Cálculo de Schubert

En matemáticas , el cálculo de Schubert ^[1] es una rama de la geometría algebraica introducida en el siglo XIX por Hermann Schubert para resolver varios problemas de conteo de la geometría proyectiva y, como tal, se considera parte de la geometría enumerativa . Darle una base más rigurosa fue el objetivo del decimoquinto problema de Hilbert . Está relacionado con varios conceptos más modernos, como las clases características , y tanto sus aspectos algorítmicos como sus aplicaciones siguen siendo de interés actual. El término cálculo de Schubert se usa a veces para significar la geometría enumerativa de subespacios lineales de un espacio vectorial, lo que es aproximadamente equivalente a describir el anillo de cohomología de los grassmannianos. A veces se usa para significar la geometría enumerativa más general de las variedades algebraicas que son espacios homogéneos de grupos de Lie simples. Incluso de manera más general, el cálculo de Schubert a veces se entiende como que abarca el estudio de preguntas análogas en teorías de cohomología generalizadas .

Los objetos introducidos por Schubert son las células de Schubert ^[2] , que son conjuntos localmente cerrados en un Grassmanniano definido por condiciones de incidencia de un subespacio lineal en el espacio proyectivo con una bandera dada . Para más detalles, véase variedad de Schubert .

La teoría de intersección ^[3] de estas celdas, que puede verse como la estructura del producto en el anillo de cohomología del Grassmanniano, que consiste en clases de cohomología asociadas , permite en particular la determinación de casos en los que las intersecciones de celdas dan como resultado un conjunto finito de puntos. Un resultado clave es que las celdas de Schubert (o más bien, las clases de sus clausuras de Zariski, los ciclos de Schubert o variedades de Schubert ) abarcan todo el anillo de cohomología.

Los aspectos combinatorios surgen principalmente en relación con el cálculo de intersecciones de ciclos de Schubert. Desde el Grassmanniano , que es un espacio homogéneo , hasta el grupo lineal general que actúa sobre él, cuestiones similares están involucradas en la descomposición de Bruhat y la clasificación de subgrupos parabólicos (como matrices triangulares de bloques ).

Construcción

El cálculo de Schubert se puede construir utilizando el anillo de Chow ^[3] del Grassmanniano , donde los ciclos generadores están representados por datos definidos geométricamente. ^[4] Denotemos el Grassmanniano de los planos en un espacio vectorial de dimensión fija como , y su anillo de Chow como . (Tenga en cuenta que el Grassmanniano a veces se denota si el espacio vectorial no se da explícitamente o como si el espacio ambiente y sus subespacios de dimensión se reemplazaran por sus proyecciones). Elección de una bandera completa (arbitraria) ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,V)}$ ${\displaystyle A^{*}(\mathbf {Gr} (k,V))}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,n)}$ ${\displaystyle \mathbb {G} (k-1,n-1)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle {\mathcal {V}}=(V_{1}\subset \cdots \subset V_{n-1}\subset V_{n}=V),\quad \dim {V}_{i}=i,\quad i=1,\dots ,n,}$

a cada tupla débilmente decreciente de números enteros , donde ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},\ldots ,a_{k})}$

${\displaystyle n-k\geq a_{1}\geq a_{2}\geq \cdots \geq a_{k}\geq 0,}$

es decir, a cada partición de peso

${\displaystyle |\mathbf {a} |=\sum _{i=1}^{k}a_{i},}$

cuyo diagrama de Young encaja en el rectangular de la partición , asociamos una variedad de Schubert ^{[1] [2]} (o ciclo de Schubert ) , definida como ${\displaystyle k\times (n-k)}$ ${\displaystyle (n-k)^{k}}$ ${\displaystyle \Sigma _{\mathbf {a} }({\mathcal {V}})\subset \mathbf {Gr} (k,V)}$

${\displaystyle \Sigma _{\mathbf {a} }({\mathcal {V}})=\{w\in \mathbf {Gr} (k,V):\dim(V_{n-k+i-a_{i}}\cap w)\geq i{\text{ for }}i=1,\dots ,k\}.}$

