ciclo límite

En matemáticas , en el estudio de sistemas dinámicos con espacio de fase bidimensional , un ciclo límite es una trayectoria cerrada en el espacio de fase que tiene la propiedad de que al menos otra trayectoria entra en espiral cuando el tiempo se acerca al infinito o cuando el tiempo se acerca al infinito negativo. Este comportamiento se presenta en algunos sistemas no lineales . Los ciclos límite se han utilizado para modelar el comportamiento de muchos sistemas oscilatorios del mundo real. El estudio de los ciclos límite fue iniciado por Henri Poincaré (1854-1912).

Definición

Consideremos un sistema dinámico bidimensional de la forma

x'(t)=V(x(t))

V:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}

trayectoriacerradaperiódicaórbita imagenórbita cerradaciclociclo límiteconjunto límite

x(t)

\mathbb {R} ^{2}

t_{0}>0

x(t+t_{0})=x(t)

t\in \mathbb {R}

\mathbb {R} ^{2}

Propiedades

Según el teorema de la curva de Jordan , toda trayectoria cerrada divide el plano en dos regiones, el interior y el exterior de la curva.

Dado un ciclo límite y una trayectoria en su interior que se acerca al ciclo límite a medida que se acerca el tiempo , entonces hay una vecindad alrededor del ciclo límite tal que todas las trayectorias en el interior que comienzan en la vecindad se aproximan al ciclo límite a medida que se acerca el tiempo . La afirmación correspondiente es válida para una trayectoria en el interior que se acerca al ciclo límite para el tiempo que se acerca , y también para trayectorias en el exterior que se acercan al ciclo límite. $+\infty$ $+\infty$ $-\infty$

Ciclos límite estables, inestables y semiestables.

En el caso en el que todas las trayectorias vecinas se acercan al ciclo límite a medida que el tiempo se acerca al infinito, se denomina ciclo límite estable o atractivo (ciclo límite ω). Si, por el contrario, todas las trayectorias vecinas se acercan a él a medida que el tiempo se acerca al infinito negativo, entonces se trata de un ciclo límite inestable (ciclo límite α). Si hay una trayectoria vecina que entra en espiral hacia el ciclo límite cuando el tiempo se acerca al infinito, y otra que entra en espiral hacia él cuando el tiempo se acerca al infinito negativo, entonces es un ciclo límite semiestable . También hay ciclos límite que no son ni estables, inestables ni semiestables: por ejemplo, una trayectoria vecina puede acercarse al ciclo límite desde el exterior, pero al interior del ciclo límite se acerca una familia de otros ciclos (que no t ser ciclos límite).

Los ciclos límite estables son ejemplos de atractores . Implican oscilaciones autosostenidas : la trayectoria cerrada describe el comportamiento periódico perfecto del sistema, y cualquier pequeña perturbación de esta trayectoria cerrada hace que el sistema regrese a ella, haciendo que el sistema se ciña al ciclo límite.

Encontrar ciclos límite

Toda trayectoria cerrada contiene en su interior un punto estacionario del sistema, es decir, un punto donde . El teorema de Bendixson-Dulac y el teorema de Poincaré-Bendixson predicen la ausencia o existencia, respectivamente, de ciclos límite de sistemas dinámicos no lineales bidimensionales. $p$ $V'(p)=0$

Problemas abiertos

Encontrar ciclos límite, en general, es un problema muy difícil. El número de ciclos límite de una ecuación diferencial polinómica en el plano es el objeto principal de la segunda parte del decimosexto problema de Hilbert . Se desconoce, por ejemplo, si existe algún sistema en el plano donde ambas componentes sean polinomios cuadráticos de las dos variables, de modo que el sistema tenga más de 4 ciclos límite. $x'=V(x)$ $V$

Aplicaciones

Ejemplos de ciclos límite que se ramifican desde puntos fijos cerca de la bifurcación de Hopf . Trayectorias en rojo, estructuras estables en azul oscuro, estructuras inestables en azul claro. La elección del parámetro determina la aparición y estabilidad de los ciclos límite.

