displaystyle B+C=0}$

${\displaystyle B\ \omega _{\mathrm {f} }^{2}+\ D\ \omega _{0}^{2}=0\Rightarrow B\ \omega _{\mathrm {f} }^{2}-\ B\ \omega _{0}^{2}=0\Rightarrow B\ (\omega _{\mathrm {f} }^{2}-\omega _{0}^{2})=0}$

${\displaystyle \Rightarrow B=0,\ D=0}$

Sustituyendo los valores de A, B y C:

${\displaystyle \operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ \omega _{0}^{2}\ U\ \omega _{\mathrm {f} }{\frac {\frac {1}{(\omega _{\mathrm {f} }^{2}\ -\omega _{0}^{2})}}{\ s^{2}+\omega _{0}^{2}\ }}+{\frac {-{\frac {1}{(\omega _{\mathrm {f} }^{2}\ -\omega _{0}^{2})}}}{\ s^{2}+\omega _{\mathrm {f} }^{2}\ }}\ \right]}$

Aislando la constante y usando fracciones equivalentes para ajustar por falta de numerador:

${\displaystyle {\frac {\ \omega _{0}^{2}\ U\omega _{\mathrm {f} }\ }{\ \omega _{\mathrm {f} }^{2}-\omega _{0}^{2}\ }}\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\left({\frac {\omega _{0}}{\omega _{0}(s^{2}+\omega _{0}^{2})}}-{\frac {\omega _{f}}{\omega _{f}(s^{2}+\omega _{f}^{2})}}\right)\right]\,}$

Realizando la transformada de Laplace inversa en cada suma:

${\displaystyle {\frac {\ \omega _{0}^{2}\ U\omega _{\mathrm {f} }\ }{\ \omega _{\mathrm {f} }^{2}-\omega _{0}^{2}\ }}\left(\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ {\frac {1}{\omega _{0}}}{\frac {\omega _{0}}{(s^{2}+\omega _{0}^{2})}}\right]-\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[{\frac {1}{\omega _{\mathrm {f} }\ }}{\frac {\omega _{\mathrm {f} }\ }{(s^{2}+\omega _{f}^{2})}}\right]\right)\,}$

${\displaystyle {\frac {\ \omega _{0}^{2}\ U\omega _{\mathrm {f} }\ }{\ \omega _{\mathrm {f} }^{2}-\omega _{0}^{2}\ }}\left({\frac {1}{\omega _{0}}}\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[{\frac {\omega _{0}}{(s^{2}+\omega _{0}^{2})}}\right]-{\frac {1}{\omega _{\mathrm {f} }\ }}\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[{\frac {\omega _{\mathrm {f} }\ }{(s^{2}+\omega _{f}^{2})}}\right]\right)\,}$

${\displaystyle v_{\mathrm {in} }(t)={\frac {\ \omega _{0}^{2}\ U\ \omega _{\mathrm {f} }\ }{\omega _{\mathrm {f} }^{2}-\omega _{0}^{2}}}\left({\frac {1}{\omega _{0}}}\ \sin(\omega _{0}\ t)-{\frac {1}{\ \omega _{\mathrm {f} }\ }}\ \sin(\omega _{\mathrm {f} }\ t)\right)\;,}$

Usando condiciones iniciales en la solución de Laplace:

${\displaystyle v(t)=v_{0}\cos(\omega _{0}\ t)+{\frac {v'_{0}}{\omega _{0}\ }}\ \sin(\omega _{0}\ t)+{\frac {\omega _{0}^{2}\ U\ \omega _{\mathrm {f} }}{\ \omega _{\mathrm {f} }^{2}-\omega _{0}^{2}\ }}\left({\frac {1}{\omega _{0}}}\ \sin(\omega _{0}\ t)-{\frac {1}{\ \omega _{\mathrm {f} }\ }}\ \sin(\omega _{\mathrm {f} }\ t)\right)\;.}$

Historia

La primera evidencia de que un condensador y un inductor podían producir oscilaciones eléctricas fue descubierta en 1826 por el científico francés Felix Savary . ^{[6] [7]} Descubrió que cuando se descargaba una jarra de Leyden a través de un alambre enrollado alrededor de una aguja de hierro, a veces la aguja quedaba magnetizada en una dirección y otras veces en la dirección opuesta. Dedujo correctamente que esto era causado por una corriente de descarga oscilante amortiguada en el cable, que invertía la magnetización de la aguja hacia adelante y hacia atrás hasta que era demasiado pequeña para tener efecto, dejando la aguja magnetizada en una dirección aleatoria. El físico estadounidense Joseph Henry repitió el experimento de Savary en 1842 y llegó a la misma conclusión, aparentemente de forma independiente. ^{[8] [9]}