Este es el cierre, en la topología de Zariski , de la celda de Schubert ^{[1] [2]}

${\displaystyle X_{\mathbf {a} }({\mathcal {V}}):=\{w\in \mathbf {Gr} (k,V):\dim(V_{j}\cap w)=i{\text{ for all }}n-k-a_{i}+i\leq j\leq n-k-a_{i+1}+i,\quad 1\leq j\leq n\}\subset \Sigma _{\mathbf {a} }({\mathcal {V}}),}$

que se utiliza cuando se considera la homología celular en lugar del anillo de Chow. Estos últimos son espacios afines disjuntos, de dimensión , cuya unión es . ${\displaystyle |\mathbf {a} |}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,V)}$

Se puede dar una caracterización equivalente de la célula de Schubert en términos de la bandera completa dual ${\displaystyle X_{\mathbf {a} }({\mathcal {V}})}$

${\displaystyle {\tilde {\mathcal {V}}}=({\tilde {V}}_{1}\subset {\tilde {V}}_{2}\cdots \subset {\tilde {V}}_{n}=V),}$

dónde

${\displaystyle {\tilde {V}}_{i}:=V_{n}\backslash V_{n-i},\quad i=1,\dots ,n\quad (V_{0}:=\emptyset ).}$

Entonces consta de aquellos subespacios -dimensionales que tienen una base formada por elementos ${\displaystyle X_{\mathbf {a} }({\mathcal {V}})\subset \mathbf {Gr} (k,V)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle w\subset V}$ ${\displaystyle ({\tilde {W}}_{1},\dots ,{\tilde {W}}_{k})}$

${\displaystyle {\tilde {W}}_{i}\in {\tilde {V}}_{k+a_{i}-i+1},\quad i=1,\dots ,k}$

de los subespacios ${\displaystyle \{{\tilde {V}}_{k+a_{i}-i+1}\}_{i=1,\dots ,k}.}$

Dado que la clase de homología , llamada clase Schubert , no depende de la elección de la bandera completa , se puede escribir como ${\displaystyle [\Sigma _{\mathbf {a} }({\mathcal {V}})]\in A^{*}(\mathbf {Gr} (k,V))}$ ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$

${\displaystyle \sigma _{\mathbf {a} }:=[\Sigma _{\mathbf {a} }]\in A^{*}(\mathbf {Gr} (k,V)).}$

Se puede demostrar que estas clases son linealmente independientes y generan el anillo de Chow como su extensión lineal. La teoría de intersección asociada se llama cálculo de Schubert . Para una secuencia dada con la clase de Schubert generalmente se denota simplemente . Las clases de Schubert dadas por un solo entero , (es decir, una partición horizontal), se denominan clases especiales . Usando la fórmula de Giambelli a continuación, todas las clases de Schubert se pueden generar a partir de estas clases especiales. ${\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},\ldots ,a_{j},0,\ldots ,0)}$ ${\displaystyle a_{j}>0}$ ${\displaystyle \sigma _{(a_{1},\ldots ,a_{j},0,\ldots ,0)}}$ ${\displaystyle \sigma _{(a_{1},\ldots ,a_{j})}}$ ${\displaystyle \sigma _{a_{1}}}$

Otras convenciones de notación

En algunas fuentes, ^{[1] [2]} las celdas de Schubert y las variedades de Schubert se etiquetan de manera diferente, como y , respectivamente, donde es la partición complementaria a con partes ${\displaystyle X_{\mathbf {a} }}$ ${\displaystyle \Sigma _{\mathbf {a} }}$ ${\displaystyle S_{\lambda }}$ ${\displaystyle {\bar {S}}_{\lambda }}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mathbf {a} }$

${\displaystyle \lambda _{i}:=n-k-a_{k-i+1}}$,

cuyo diagrama de Young es el complemento del de dentro del rectangular (invertido, tanto horizontal como verticalmente). ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle k\times (n-k)}$

