La celda de Wigner-Seitz , llamada así en honor a Eugene Wigner y Frederick Seitz , es una celda primitiva que se construyó aplicando la descomposición de Voronoi a una red cristalina . Se utiliza en el estudio de materiales cristalinos en cristalografía .
La propiedad única de un cristal es que sus átomos están dispuestos en una disposición tridimensional regular llamada red . Todas las propiedades atribuidas a los materiales cristalinos se derivan de esta estructura altamente ordenada. Dicha estructura exhibe simetría traslacional discreta . Para modelar y estudiar un sistema periódico de este tipo, se necesita un "manejo" matemático para describir la simetría y, por lo tanto, sacar conclusiones sobre las propiedades del material consecuentes con esta simetría. La celda de Wigner-Seitz es un medio para lograr esto.
Una celda de Wigner-Seitz es un ejemplo de celda primitiva , que es una celda unitaria que contiene exactamente un punto de la red. Para cualquier red dada, hay un número infinito de celdas primitivas posibles. Sin embargo, solo hay una celda de Wigner-Seitz para cualquier red dada. Es el lugar geométrico de los puntos en el espacio que están más cerca de ese punto de la red que de cualquiera de los otros puntos de la red.
Una celda de Wigner-Seitz, como cualquier celda primitiva, es un dominio fundamental para la simetría de traslación discreta de la red. La celda primitiva de la red recíproca en el espacio de momento se denomina zona de Brillouin .
El concepto de descomposición de Voronoi fue investigado por Peter Gustav Lejeune Dirichlet , lo que dio lugar al nombre de dominio de Dirichlet . Otras contribuciones fueron realizadas por Evgraf Fedorov ( paraleloedro de Fedorov ), Georgy Voronoy ( poliedro de Voronoi ), [1] [2] y Paul Niggli ( Wirkungsbereich ). [3]
La aplicación a la física de la materia condensada fue propuesta por primera vez por Eugene Wigner y Frederick Seitz en un artículo de 1933, donde se utilizó para resolver la ecuación de Schrödinger para electrones libres en sodio elemental . [4] Aproximaron la forma de la celda de Wigner-Seitz en sodio, que es un octaedro truncado, como una esfera de igual volumen, y resolvieron la ecuación de Schrödinger exactamente usando condiciones de contorno periódicas , que requieren en la superficie de la esfera. Un cálculo similar que también tuvo en cuenta la naturaleza no esférica de la celda de Wigner-Seitz fue realizado más tarde por John C. Slater . [5]
Sólo hay cinco poliedros topológicamente distintos que forman mosaicos en el espacio tridimensional , ℝ 3 . Estos se denominan paraleloedros . Son objeto de interés matemático, como en dimensiones superiores. [6] Estos cinco paraleloedros se pueden utilizar para clasificar las redes tridimensionales utilizando el concepto de plano proyectivo, como lo sugieren John Horton Conway y Neil Sloane . [7] Sin embargo, mientras que una clasificación topológica considera que cualquier transformación afín conduce a una clase idéntica, una clasificación más específica conduce a 24 clases distintas de poliedros de Voronoi con aristas paralelas que forman mosaicos en el espacio. [3] Por ejemplo, el cuboide rectangular , el prisma cuadrado recto y el cubo pertenecen a la misma clase topológica, pero se distinguen por diferentes proporciones de sus lados. Esta clasificación de los 24 tipos de poliedros de Voronoi para las redes de Bravais fue presentada por primera vez por Boris Delaunay . [8]
La celda de Wigner-Seitz alrededor de un punto reticular se define como el lugar geométrico de los puntos en el espacio que están más cerca de ese punto reticular que de cualquiera de los otros puntos reticulares. [9]
Se puede demostrar matemáticamente que una celda de Wigner-Seitz es una celda primitiva . Esto implica que la celda abarca todo el espacio directo sin dejar huecos ni agujeros, una propiedad conocida como teselación .
El concepto matemático general incorporado en una celda de Wigner-Seitz se denomina más comúnmente celda de Voronoi , y la partición del plano en estas celdas para un conjunto dado de sitios puntuales se conoce como diagrama de Voronoi .
La celda se puede elegir eligiendo primero un punto de la red . Después de elegir un punto, se dibujan líneas hacia todos los puntos de la red cercanos. En el punto medio de cada línea, se dibuja otra línea normal a cada una de las primeras series de líneas. El área más pequeña encerrada de esta manera se denomina celda primitiva de Wigner-Seitz .
Para una red tridimensional, los pasos son análogos, pero en el paso 2, en lugar de dibujar líneas perpendiculares, se dibujan planos perpendiculares en el punto medio de las líneas entre los puntos de la red.
Como en el caso de todas las células primitivas, toda el área o espacio dentro de la red puede ser llenado por células de Wigner-Seitz y no habrá espacios.
Los puntos reticulares cercanos se examinan continuamente hasta que el área o el volumen encerrado sea el área o el volumen correcto para una celda primitiva . Alternativamente, si los vectores base de la red se reducen utilizando la reducción reticular, solo se necesita utilizar un número determinado de puntos reticulares. [10] En dos dimensiones, solo se necesitan utilizar los puntos reticulares que forman las 4 celdas unitarias que comparten un vértice con el origen. En tres dimensiones, solo se necesitan utilizar los puntos reticulares que forman las 8 celdas unitarias que comparten un vértice con el origen.
Para las redes compuestas (cristales que tienen más de un vector en su base ), cada punto de la red representa varios átomos. Podemos dividir cada celda de Wigner-Seitz en subceldas mediante una descomposición de Voronoi adicional según el átomo más cercano, en lugar del punto de la red más cercano. [12] Por ejemplo, la estructura cristalina del diamante contiene una base de dos átomos. En el diamante, los átomos de carbono tienen enlaces sp 3 tetraédricos , pero como los tetraedros no forman mosaicos en el espacio , la descomposición de Voronoi de la estructura cristalina del diamante es en realidad el panal tetraédrico truncado triakis . [13] Otro ejemplo es aplicar la descomposición de Voronoi a los átomos en las fases A15 , que forma la aproximación poliédrica de la estructura de Weaire-Phelan .
La celda de Wigner-Seitz siempre tiene la misma simetría puntual que la red de Bravais subyacente . [9] Por ejemplo, el cubo , el octaedro truncado y el dodecaedro rómbico tienen simetría puntual O h , ya que las respectivas redes de Bravais utilizadas para generarlos pertenecen todas al sistema de red cúbica , que tiene simetría puntual O h .
En la práctica, la celda de Wigner-Seitz en sí misma rara vez se utiliza como descripción del espacio directo , en cuyo lugar se suelen utilizar las celdas unitarias convencionales. Sin embargo, la misma descomposición es extremadamente importante cuando se aplica al espacio recíproco . La celda de Wigner-Seitz en el espacio recíproco se denomina zona de Brillouin , que contiene la información sobre si un material será un conductor , un semiconductor o un aislante .