El científico irlandés William Thomson (Lord Kelvin) demostró matemáticamente en 1853 que la descarga de una jarra de Leyden a través de una inductancia debería ser oscilatoria y dedujo su frecuencia de resonancia. ^{[6] [8] [9]} El investigador de radio británico Oliver Lodge , al descargar una gran batería de frascos de Leyden a través de un cable largo, creó un circuito sintonizado con su frecuencia resonante en el rango de audio, que producía un tono musical a partir de la chispa cuando fue dado de alta. ^[8] En 1857, el físico alemán Berend Wilhelm Feddersen fotografió la chispa producida por un circuito resonante de jarra de Leyden en un espejo giratorio, proporcionando evidencia visible de las oscilaciones. ^{[6] [8] [9]} En 1868, el físico escocés James Clerk Maxwell calculó el efecto de aplicar una corriente alterna a un circuito con inductancia y capacitancia, demostrando que la respuesta es máxima en la frecuencia de resonancia. ^[6] El primer ejemplo de una curva de resonancia eléctrica fue publicado en 1887 por el físico alemán Heinrich Hertz en su artículo pionero sobre el descubrimiento de las ondas de radio, mostrando la longitud de la chispa que se puede obtener de sus detectores resonadores LC de chispa en función de la frecuencia. . ^[6]

Una de las primeras demostraciones de resonancia entre circuitos sintonizados fue el experimento de los "frascos sintónicos" de Lodge alrededor de 1889. ^{[6] [8]} Colocó dos circuitos resonantes uno al lado del otro, cada uno de los cuales consistía en un frasco de Leyden conectado a una bobina ajustable de una vuelta. con un explosor. Cuando se aplicó un alto voltaje de una bobina de inducción a un circuito sintonizado, creando chispas y, por tanto, corrientes oscilantes, se excitaron chispas en el otro circuito sintonizado sólo cuando los circuitos se ajustaron a la resonancia. Lodge y algunos científicos ingleses prefirieron el término " sinotonía " para este efecto, pero el término " resonancia " finalmente se mantuvo. ^[6] El primer uso práctico de los circuitos LC fue en la década de 1890 en transmisores de radio de chispa para permitir que el receptor y el transmisor se sintonizaran a la misma frecuencia. La primera patente para un sistema de radio que permitía la sintonización fue presentada por Lodge en 1897, aunque los primeros sistemas prácticos fueron inventados en 1900 por el pionero de la radio italiana Guglielmo Marconi . ^[6]

Ver también

• circuito RL
• circuito RC
• circuito RLC

Referencias

1. Makarov, Sergey N.; Luis, Reinhold; Bitar, Stephen J. (2016). Ingeniería Eléctrica Práctica. Saltador. págs. X-483. ISBN 9783319211732.
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3. Rao, B. Visvesvara; et al. (2012). Análisis de circuitos electrónicos. India: Pearson Education India. pag. 13.6. ISBN 978-9332511743.
4. "¿Qué es un circuito aceptor?". qsstudy.com . Física.].
5. "circuito rechazador". Diccionarios de Oxford. Inglés . Archivado desde el original el 20 de septiembre de 2018 . Consultado el 20 de septiembre de 2018 .
6. Blanchard, Julian (octubre de 1941). "La Historia de la Resonancia Eléctrica". Revista técnica del sistema Bell . EE. UU.: American Telephone & Telegraph Co. 20 (4): 415–433. doi :10.1002/j.1538-7305.1941.tb03608.x. S2CID  51669988 . Consultado el 29 de marzo de 2011 .
7. Savary, Félix (1827). "Memorias sobre la animación". Annales de Chimie et de Physique . París: Masson. 34 : 5–37.
8. Kimball, Arthur Lalanne (1917). Un libro de texto universitario de física (2ª ed.). Nueva York: Henry Hold. págs. 516–517.
9. Huurdeman, Anton A. (2003). La historia mundial de las telecomunicaciones. EE.UU.: Wiley-IEEE. págs. 199-200. ISBN 0-471-20505-2.

enlaces externos

• Un péndulo eléctrico de Tony Kuphaldt es una historia clásica sobre el funcionamiento del tanque LC.
• La forma en que el circuito LC paralelo almacena energía es otro excelente recurso de LC.