Otra convención de etiquetado para y es y , respectivamente, donde es el multiíndice definido por ${\displaystyle X_{\mathbf {a} }}$ ${\displaystyle \Sigma _{\mathbf {a} }}$ ${\displaystyle C_{L}}$ ${\displaystyle {\bar {C}}_{L}}$ ${\displaystyle L=(L_{1},\dots ,L_{k})\subset (1,\dots ,n)}$

${\displaystyle L_{i}:=n-k-a_{i}+i=\lambda _{k-i+1}+i.}$

Los números enteros son las posiciones pivote de las representaciones de los elementos de la forma escalonada matricial reducida . ${\displaystyle (L_{1},\dots ,L_{k})}$ ${\displaystyle X_{\mathbf {a} }}$

Explicación

Para explicar la definición, considere un plano genérico . Tendrá solo una intersección cero con para , mientras que ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle w\subset V}$ ${\displaystyle V_{j}}$ ${\displaystyle j\leq n-k}$

${\displaystyle \dim(V_{j}\cap w)=i}$para ${\displaystyle j=n-k+i\geq n-k.}$

Por ejemplo, en , un plano - es el espacio solución de un sistema de cinco ecuaciones lineales homogéneas independientes. Estas ecuaciones se extenderán genéricamente cuando se restrinjan a un subespacio con , en cuyo caso el espacio solución (la intersección de con ) consistirá solo en el vector cero. Sin embargo, si , y necesariamente tendrán una intersección distinta de cero. Por ejemplo, la dimensión esperada de la intersección de y es , la intersección de y tiene una dimensión esperada , y así sucesivamente. ${\displaystyle \mathbf {Gr} (4,9)}$ ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle V_{j}}$ ${\displaystyle j=\dim V_{j}\leq 5=9-4}$ ${\displaystyle V_{j}}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle \dim(V_{j})+\dim(w)>n=9}$ ${\displaystyle V_{j}}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle V_{6}}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle V_{7}}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle 2}$

La definición de una variedad de Schubert establece que el primer valor de con es genéricamente menor que el valor esperado por el parámetro . Los planos dados por estas restricciones definen entonces subvariedades especiales de . ^[4] ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle \dim(V_{j}\cap w)\geq i}$ ${\displaystyle n-k+i}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle w\subset V}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,n)}$

Propiedades

Inclusión

Hay un ordenamiento parcial en todas las tuplas donde si para cada . Esto da la inclusión de variedades de Schubert ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbf {a} \geq \mathbf {b} }$ ${\displaystyle a_{i}\geq b_{i}}$ ${\displaystyle i}$

${\displaystyle \Sigma _{\mathbf {a} }\subset \Sigma _{\mathbf {b} }\iff \mathbf {a} \geq \mathbf {b} ,}$

mostrando un aumento de los índices corresponde a una especialización aún mayor de las subvariedades.

Fórmula de dimensión

Una variedad de Schubert tiene una dimensión igual al peso. ${\displaystyle \Sigma _{\mathbf {a} }}$

${\displaystyle |\mathbf {a} |=\sum a_{i}}$

de la partición . Alternativamente, en la convención de notación indicada anteriormente, su codimensión en es el peso ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle S_{\lambda }}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,n)}$

${\displaystyle |\lambda |=\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}=k(n-k)-|\mathbf {a} |.}$

de la partición complementaria en el diagrama de Young rectangular dimensional. ${\displaystyle \lambda \subset (n-k)^{k}}$ ${\displaystyle k\times (n-k)}$

Esto es estable bajo inclusiones de Grassmannianos. Es decir, la inclusión

${\displaystyle i_{(k,n)}:\mathbf {Gr} (k,\mathbf {C} ^{n})\hookrightarrow \mathbf {Gr} (k,\mathbf {C} ^{n+1}),\quad \mathbf {C} ^{n}={\text{span}}\{e_{1},\dots ,e_{n}\}}$

definido, para , por ${\displaystyle w\in \mathbf {Gr} (k,\mathbf {C} ^{n})}$

${\displaystyle i_{(k,n)}:w\subset \mathbf {C} ^{n}\mapsto w\subset \mathbf {C} ^{n}\oplus \mathbf {C} e_{n+1}=\mathbf {C} ^{n+1}}$

tiene la propiedad

${\displaystyle i_{(k,n)}^{*}(\sigma _{\mathbf {a} })=\sigma _{\mathbf {a} },}$

y la inclusión

${\displaystyle {\tilde {i}}_{(k,n)}:\mathbf {Gr} (k,n)\hookrightarrow \mathbf {Gr} (k+1,n+1)}$

se define añadiendo el elemento base adicional a cada plano, lo que da un plano, ${\displaystyle e_{n+1}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle (k+1)}$

