Una computadora cuántica topológica es una computadora cuántica teórica propuesta por el físico ruso-estadounidense Alexei Kitaev en 1997. [1] Emplea cuasipartículas en sistemas bidimensionales, llamados anyons , cuyas líneas mundiales pasan entre sí para formar trenzas en un sistema tridimensional. espacio-tiempo (es decir, una dimensión temporal más dos espaciales). Estas trenzas forman las puertas lógicas que forman la computadora. La ventaja de una computadora cuántica basada en trenzas cuánticas frente al uso de partículas cuánticas atrapadas es que la primera es mucho más estable. Pequeñas perturbaciones acumulativas pueden hacer que los estados cuánticos se decoheran e introduzcan errores en el cálculo, pero esas pequeñas perturbaciones no cambian las propiedades topológicas de las trenzas . Esto es como el esfuerzo requerido para cortar una cuerda y volver a unir los extremos para formar una trenza diferente, a diferencia del esfuerzo requerido por una bola (que representa una partícula cuántica ordinaria en un espacio-tiempo de cuatro dimensiones) que choca contra una pared.
Si bien los elementos de una computadora cuántica topológica se originan en un ámbito puramente matemático, los experimentos en sistemas Hall cuánticos fraccionarios indican que estos elementos pueden crearse en el mundo real utilizando semiconductores hechos de arseniuro de galio a una temperatura cercana al cero absoluto y sujetos a fuertes campos magnéticos. .
Los Anyons son cuasipartículas en un espacio bidimensional. Los anyones no son ni fermiones ni bosones , pero al igual que los fermiones, no pueden ocupar el mismo estado. Por lo tanto, las líneas mundiales de dos anyons no pueden cruzarse ni fusionarse, lo que permite que sus caminos formen trenzas estables en el espacio-tiempo. Los anyones pueden formarse a partir de excitaciones en un gas de electrones bidimensional frío en un campo magnético muy fuerte y transportar unidades fraccionarias de flujo magnético. Este fenómeno se denomina efecto Hall cuántico fraccionario . En los sistemas de laboratorio típicos, el gas de electrones ocupa una delgada capa semiconductora intercalada entre capas de arseniuro de aluminio y galio.
Cuando se trenzan anyons, la transformación del estado cuántico del sistema depende únicamente de la clase topológica de las trayectorias de los anyons (que se clasifican según el grupo trenzado ). Por tanto, la información cuántica que se almacena en el estado del sistema es inmune a pequeños errores en las trayectorias. [2] En 2005, Sankar Das Sarma , Michael Freedman y Chetan Nayak propusieron un dispositivo Hall cuántico que realizaría un qubit topológico. En 2005, Vladimir J. Goldman, Fernando E. Camino y Wei Zhou [3] afirmaron haber creado y observado la primera evidencia experimental del uso de un efecto Hall cuántico fraccional para crear anyons reales, aunque otros han sugerido que sus resultados podrían ser el producto. de fenómenos que no involucran a nadie. Los anyons no abelianos , una especie necesaria para las computadoras cuánticas topológicas, aún no se han confirmado experimentalmente. Se han encontrado posibles pruebas experimentales, [4] pero las conclusiones siguen siendo controvertidas. [5] En 2018, los científicos afirmaron nuevamente haber aislado las partículas de Majorana requeridas, pero el hallazgo se retractó en 2021. La revista Quanta declaró en 2021 que "nadie ha demostrado de manera convincente la existencia de ni siquiera una sola cuasipartícula (de modo cero de Majorana)". ", [6] aunque en 2023 un nuevo artículo [7] de la revista cubrió algunas preimpresiones de Google [8] y Quantinuum [9] que afirmaban la realización de anyons no abelianos en procesadores cuánticos, el primero utilizó un código tórico con los defectos de torsión como una degeneración topológica (o defecto topológico ), mientras que el segundo utilizó un protocolo diferente pero relacionado, los cuales pueden entenderse como estados ligados de Majorana en la corrección de errores cuánticos .
Las computadoras cuánticas topológicas son equivalentes en poder computacional a otros modelos estándar de computación cuántica, en particular al modelo de circuito cuántico y al modelo de máquina cuántica de Turing . [10] Es decir, cualquiera de estos modelos puede simular eficientemente cualquiera de los demás. No obstante, ciertos algoritmos pueden adaptarse más naturalmente al modelo topológico de computadora cuántica. Por ejemplo, los algoritmos para evaluar el polinomio de Jones se desarrollaron por primera vez en el modelo topológico y sólo más tarde se convirtieron y ampliaron en el modelo de circuito cuántico estándar.
Para hacer honor a su nombre, una computadora cuántica topológica debe proporcionar las propiedades de cálculo únicas que promete un diseño de computadora cuántica convencional, que utiliza partículas cuánticas atrapadas. En 2000, Michael H. Freedman , Alexei Kitaev , Michael J. Larsen y Zhenghan Wang demostraron que una computadora cuántica topológica puede, en principio, realizar cualquier cálculo que una computadora cuántica convencional pueda realizar, y viceversa. [10] [11] [12]
Descubrieron que un dispositivo informático cuántico convencional, si sus circuitos lógicos funcionan sin errores, dará una solución con un nivel absoluto de precisión, mientras que un dispositivo informático cuántico topológico con un funcionamiento impecable dará la solución con sólo un nivel finito de precisión. exactitud. Sin embargo, se puede obtener cualquier nivel de precisión para la respuesta agregando más giros trenzados (circuitos lógicos) a la computadora cuántica topológica, en una relación lineal simple. En otras palabras, un aumento razonable de elementos (giros de trenza) puede lograr un alto grado de precisión en la respuesta. El cálculo real [las puertas] se realiza mediante los estados de borde de un efecto Hall cuántico fraccionario. Esto hace que los modelos de anyons unidimensionales sean importantes. En una dimensión espacial, los cualquiera se definen algebraicamente.