Los ciclos límite son importantes en muchas aplicaciones científicas donde se modelan sistemas con oscilaciones autosostenidas. Algunos ejemplos incluyen:

Oscilaciones aerodinámicas del ciclo límite ^[1]
"El modelo de Hodgkin-Huxley para potenciales de acción en neuronas ".
El modelo de glucólisis de Sel'kov . ^[2]
Las oscilaciones diarias en la expresión genética, los niveles hormonales y la temperatura corporal de los animales, que forman parte del ritmo circadiano , ^[3]^[4] aunque esto se contradice con evidencia más reciente. ^[5]
La migración de las células cancerosas en microambientes confinados sigue oscilaciones del ciclo límite. ^[6]
Algunos circuitos eléctricos no lineales exhiben oscilaciones de ciclo límite, ^[7] que inspiraron el modelo original de Van der Pol .
El control de la respiración y la hematopoyesis, como aparece en las ecuaciones de Mackey-Glass . ^[8]

Ver también

Referencias

^ Thomas, Jeffrey P.; Dowell, conde H.; Hall, Kenneth C. (2002), "Efectos aerodinámicos invisibles no lineales sobre la divergencia transónica, el aleteo y las oscilaciones de ciclo límite" (PDF) , AIAA Journal , Instituto Americano de Aeronáutica y Astronáutica, 40 (4): 638, Bibcode :2002AIAAJ ..40..638T, doi :10.2514/2.1720 , consultado el 9 de diciembre de 2019
^ Sel'kov, EE (1968). "Auto-oscilaciones en la glucólisis 1. Un modelo cinético simple". Revista europea de bioquímica . 4 (1): 79–86. doi : 10.1111/j.1432-1033.1968.tb00175.x . ISSN 1432-1033. PMID 4230812.
^ Leloup, Jean-Christophe; Gonze, Didier; Goldbeter, Albert (1 de diciembre de 1999). "Modelos de ciclo límite para ritmos circadianos basados en la regulación transcripcional en Drosophila y Neurospora". Revista de Ritmos Biológicos . 14 (6): 433–448. doi :10.1177/074873099129000948. ISSN 0748-7304. PMID 10643740. S2CID 15074869.
^ Roenneberg, hasta; Chua, Elaine Jane; Bernardo, Ric; Mendoza, Eduardo (09-09-2008). "Modelado de ritmos biológicos". Biología actual . 18 (17): R826–R835. doi : 10.1016/j.cub.2008.07.017 . ISSN 0960-9822. PMID 18786388. S2CID 2798371.
^ Meijer, JH; Miguel, S; Vanderleest, HT; Rohling, JH (diciembre de 2010). "La adaptación diaria y estacional del reloj circadiano requiere plasticidad de la red neuronal SCN". La Revista Europea de Neurociencia . 32 (12): 2143–51. doi :10.1111/j.1460-9568.2010.07522.x. PMID 21143668. S2CID 12754517.
^ Brückner, David B.; Fink, Alexandra; Schreiber, Christoph; Röttgermann, Peter JF; Rädler, Joaquín; Broedersz, Chase P. (2019). "Dinámica estocástica no lineal de la migración de células confinadas en sistemas de dos estados". Física de la Naturaleza . 15 (6): 595–601. Código Bib : 2019NatPh..15..595B. doi :10.1038/s41567-019-0445-4. ISSN 1745-2481. S2CID 126819906.
^ Ginoux, Jean-Marc; Letellier, Christophe (30 de abril de 2012). "Van der Pol y la historia de las oscilaciones de relajación: hacia el surgimiento de un concepto". Caos: una revista interdisciplinaria de ciencia no lineal . 22 (2): 023120. arXiv : 1408.4890 . Código Bib :2012Caos..22b3120G. doi : 10.1063/1.3670008. ISSN 1054-1500. PMID 22757527. S2CID 293369.
^ Mackey, M.; Vidrio, L (15 de julio de 1977). "Oscilación y caos en sistemas de control fisiológico". Ciencia . 197 (4300): 287–289. Código bibliográfico : 1977 Ciencia... 197.. 287 M. doi : 10.1126/ciencia.267326. ISSN 0036-8075. PMID 267326.

Otras lecturas

Steven H. Strogatz (2014). Caos y dinámica no lineal: con aplicaciones a la física, la biología, la química y la ingeniería . Ávalón. ISBN 9780813349114.
M. Vidyasagar (2002). Análisis de sistemas no lineales (Segunda ed.). SIAM. ISBN 9780898715262.
Philip Hartman, "Ecuación diferencial ordinaria", Sociedad de Matemáticas Industriales y Aplicadas, 2002.
Witold Hurewicz, "Conferencias sobre ecuaciones diferenciales ordinarias", Dover, 2002.
Solomon Lefschetz, "Ecuaciones diferenciales: teoría geométrica", Dover, 2005.
Lawrence Perko, "Ecuaciones diferenciales y sistemas dinámicos", Springer-Verlag, 2006.
Arthur Mattuck, Ciclos límite: criterios de existencia y no existencia, MIT Open Courseware http://videolectures.net/mit1803s06_mattuck_lec32/#

enlaces externos

"ciclo límite". planetmath.org . Consultado el 6 de julio de 2019 .