${\displaystyle {\tilde {i}}_{(k,n)}:w\mapsto w\oplus \mathbf {C} e_{n+1}\subset \mathbf {C} ^{n}\oplus \mathbf {C} e_{n+1}=\mathbf {C} ^{n+1}}$

lo hace tambien

${\displaystyle {\tilde {i}}_{(k,n)}^{*}(\sigma _{\mathbf {a} })=\sigma _{\mathbf {a} }.}$

Por lo tanto, si y son una célula y una subvariedad en el Grassmanniano , también pueden verse como una célula y una subvariedad dentro del Grassmanniano para cualquier par con y . ${\displaystyle X_{\mathbf {a} }\subset \mathbf {Gr} _{k}(n)}$ ${\displaystyle \Sigma _{\mathbf {a} }\subset \mathbf {Gr} _{k}(n)}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} _{k}(n)}$ ${\displaystyle X_{\mathbf {a} }\subset \mathbf {Gr} _{\tilde {k}}({\tilde {n}})}$ ${\displaystyle \Sigma _{\mathbf {a} }\subset \mathbf {Gr} _{\tilde {k}}({\tilde {n}})}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} _{\tilde {k}}({\tilde {n}})}$ ${\displaystyle ({\tilde {k}},{\tilde {n}})}$ ${\displaystyle {\tilde {k}}\geq k}$ ${\displaystyle {\tilde {n}}-{\tilde {k}}\geq n-k}$

Producto de intersección

El producto de intersección se estableció por primera vez utilizando las fórmulas de Pieri y Giambelli .

Fórmula de Pieri

En el caso especial , existe una fórmula explícita del producto de con una clase de Schubert arbitraria dada por ${\displaystyle \mathbf {b} =(b,0,\ldots ,0)}$ ${\displaystyle \sigma _{b}}$ ${\displaystyle \sigma _{a_{1},\ldots ,a_{k}}}$

${\displaystyle \sigma _{b}\cdot \sigma _{a_{1},\ldots ,a_{k}}=\sum _{\begin{matrix}|c|=|a|+b\\a_{i}\leq c_{i}\leq a_{i-1}\end{matrix}}\sigma _{\mathbf {c} },}$

donde , son los pesos de las particiones. Esto se denomina fórmula de Pieri y se puede utilizar para determinar el producto de intersección de dos clases de Schubert cualesquiera cuando se combina con la fórmula de Giambelli . Por ejemplo, ${\displaystyle |\mathbf {a} |=a_{1}+\cdots +a_{k}}$ ${\displaystyle |\mathbf {c} |=c_{1}+\cdots +c_{k}}$

${\displaystyle \sigma _{1}\cdot \sigma _{4,2,1}=\sigma _{5,2,1}+\sigma _{4,3,1}+\sigma _{4,2,1,1}.}$

y

${\displaystyle \sigma _{2}\cdot \sigma _{4,3}=\sigma _{4,3,2}+\sigma _{4,4,1}+\sigma _{5,3,1}+\sigma _{5,4}+\sigma _{6,3}}$

Fórmula de Giambelli

Las clases de Schubert para particiones de cualquier longitud se pueden expresar como el determinante de una matriz que tiene las clases especiales como entradas. ${\displaystyle \sigma _{\mathbf {a} }}$ ${\displaystyle \ell (\mathbf {a} )\leq k}$ ${\displaystyle (k\times k)}$