Aunque las trenzas cuánticas son inherentemente más estables que las partículas cuánticas atrapadas, todavía existe la necesidad de controlar las fluctuaciones térmicas que inducen errores, que producen pares aleatorios de anyones que interfieren con las trenzas contiguas. Controlar estos errores es simplemente una cuestión de separar los anyons a una distancia en la que la tasa de interferencias desviadas caiga casi a cero. Simular la dinámica de una computadora cuántica topológica puede ser un método prometedor para implementar computación cuántica tolerante a fallas incluso con un esquema de procesamiento de información cuántica estándar. Raussendorf, Harrington y Goyal han estudiado un modelo y han obtenido resultados de simulación prometedores. [13]
Uno de los ejemplos destacados de la computación cuántica topológica es el sistema de anones de Fibonacci. Un Anyon de Fibonacci ha sido descrito como "una partícula emergente con la propiedad de que a medida que se agregan más partículas al sistema, el número de estados cuánticos crece como la secuencia de Fibonacci, 1, 2, 3, 5, 8, etc." . 14] En el contexto de la teoría de campos conforme, los anones de Fibonacci se describen mediante el modelo de Yang-Lee, el caso especial SU(2) de la teoría de Chern-Simons y los modelos de Wess-Zumino-Witten . [15] Estos anyons se pueden utilizar para crear puertas genéricas para la computación cuántica topológica. Hay tres pasos principales para crear un modelo:
Los Anyons de Fibonacci se definen por tres cualidades:
La última regla de 'fusión' se puede extender a un sistema de tres cualquiera:
Por lo tanto, fusionar tres anyons producirá un estado final de carga total en dos formas, o una carga de exactamente una manera. Usamos tres estados para definir nuestra base. [16] Sin embargo, debido a que deseamos codificar estos tres estados anyon como superposiciones de 0 y 1, necesitamos limitar la base a un espacio de Hilbert bidimensional. Por lo tanto, consideramos sólo dos estados con una carga total de . Esta elección es puramente fenomenológica. En estos estados, agrupamos los dos anyons más a la izquierda en un "grupo de control" y dejamos el más a la derecha como un "anyon no computacional". Clasificamos un estado como aquel en el que el grupo de control tiene una carga "fusionada" total de , y un estado de tiene un grupo de control con una carga "fusionada" total de . Para obtener una descripción más completa, consulte Nayak. [dieciséis]
Siguiendo las ideas anteriores, trenzar adiabáticamente estos anyons entre sí dará como resultado una transformación unitaria. Estos operadores trenzados son el resultado de dos subclases de operadores:
La matriz R puede considerarse conceptualmente como la fase topológica que se imparte a los anyons durante el trenzado. A medida que los anyons se enrollan entre sí, adquieren cierta fase debido al efecto Aharonov-Bohm .
La matriz F es el resultado de las rotaciones físicas de los anyons. Mientras se entrelazan entre sí, es importante darse cuenta de que los dos últimos anyons (el grupo de control) seguirán distinguiendo el estado del qubit. Por lo tanto, trenzar los anyons cambiará cuáles están en el grupo de control y, por lo tanto, cambiará la base. Evaluamos los anyons fusionando siempre el grupo de control (los anyons inferiores) primero, por lo que intercambiar cuáles son estos hará rotar el sistema. Debido a que estos anyons no son abelianos , el orden de los anyons (cuáles están dentro del grupo de control) importará y, como tal, transformarán el sistema.
El operador trenzado completo se puede derivar como:
Para construir matemáticamente los operadores F y R , podemos considerar permutaciones de estos operadores F y R. Sabemos que si cambiamos secuencialmente la base sobre la que operamos, esto eventualmente nos llevará de regreso a la misma base. De manera similar, sabemos que si trenzamos a alguien entre sí un cierto número de veces, esto nos llevará de nuevo al mismo estado. Estos axiomas se denominan axiomas pentagonales y hexagonales respectivamente, ya que la operación se puede visualizar con un pentágono/hexágono de transformaciones de estado. Aunque son matemáticamente difíciles, [17] estos pueden abordarse visualmente con mucho más éxito.
Con estos operadores de trenzas, finalmente podemos formalizar la noción de trenzas en términos de cómo actúan en nuestro espacio de Hilbert y construyen puertas cuánticas universales arbitrarias. [18]
Simon y otros han desarrollado teorías elaboradas que utilizan anyons como plataforma para computadoras cuánticas. Los pares de cuasipartículas podrían codificar información en su memoria sobre cómo se han dado vueltas entre sí. Y como la estadística fraccionaria es "topológica" (depende del número de veces que un objeto rodeó a otro, y no de ligeros cambios en su trayectoria), no se ve afectada por pequeñas perturbaciones. Esta robustez podría hacer que las computadoras cuánticas topológicas sean más fáciles de escalar que las tecnologías de computación cuántica actuales, que son propensas a errores.
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