Cambio de base

Cambio de coordenadas en álgebra lineal

En matemáticas , una base ordenada de un espacio vectorial de dimensión finita n permite representar de forma única cualquier elemento del espacio vectorial mediante un vector de coordenadas , que es una sucesión de n escalares denominados coordenadas . Si se consideran dos bases distintas, el vector de coordenadas que representa un vector v en una base es, en general, distinto del vector de coordenadas que representa v en la otra base. Un cambio de base consiste en convertir toda afirmación expresada en términos de coordenadas relativas a una base en una afirmación expresada en términos de coordenadas relativas a la otra base. ^{[1] [2] [3]}

Esta conversión resulta de la fórmula de cambio de base que expresa las coordenadas relativas a una base en términos de coordenadas relativas a la otra base. Utilizando matrices , esta fórmula se puede escribir

${\displaystyle \mathbf {x} _{\mathrm {old} }=A\,\mathbf {x} _{\mathrm {new} },}$

donde "viejo" y "nuevo" se refieren respectivamente a la base inicialmente definida y a la otra base, y son los vectores columna de las coordenadas del mismo vector en las dos bases. ${\displaystyle \mathbf {x} _{\mathrm {old} }}$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{\mathrm {new} }}$ ${\displaystyle A}$es la matriz de cambio de base (también llamada matriz de transición ), que es la matriz cuyas columnas son las coordenadas de los nuevos vectores de base sobre la base antigua.

Un cambio de base se denomina a veces cambio de coordenadas , aunque excluye muchas transformaciones de coordenadas . Para aplicaciones en física y especialmente en mecánica , un cambio de base a menudo implica la transformación de una base ortonormal , entendida como una rotación en el espacio físico , excluyendo así las traslaciones . Este artículo trata principalmente de espacios vectoriales de dimensión finita. Sin embargo, muchos de los principios también son válidos para espacios vectoriales de dimensión infinita.

Fórmula de cambio de base

Sea una base de un espacio vectorial de dimensión finita V sobre un cuerpo F . ^[a] ${\displaystyle B_{\mathrm {old} }=(v_{1},\ldots ,v_{n})}$

Para j = 1, ..., n , se puede definir un vector w _j por sus coordenadas sobre ${\displaystyle a_{i,j}}$ ${\displaystyle B_{\mathrm {old} }\colon }$

${\displaystyle w_{j}=\sum _{i=1}^{n}a_{i,j}v_{i}.}$

Dejar

${\displaystyle A=\left(a_{i,j}\right)_{i,j}}$

sea ​​la matriz cuya columna j está formada por las coordenadas de w _j . (Aquí y en lo que sigue, el índice i se refiere siempre a las filas de A y mientras que el índice j se refiere siempre a las columnas de A y tal convención es útil para evitar errores en cálculos explícitos.) ${\displaystyle v_{i},}$ ${\displaystyle w_{j};}$

Se tiene que es una base de V si y solo si la matriz A es invertible , o equivalentemente si tiene un determinante distinto de cero . En este caso, se dice que A es la matriz de cambio de base de la base a la base ${\displaystyle B_{\mathrm {new} }=(w_{1},\ldots ,w_{n}),}$ ${\displaystyle B_{\mathrm {new} }}$ ${\displaystyle B_{\mathrm {old} }}$ ${\displaystyle B_{\mathrm {new} }.}$

Dado un vector, sean las coordenadas de sobre y sus coordenadas sobre que es ${\displaystyle z\in V,}$ ${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle B_{\mathrm {old} },}$ ${\displaystyle (y_{1},\ldots ,y_{n})}$ ${\displaystyle B_{\mathrm {new} };}$

${\displaystyle z=\sum _{i=1}^{n}x_{i}v_{i}=\sum _{j=1}^{n}y_{j}w_{j}.}$

(Se podría tomar el mismo índice de suma para las dos sumas, pero elegir sistemáticamente los índices i para la base antigua y j para la nueva hace más claras las fórmulas que siguen y ayuda a evitar errores en las pruebas y los cálculos explícitos.)