${\displaystyle \sigma _{(a_{1},\ldots ,a_{k})}={\begin{vmatrix}\sigma _{a_{1}}&\sigma _{a_{1}+1}&\sigma _{a_{1}+2}&\cdots &\sigma _{a_{1}+k-1}\\\sigma _{a_{2}-1}&\sigma _{a_{2}}&\sigma _{a_{2}+1}&\cdots &\sigma _{a_{2}+k-2}\\\sigma _{a_{3}-2}&\sigma _{a_{3}-1}&\sigma _{a_{3}}&\cdots &\sigma _{a_{3}+k-3}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\sigma _{a_{k}-k+1}&\sigma _{a_{k}-k+2}&\sigma _{a_{k}-k+3}&\cdots &\sigma _{a_{k}}\end{vmatrix}}}$

Esta se conoce como fórmula de Giambelli . Tiene la misma forma que la primera identidad de Jacobi-Trudi y expresa funciones de Schur arbitrarias como determinantes en términos de funciones simétricas completas . ${\displaystyle s_{\mathbf {a} }}$ ${\displaystyle \{h_{j}:=s_{(j)}\}}$

Por ejemplo,

${\displaystyle \sigma _{2,2}={\begin{vmatrix}\sigma _{2}&\sigma _{3}\\\sigma _{1}&\sigma _{2}\end{vmatrix}}=\sigma _{2}^{2}-\sigma _{1}\cdot \sigma _{3}}$

y

${\displaystyle \sigma _{2,1,1}={\begin{vmatrix}\sigma _{2}&\sigma _{3}&\sigma _{4}\\\sigma _{0}&\sigma _{1}&\sigma _{2}\\0&\sigma _{0}&\sigma _{1}\end{vmatrix}}.}$

Caso general

El producto de intersección entre cualquier par de clases de Schubert está dado por ${\displaystyle \sigma _{\mathbf {a} },\sigma _{\mathbf {b} }}$

${\displaystyle \sigma _{\mathbf {a} }\sigma _{\mathbf {b} }=\sum _{\mathbf {c} }c_{\mathbf {a} \mathbf {b} }^{\mathbf {c} }\sigma _{\mathbf {c} },}$

donde son los coeficientes de Littlewood-Richardson . ^[5] La fórmula de Pieri es un caso especial de esto, cuando tiene longitud . ${\displaystyle \{c_{\mathbf {a} \mathbf {b} }^{\mathbf {c} }\}}$ ${\displaystyle \mathbf {b} =(b,0,\dots ,0)}$ ${\displaystyle \ell (\mathbf {b} )=1}$

Relación con las clases de Chern

Hay una descripción sencilla del anillo de cohomología, o anillo de Chow, del Grassmanniano utilizando las clases de Chern de dos fibrados vectoriales naturales sobre . Tenemos la secuencia exacta de fibrados vectoriales sobre ${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,V)}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,V)}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,V)}$

${\displaystyle 0\to T\to {\underline {V}}\to Q\to 0}$

donde es el fibrado tautológico cuya fibra, sobre cualquier elemento es el propio subespacio , es el fibrado vectorial trivial de rango , con como fibra y es el fibrado vectorial cociente de rango , con como fibra. Las clases de Chern de los fibrados y son ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle w\in \mathbf {Gr} (k,V)}$ ${\displaystyle w\subset V}$ ${\displaystyle \,{\underline {V}}:=\mathbf {Gr} (k,V)\times V}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle n-k}$ ${\displaystyle V/w}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle Q}$

${\displaystyle c_{i}(T)=(-1)^{i}\sigma _{(1)^{i}},}$

¿Dónde está la partición cuyo diagrama de Young consta de una sola columna de longitud y ${\displaystyle (1)^{i}}$ ${\displaystyle i}$

${\displaystyle c_{i}(Q)=\sigma _{i}.}$

La secuencia tautológica da entonces la presentación del anillo de Chow como

${\displaystyle A^{*}(\mathbf {Gr} (k,V))={\frac {\mathbb {Z} [c_{1}(T),\ldots ,c_{k}(T),c_{1}(Q),\ldots ,c_{n-k}(Q)]}{(c(T)c(Q)-1)}}.}$

