Ecuaciones de Mackey-Glass

Ecuación diferencial de retardo temporal no lineal

En matemáticas y biología matemática , las ecuaciones de Mackey-Glass , llamadas así en honor a Michael Mackey y Leon Glass , hacen referencia a una familia de ecuaciones diferenciales de retardo cuyo comportamiento consigue imitar tanto el comportamiento sano como el patológico en determinados contextos biológicos, controlados por los parámetros de la ecuación. ^[1] Originalmente, se utilizaban para modelar la variación en la cantidad relativa de células maduras en la sangre. Las ecuaciones se definen como: ^{[1] [2]}

y

donde representa la densidad de células a lo largo del tiempo, y son parámetros de las ecuaciones. ${\displaystyle P(t)}$ ${\displaystyle \beta _{0},\theta ,n,\tau ,\gamma }$

La ecuación ( 2 ), en particular, es notable en sistemas dinámicos ya que puede dar lugar a atractores caóticos con diversas dimensiones. ^[3]

Introducción

Serie temporal generada a partir de las ecuaciones de Mackey-Glass. Esto puede verse como un modelo de una variación saludable de la densidad de células sanguíneas. Aquí, . ${\displaystyle \tau =6}$

También se generó a partir de las ecuaciones de Mackey-Glass, pero ahora se podría considerar como una variación patológica de la densidad de células sanguíneas. Aquí, . ${\displaystyle \tau =20}$

Existe una enorme cantidad de sistemas fisiológicos que involucran o dependen del comportamiento periódico de ciertos subcomponentes del sistema . ^[4] Por ejemplo, muchos procesos homeostáticos dependen de la retroalimentación negativa para controlar la concentración de sustancias en la sangre; la respiración , por ejemplo, es promovida por la detección, por parte del cerebro, de una alta concentración de CO ₂ en la sangre. ^[5] Una forma de modelar matemáticamente tales sistemas es con la siguiente ecuación diferencial ordinaria simple :

${\displaystyle y'(t)=k-cy(t)}$

donde es la velocidad a la que se produce una "sustancia" y controla cómo el nivel actual de la sustancia desalienta la continuación de su producción. Las soluciones de esta ecuación se pueden encontrar mediante un factor de integración y tienen la forma: ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle c}$

${\displaystyle y(t)={\frac {k}{c}}+f(y_{0})e^{-ct}}$

donde es cualquier condición inicial para el problema de valor inicial . ${\displaystyle y_{0}}$

Sin embargo, el modelo anterior supone que las variaciones en la concentración de la sustancia se detectan inmediatamente, lo que a menudo no es el caso en los sistemas fisiológicos. Para aliviar este problema, Mackey, MC y Glass, L. (1977) propusieron cambiar la tasa de producción a una función de la concentración en un punto anterior en el tiempo, con la esperanza de que esto reflejara mejor el hecho de que existe un retraso significativo antes de que la médula ósea produzca y libere células maduras en la sangre, después de detectar una baja concentración de células en la sangre. ^[6] Al tomar la tasa de producción como: ${\displaystyle k(y(t-\tau ))}$ ${\displaystyle t-\tau }$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle {\frac {\beta _{0}\theta ^{n}}{\theta ^{n}+P(t-\tau )^{n}}}~~{\text{ or }}~~{\frac {\beta _{0}\theta ^{n}P(t-\tau )}{\theta ^{n}+P(t-\tau )^{n}}}}$

obtenemos las ecuaciones ( 1 ) y ( 2 ), respectivamente. Los valores utilizados por Mackey, MC y Glass, L. (1977) fueron , y , con condición inicial . El valor de no es relevante para el propósito de analizar la dinámica de la ecuación ( 2 ), ya que el cambio de variable reduce la ecuación a: ${\displaystyle \gamma =0.1}$ ${\displaystyle \beta _{0}=0.2}$ ${\displaystyle n=10}$ ${\displaystyle P(0)=0.1}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle P(t)=\theta \cdot Q(t)}$

${\displaystyle Q'(t)={\frac {\beta _{0}Q(t-\tau )}{1+Q(t-\tau )^{n}}}-\gamma Q(t).}$

Es por esto que, en este contexto, las gráficas a menudo se sitúan en el eje . ${\displaystyle Q(t)=P(t)/\theta }$ ${\displaystyle y}$

Comportamiento dinámico

Atractores de Mackey-Glass para varios valores del parámetro ${\displaystyle \tau }$

Es de interés estudiar el comportamiento de las soluciones de las ecuaciones cuando varía, ya que representa el tiempo que tarda el sistema fisiológico en reaccionar a la variación de la concentración de una sustancia. Un aumento de este retraso puede ser causado por una patología , que a su vez puede dar lugar a soluciones caóticas para las ecuaciones de Mackey-Glass, especialmente la ecuación ( 2 ). Cuando , obtenemos una solución periódica muy regular, que puede verse como caracterizante de un comportamiento "saludable"; por otro lado, cuando la solución se vuelve mucho más errática. ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau =6}$ ${\displaystyle \tau =20}$

El atractor Mackey-Glass se puede visualizar trazando los pares . ^[2] Esto está algo justificado porque las ecuaciones diferenciales de retardo pueden (a veces) reducirse a un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias , y también porque son mapas de dimensión aproximadamente infinita . ^{[3] [7]} ${\displaystyle (P(t),P(t-\tau ))}$

Véase también

• Ritmo circadiano
• Oscilador circadiano
• Oscilación neuronal

Referencias

1. Mackey, MC; Glass, L. (1977). "Oscilación y caos en sistemas de control fisiológico". Science . 197 (4300): 287–9. Bibcode :1977Sci...197..287M. doi :10.1126/science.267326. PMID  267326.
2. "Ecuación de Mackey-Glass". Proyecto de demostraciones de Wolfram . Consultado el 10 de agosto de 2020 .
3. Kantz, H.; Schreiber, T. (2004). Análisis de series temporales no lineales . Vol. 7. Cambridge University Press.
4. Glass, L. (2001). "Sincronización y procesos rítmicos en fisiología". Nature . 410 (6825): 277–84. Bibcode :2001Natur.410..277G. doi :10.1038/35065745. PMID  11258383. S2CID  4379463.
5. Specht, H.; Fruhmann, G. (1972). "Incidencia de respiración periódica en 2000 sujetos sin enfermedad pulmonar o neurológica". Boletín de fisiopatología respiratoria . 8 (5): 1075–1083. PMID  4657862.
6. Rubin, R.; Strayer, DS; Rubin, E. (2008). Patología de Rubin: fundamentos clinicopatológicos de la medicina . Lippincott Williams & Wilkins.
7. Junges, L.; Gallas, JA (2012). "Rutas intrincadas hacia el caos en el sistema de retroalimentación retardada de Mackey-Glass". Physics Letters A . 376 (30–31): 2109–2116. Bibcode :2012PhLA..376.2109J. doi : 10.1016/j.physleta.2012.05.022 .