La fórmula de cambio de base expresa las coordenadas sobre la base anterior en términos de las coordenadas sobre la base nueva. Con la notación anterior, es

${\displaystyle x_{i}=\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}y_{j}\qquad {\text{for }}i=1,\ldots ,n.}$

En términos de matrices, la fórmula de cambio de base es

${\displaystyle \mathbf {x} =A\,\mathbf {y} ,}$

donde y son los vectores columna de las coordenadas de z sobre y respectivamente. ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle \mathbf {y} }$ ${\displaystyle B_{\mathrm {old} }}$ ${\displaystyle B_{\mathrm {new} },}$

Demostración: Utilizando la definición anterior de la matriz de cambio de base, se tiene

${\displaystyle {\begin{aligned}z&=\sum _{j=1}^{n}y_{j}w_{j}\\&=\sum _{j=1}^{n}\left(y_{j}\sum _{i=1}^{n}a_{i,j}v_{i}\right)\\&=\sum _{i=1}^{n}\left(\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}y_{j}\right)v_{i}.\end{aligned}}}$

Como la fórmula de cambio de base resulta de la unicidad de la descomposición de un vector sobre una base. ${\displaystyle z=\textstyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}v_{i},}$

Ejemplo

Consideremos el espacio vectorial euclidiano y una base que consta de los vectores y Si uno los gira en un ángulo de t , se tiene una nueva base formada por y ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle v_{1}=(1,0)}$ ${\displaystyle v_{2}=(0,1).}$ ${\displaystyle w_{1}=(\cos t,\sin t)}$ ${\displaystyle w_{2}=(-\sin t,\cos t).}$

Entonces, la matriz de cambio de base es ${\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos t&-\sin t\\\sin t&\cos t\end{bmatrix}}.}$

La fórmula de cambio de base afirma que, si son las nuevas coordenadas de un vector , entonces se tiene ${\displaystyle y_{1},y_{2}}$ ${\displaystyle (x_{1},x_{2}),}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos t&-\sin t\\\sin t&\cos t\end{bmatrix}}\,{\begin{bmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{bmatrix}}.}$

Eso es,

${\displaystyle x_{1}=y_{1}\cos t-y_{2}\sin t\qquad {\text{and}}\qquad x_{2}=y_{1}\sin t+y_{2}\cos t.}$

Esto se puede comprobar escribiendo

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}v_{1}+x_{2}v_{2}&=(y_{1}\cos t-y_{2}\sin t)v_{1}+(y_{1}\sin t+y_{2}\cos t)v_{2}\\&=y_{1}(\cos(t)v_{1}+\sin(t)v_{2})+y_{2}(-\sin(t)v_{1}+\cos(t)v_{2})\\&=y_{1}w_{1}+y_{2}w_{2}.\end{aligned}}}$

En términos de mapas lineales

Normalmente, una matriz representa una función lineal , y el producto de una matriz por un vector columna representa la función de la función lineal correspondiente al vector cuyas coordenadas forman el vector columna. La fórmula de cambio de base es un caso específico de este principio general, aunque esto no resulta inmediatamente claro a partir de su definición y demostración.

Cuando se dice que una matriz representa una función lineal, se hace referencia implícitamente a bases de espacios vectoriales implícitos y al hecho de que la elección de una base induce un isomorfismo entre un espacio vectorial y F ⁿ , donde F es el cuerpo de escalares. Cuando se considera una sola base para cada espacio vectorial, conviene dejar implícito este isomorfismo y trabajar hasta llegar a un isomorfismo. Como aquí se consideran varias bases del mismo espacio vectorial, se requiere una redacción más precisa.

Sea F un cuerpo , el conjunto de las n -tuplas es un F -espacio vectorial cuya adición y multiplicación escalar se definen componente por componente. Su base estándar es la base que tiene como elemento i la tupla con todos los componentes iguales a 0 excepto el i -ésimo que es 1 . ${\displaystyle F^{n}}$

Una base de un espacio vectorial F V define un isomorfismo lineal por ${\displaystyle B=(v_{1},\ldots ,v_{n})}$ ${\displaystyle \phi \colon F^{n}\to V}$

${\displaystyle \phi (x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{n}x_{i}v_{i}.}$

Por el contrario, tal isomorfismo lineal define una base, que es la imagen de la base estándar de ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle F^{n}.}$

Sea la "antigua base" de un cambio de base, y el isomorfismo asociado. Dada una matriz de cambio de base A , se podría considerar que es la matriz de un endomorfismo de Finalmente, definamos ${\displaystyle B_{\mathrm {old} }=(v_{1},\ldots ,v_{n})}$ ${\displaystyle \phi _{\mathrm {old} }}$ ${\displaystyle \psi _{A}}$ ${\displaystyle F^{n}.}$