G r ( 2 , 4 ) {\displaystyle \mathbf {Gr} (2,4)}

Uno de los ejemplos clásicos analizados es el Grassmanniano ya que parametriza líneas en . Utilizando el anillo de Chow , el cálculo de Schubert puede utilizarse para calcular el número de líneas en una superficie cúbica . ^[4] ${\displaystyle \mathbf {Gr} (2,4)}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}$ ${\displaystyle A^{*}(\mathbf {Gr} (2,4))}$

Anillo de Chow

El anillo Chow tiene la presentación

${\displaystyle A^{*}(\mathbf {Gr} (2,4))={\frac {\mathbb {Z} [\sigma _{1},\sigma _{1,1},\sigma _{2}]}{((1-\sigma _{1}+\sigma _{1,1})(1+\sigma _{1}+\sigma _{2})-1)}}}$

y como grupo abeliano graduado ^[6] viene dado por

${\displaystyle {\begin{aligned}A^{0}(\mathbf {Gr} (2,4))&=\mathbb {Z} \cdot 1\\A^{2}(\mathbf {Gr} (2,4))&=\mathbb {Z} \cdot \sigma _{1}\\A^{4}(\mathbf {Gr} (2,4))&=\mathbb {Z} \cdot \sigma _{2}\oplus \mathbb {Z} \cdot \sigma _{1,1}\\A^{6}(\mathbf {Gr} (2,4))&=\mathbb {Z} \cdot \sigma _{2,1}\\A^{8}(\mathbf {Gr} (2,4))&=\mathbb {Z} \cdot \sigma _{2,2}\\\end{aligned}}}$

Líneas sobre una superficie cúbica

Recordemos que una línea en da un subespacio de dimensión de , por lo tanto un elemento de . Además, la ecuación de una línea se puede dar como una sección de . Dado que una superficie cúbica se da como un polinomio cúbico homogéneo genérico, esto se da como una sección genérica . Una línea es una subvariedad de si y solo si la sección se desvanece en . Por lo tanto, la clase de Euler de se puede integrar para obtener el número de puntos donde la sección genérica se desvanece en . Para obtener la clase de Euler, se debe calcular la clase de Chern total de , que se da como ${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{4}}$ ${\displaystyle \mathbb {G} (1,3)\cong \mathbf {Gr} (2,4)}$ ${\displaystyle \Gamma (\mathbb {G} (1,3),T^{*})}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle s\in \Gamma (\mathbb {G} (1,3),{\text{Sym}}^{3}(T^{*}))}$ ${\displaystyle L\subset \mathbb {P} ^{3}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle [L]\in \mathbb {G} (1,3)}$ ${\displaystyle {\text{Sym}}^{3}(T^{*})}$ ${\displaystyle \mathbb {G} (1,3)}$ ${\displaystyle \mathbb {G} (1,3)}$ ${\displaystyle T^{*}}$

${\displaystyle c(T^{*})=1+\sigma _{1}+\sigma _{1,1}}$

La fórmula de división entonces se lee como la ecuación formal

${\displaystyle {\begin{aligned}c(T^{*})&=(1+\alpha )(1+\beta )\\&=1+\alpha +\beta +\alpha \cdot \beta \end{aligned}},}$

donde y para los fibrados lineales formales . La ecuación de desdoblamiento da las relaciones ${\displaystyle c({\mathcal {L}})=1+\alpha }$ ${\displaystyle c({\mathcal {M}})=1+\beta }$ ${\displaystyle {\mathcal {L}},{\mathcal {M}}}$

${\displaystyle \sigma _{1}=\alpha +\beta }$y . ${\displaystyle \sigma _{1,1}=\alpha \cdot \beta }$

Dado que puede verse como la suma directa de los fibrados de líneas formales ${\displaystyle {\text{Sym}}^{3}(T^{*})}$