${\displaystyle \phi _{\mathrm {new} }=\phi _{\mathrm {old} }\circ \psi _{A}}$

(donde denota la composición de la función ), y ${\displaystyle \circ }$

${\displaystyle B_{\mathrm {new} }=\phi _{\mathrm {new} }(\phi _{\mathrm {old} }^{-1}(B_{\mathrm {old} })).}$

Una verificación sencilla muestra que esta definición de es la misma que la de la sección anterior. ${\displaystyle B_{\mathrm {new} }}$

Ahora, al componer la ecuación con a la izquierda y a la derecha, se obtiene ${\displaystyle \phi _{\mathrm {new} }=\phi _{\mathrm {old} }\circ \psi _{A}}$ ${\displaystyle \phi _{\mathrm {old} }^{-1}}$ ${\displaystyle \phi _{\mathrm {new} }^{-1}}$

${\displaystyle \phi _{\mathrm {old} }^{-1}=\psi _{A}\circ \phi _{\mathrm {new} }^{-1}.}$

De lo cual se deduce que, porque uno tiene ${\displaystyle v\in V,}$

${\displaystyle \phi _{\mathrm {old} }^{-1}(v)=\psi _{A}(\phi _{\mathrm {new} }^{-1}(v)),}$

que es la fórmula de cambio de base expresada en términos de mapas lineales en lugar de coordenadas.

Función definida en un espacio vectorial

Una función que tiene un espacio vectorial como dominio se especifica comúnmente como una función multivariada cuyas variables son las coordenadas sobre alguna base del vector sobre el que se aplica la función .

Cuando se cambia la base, se cambia la expresión de la función. Este cambio se puede calcular sustituyendo las coordenadas "antiguas" por sus expresiones en términos de las coordenadas "nuevas". Más precisamente, si f ( x ) es la expresión de la función en términos de las coordenadas antiguas, y si x = A y es la fórmula de cambio de base, entonces f ( A y ) es la expresión de la misma función en términos de las coordenadas nuevas.

El hecho de que la fórmula de cambio de base exprese las antiguas coordenadas en términos de las nuevas puede parecer poco natural, pero parece útil, ya que aquí no se necesita ninguna inversión de matriz .

Como la fórmula de cambio de base involucra solo funciones lineales , muchas propiedades de funciones se mantienen mediante un cambio de base. Esto permite definir estas propiedades como propiedades de funciones de un vector variable que no están relacionadas con ninguna base específica. Por lo tanto, una función cuyo dominio es un espacio vectorial o un subconjunto de este es

• una función lineal,
• una función polinómica ,
• una función continua ,
• una función diferenciable ,
• una función suave ,
• una función analítica ,

si la función multivariada que la representa sobre alguna base —y por lo tanto sobre toda base— tiene la misma propiedad.

Esto es especialmente útil en la teoría de variedades , ya que permite extender los conceptos de funciones continuas, diferenciables, suaves y analíticas a funciones que están definidas en una variedad.

Mapas lineales

Considérese una función lineal T : W → V de un espacio vectorial W de dimensión n a un espacio vectorial V de dimensión m . Se representa sobre bases "antiguas" de V y W mediante una matriz m × n M . Un cambio de bases se define mediante una matriz de cambio de base m × m P para V , y una matriz de cambio de base n × n Q para W .

Sobre las bases "nuevas", la matriz de T es

${\displaystyle P^{-1}MQ.}$

Esta es una consecuencia directa de la fórmula de cambio de base.

Endomorfismos

Los endomorfismos son aplicaciones lineales de un espacio vectorial V sobre sí mismo. Para un cambio de base, se aplica la fórmula de la sección anterior, con la misma matriz de cambio de base en ambos lados de la fórmula. Es decir, si M es la matriz cuadrada de un endomorfismo de V sobre una base "antigua", y P es una matriz de cambio de base, entonces la matriz del endomorfismo sobre la base "nueva" es

${\displaystyle P^{-1}MP.}$

Como cada matriz invertible puede utilizarse como matriz de cambio de base, esto implica que dos matrices son similares si y solo si representan el mismo endomorfismo en dos bases diferentes.