${\displaystyle {\text{Sym}}^{3}(T^{*})={\mathcal {L}}^{\otimes 3}\oplus ({\mathcal {L}}^{\otimes 2}\otimes {\mathcal {M}})\oplus ({\mathcal {L}}\otimes {\mathcal {M}}^{\otimes 2})\oplus {\mathcal {M}}^{\otimes 3}}$

cuya clase Chern total es

${\displaystyle c({\text{Sym}}^{3}(T^{*}))=(1+3\alpha )(1+2\alpha +\beta )(1+\alpha +2\beta )(1+3\beta ),}$

resulta que

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{4}({\text{Sym}}^{3}(T^{*}))&=3\alpha (2\alpha +\beta )(\alpha +2\beta )3\beta \\&=9\alpha \beta (2(\alpha +\beta )^{2}+\alpha \beta )\\&=9\sigma _{1,1}(2\sigma _{1}^{2}+\sigma _{1,1})\\&=27\sigma _{2,2}\,,\end{aligned}}}$

Usando el hecho de que

${\displaystyle \sigma _{1,1}\cdot \sigma _{1}^{2}=\sigma _{2,1}\sigma _{1}=\sigma _{2,2}}$y ${\displaystyle \sigma _{1,1}\cdot \sigma _{1,1}=\sigma _{2,2}.}$

Como es la clase superior, la integral es entonces ${\displaystyle \sigma _{2,2}}$

${\displaystyle \int _{\mathbb {G} (1,3)}27\sigma _{2,2}=27.}$

Por lo tanto, hay líneas en una superficie cúbica. ${\displaystyle 27}$

Véase también

• Geometría enumerativa
• Anillo de Chow
• Teoría de la intersección
• Grassmaniano
• La fórmula de Giambelli
• La fórmula de Pieri
• Clase Chern
• Quintic triple
• Conjetura de simetría especular

Referencias

1. Kleiman, SL ; Laksov, Dan (1972). "Cálculo de Schubert". American Mathematical Monthly . 79 (10). Sociedad Matemática Americana: 1061–1082. doi :10.1080/00029890.1972.11993188. ISSN  0377-9017.
2. Fulton, William (1997). Young Tableaux. Con aplicaciones a la teoría de la representación y la geometría, cap. 9.4 . Textos para estudiantes de la London Mathematical Society. Vol. 35. Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press. doi :10.1017/CBO9780511626241. ISBN 9780521567244.
3. Fulton, William (1998). Teoría de la intersección . Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-98549-7.Señor 1644323  .
4. 3264 y todo eso (PDF) . págs. 132, sección 4.1, 200, sección 6.2.1.
5. Fulton, William (1997). Young Tableaux. Con aplicaciones a la teoría de la representación y la geometría, cap. 5. Textos para estudiantes de la London Mathematical Society. Vol. 35. Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press. doi :10.1017/CBO9780511626241. ISBN 9780521567244.
6. Katz, Sheldon . Geometría enumerativa y teoría de cuerdas . pág. 96.

• Notas de la escuela de verano http://homepages.math.uic.edu/~coskun/poland.html
• Phillip Griffiths y Joseph Harris (1978), Principios de geometría algebraica , Capítulo 1.5
• Kleiman, Steven (1976). "Fundamentos rigurosos del cálculo enumerativo de Schubert". En Felix E. Browder (ed.). Desarrollos matemáticos derivados de los problemas de Hilbert . Actas de simposios sobre matemáticas puras . Vol. XXVIII.2. Sociedad Matemática Americana . págs. 445–482. ISBN. 0-8218-1428-1.
• Steven Kleiman y Dan Laksov (1972). "Cálculo de Schubert" (PDF) . American Mathematical Monthly . 79 : 1061–1082. doi :10.2307/2317421.
• Sottile, Frank (2001) [1994], "Cálculo de Schubert", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• David Eisenbud y Joseph Harris (2016), "3264 y todo eso: un segundo curso de geometría algebraica".
• Fulton, William (1997). Young Tableaux. Con aplicaciones a la teoría de la representación y la geometría, capítulos 5 y 9.4 . Textos para estudiantes de la London Mathematical Society. Vol. 35. Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press. doi :10.1017/CBO9780511626241. ISBN . 9780521567244.
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