Formas bilineales

Una forma bilineal en un espacio vectorial V sobre un cuerpo F es una función V × V → F que es lineal en ambos argumentos. Es decir, B  : V × V → F es bilineal si las funciones y son lineales para cada función fija . ${\displaystyle v\mapsto B(v,w)}$ ${\displaystyle v\mapsto B(w,v)}$ ${\displaystyle w\in V.}$

La matriz B de una forma bilineal B sobre una base (la base "antigua" en lo sucesivo) es la matriz cuya entrada de la fila i y la columna j es . De ello se deduce que si v y w son los vectores columna de las coordenadas de dos vectores v y w , se tiene ${\displaystyle (v_{1},\ldots ,v_{n})}$ ${\displaystyle B(v_{i},v_{j})}$

${\displaystyle B(v,w)=\mathbf {v} ^{\mathsf {T}}\mathbf {B} \mathbf {w} ,}$

donde denota la transpuesta de la matriz v . ${\displaystyle \mathbf {v} ^{\mathsf {T}}}$

Si P es una matriz de cambio de base, entonces un cálculo sencillo muestra que la matriz de la forma bilineal en la nueva base es

${\displaystyle P^{\mathsf {T}}\mathbf {B} P.}$

Una forma bilineal simétrica es una forma bilineal B tal que para cada v y w en V . De ello se deduce que la matriz de B en cualquier base es simétrica . Esto implica que la propiedad de ser una matriz simétrica debe mantenerse mediante la fórmula de cambio de base anterior. También se puede comprobar esto observando que la transpuesta de un producto matricial es el producto de las transpuestas calculadas en orden inverso. En particular, ${\displaystyle B(v,w)=B(w,v)}$

${\displaystyle (P^{\mathsf {T}}\mathbf {B} P)^{\mathsf {T}}=P^{\mathsf {T}}\mathbf {B} ^{\mathsf {T}}P,}$

y los dos miembros de esta ecuación son iguales si la matriz B es simétrica. ${\displaystyle P^{\mathsf {T}}\mathbf {B} P}$

Si la característica del campo fundamental F no es dos, entonces para cada forma bilineal simétrica existe una base para la cual la matriz es diagonal . Además, las entradas resultantes no nulas en la diagonal se definen hasta la multiplicación por un cuadrado. Por lo tanto, si el campo fundamental es el campo de los números reales , estas entradas no nulas pueden elegirse como 1 o -1 . La ley de inercia de Sylvester es un teorema que afirma que los números de 1 y de -1 dependen solo de la forma bilineal, y no del cambio de base. ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Las formas bilineales simétricas sobre los números reales se encuentran a menudo en geometría y física , típicamente en el estudio de las cuádricas y de la inercia de un cuerpo rígido . En estos casos, las bases ortonormales son especialmente útiles; esto significa que generalmente se prefiere restringir los cambios de base a aquellas que tienen una matriz de cambio de base ortogonal , es decir, una matriz tal que Tales matrices tienen la propiedad fundamental de que la fórmula de cambio de base es la misma para una forma bilineal simétrica y el endomorfismo que está representado por la misma matriz simétrica. El teorema espectral afirma que, dada una matriz simétrica de este tipo, existe un cambio de base ortogonal tal que la matriz resultante (tanto de la forma bilineal como del endomorfismo) es una matriz diagonal con los valores propios de la matriz inicial en la diagonal. De ello se deduce que, sobre los números reales, si la matriz de un endomorfismo es simétrica, entonces es diagonalizable . ${\displaystyle P^{\mathsf {T}}=P^{-1}.}$

Véase también

• Transformación activa y pasiva
• Covarianza y contravarianza de vectores
• Transformada integral , el análogo continuo del cambio de base.
• Pesos de Chirgwin-Coulson  : aplicación en química computacional

Notas

1. Aunque una base generalmente se define como un conjunto de vectores (por ejemplo, como un conjunto extensor que es linealmente independiente), la notación de tupla es conveniente aquí, ya que la indexación por los primeros números enteros positivos hace que la base sea una base ordenada .

Referencias

1. Anton (1987, págs. 221-237)
2. Beauregard y Fraleigh (1973, págs. 240-243)
3. Nering (1970, págs. 50-52)

Bibliografía

• Anton, Howard (1987), Álgebra lineal elemental (5.ª ed.), Nueva York: Wiley , ISBN 0-471-84819-0
• Beauregard, Raymond A.; Fraleigh, John B. (1973), Un primer curso de álgebra lineal: con introducción opcional a grupos, anillos y campos , Boston: Houghton Mifflin Company , ISBN 0-395-14017-X
• Nering, Evar D. (1970), Álgebra lineal y teoría de matrices (2.ª ed.), Nueva York: Wiley , LCCN  76091646

Enlaces externos

• Conferencia sobre cambio de base en Álgebra lineal del MIT, de MIT OpenCourseWare
• Conferencia de Khan Academy sobre el cambio de base, de Khan Academy