Un sistema de numeración senario ( / ˈ s iː n ər i , ˈ s ɛ n ər i / ) (también conocido como base 6 , hexamérico o seximal ) tiene seis como base . Ha sido adoptado independientemente por un pequeño número de culturas. Al igual que la base decimal 10, la base es semiprima , aunque es única como el producto de los únicos dos números consecutivos que son primos (2 y 3). Como seis es un número altamente compuesto superior , muchos de los argumentos esgrimidos a favor del sistema duodecimal también se aplican al sistema senario.
El conjunto estándar de dígitos en el sistema senario es , con el orden lineal . Sea el cierre de Kleene de , donde es la operación de concatenación de cadenas para . El sistema de numeración senario para números naturales es el conjunto cociente equipado con un orden shortlex , donde la clase de equivalencia es . Como tiene un orden shortlex, es isomorfo a los números naturales .
Expresados en senario, todos los números primos, excepto 2 y 3, tienen como dígito final 1 o 5. En senario, los números primos se escriben:
Es decir, para cada número primo p mayor que 3, se tienen las relaciones aritméticas modulares de que p ≡ 1 o 5 (mod 6) (es decir, 6 divide a p − 1 o p − 5); el dígito final es un 1 o un 5. Esto se demuestra por contradicción.
Para cualquier entero n :
Además, dado que los cuatro primos más pequeños (2, 3, 5, 7) son divisores o vecinos de 6, senary tiene pruebas de divisibilidad simples para muchos números.
Además, todos los números perfectos pares excepto 6 tienen 44 como los dos últimos dígitos cuando se expresan en senario, lo que se demuestra por el hecho de que todo número perfecto par tiene la forma 2 p – 1 (2 p – 1) , donde 2 p − 1 es primo.
Senary es también el mayor número base r que no tiene totales distintos de 1 y r − 1, lo que hace que su tabla de multiplicación sea muy regular para su tamaño, lo que minimiza la cantidad de esfuerzo necesario para memorizarla. Esta propiedad maximiza la probabilidad de que el resultado de una multiplicación de números enteros termine en cero, dado que ninguno de sus factores lo hace.
Si un número es divisible por 2, entonces el dígito final de ese número, cuando se expresa en senarios, es 0, 2 o 4. Si un número es divisible por 3, entonces el dígito final de ese número en senarios es 0 o 3. Un número es divisible por 4 si su penúltimo dígito es impar y su dígito final es 2, o su penúltimo dígito es par y su dígito final es 0 o 4. Un número es divisible por 5 si la suma de sus dígitos senarios es divisible por 5 (el equivalente a sacar nueves en decimal). Si un número es divisible por 6, entonces el dígito final de ese número es 0. Para determinar si un número es divisible por 7, uno puede sumar sus dígitos alternos y restar esas sumas; si el resultado es divisible por 7, el número es divisible por 7, similar a la prueba de divisibilidad "11" en decimal.
Como seis es el producto de los dos primeros números primos y es adyacente a los dos números primos siguientes, muchas fracciones senarias tienen representaciones simples:
Se puede decir que cada mano humana normal tiene seis posiciones inequívocas: un puño, un dedo extendido, dos, tres, cuatro y luego los cinco dedos extendidos.
Si se utiliza la mano derecha para representar una unidad (0 a 5) y la izquierda para representar los múltiplos de 6, entonces es posible que una persona represente los valores de cero a 55 senarios (35 decimales ) con sus dedos, en lugar de los diez habituales que se obtienen en el conteo estándar de dedos. Por ejemplo, si se extienden tres dedos en la mano izquierda y cuatro en la derecha, se representan 34 senarios . Esto es equivalente a 3 × 6 + 4 , que es 22 decimales .
Además, este método es la forma menos abstracta de contar con dos manos, lo que refleja el concepto de notación posicional , ya que el movimiento de una posición a la siguiente se realiza cambiando de una mano a otra. Si bien la mayoría de las culturas desarrolladas cuentan con los dedos hasta 5 de manera muy similar, más allá de 5, las culturas no occidentales se desvían de los métodos occidentales, como con los gestos numéricos chinos . Como el conteo con dedos senarios también se desvía solo más allá de 5, este método de conteo rivaliza en simplicidad con los métodos de conteo tradicionales, un hecho que puede tener implicaciones para la enseñanza de la notación posicional a estudiantes jóvenes.
La elección de la mano que se utiliza para los seises y de las unidades depende de la preferencia del contador; sin embargo, desde la perspectiva del contador, el uso de la mano izquierda como dígito más significativo se correlaciona con la representación escrita del mismo número senario. Dar la vuelta a la mano de los seises puede ayudar a aclarar mejor qué mano representa los seises y cuál representa las unidades. Sin embargo, la desventaja del conteo senario es que, sin un acuerdo previo, las dos partes no podrían utilizar este sistema, al no estar seguras de qué mano representa los seises y cuál representa las unidades, mientras que el conteo basado en decimales (en el que los números a partir del 5 se expresan con la palma abierta y dedos adicionales) es esencialmente un sistema unario que solo requiere que la otra parte cuente la cantidad de dedos extendidos.
En el baloncesto de la NCAA , los números de uniforme de los jugadores están restringidos a ser números senatoriales de dos dígitos como máximo, para que los árbitros puedan señalar qué jugador cometió una infracción utilizando este sistema de conteo con los dedos. [1]
Los sistemas de conteo de dedos más abstractos , como el chisanbop o el binario de dedos , permiten contar hasta 99, 1023 o incluso más dependiendo del método (aunque no necesariamente de naturaleza senaria). El monje e historiador inglés Beda , describió en el primer capítulo de su obra De temporum ratione , (725), titulada " Tractatus de computo, vel loquela per gestum digitorum ", un sistema que permitía contar hasta 9.999 con las dos manos. [2] [3]
A pesar de la rareza de las culturas que agrupan grandes cantidades por 6, una revisión del desarrollo de los sistemas numéricos sugiere un umbral de numerosidad en 6 (posiblemente conceptualizado como "entero", "puño" o "más allá de cinco dedos" [4] ), con 1-6 siendo a menudo formas puras, y numerales a partir de entonces construidos o tomados prestados. [5]
Se informa que el idioma Ndom de la Nueva Guinea indonesia tiene numerales senarios. [6] [7] Mer significa 6, mer an thef significa 6 × 2 = 12, nif significa 36 y nif thef significa 36 × 2 = 72.
Otro ejemplo de Papúa Nueva Guinea son las lenguas ñame . En estas lenguas, el conteo está conectado con el conteo ritualizado del ñame. Estas lenguas cuentan a partir de una base de seis, empleando palabras para las potencias de seis; llegando hasta 6 6 para algunas de las lenguas. Un ejemplo es el komnzo con los siguientes numerales: nibo (6 1 ), fta (6 2 [36]), taruba (6 3 [216]), damno (6 4 [1296]), wärämäkä (6 5 [7776]), wi (6 6 [46656]).
Se ha informado que algunas lenguas nigero-congolesas utilizan un sistema numérico senario, generalmente además de otro, como el decimal o el vigesimal . [5]
También se ha sospechado que el proto-urálico tenía numerales senarios, y que más tarde se tomó prestado un numeral para 7, aunque la evidencia de construcción de numerales más grandes (8 y 9) de manera sustractiva a partir de diez sugiere que esto puede no ser así. [5]
Para algunos propósitos, el senario puede ser una base demasiado pequeña para su conveniencia. Esto se puede solucionar utilizando su base cuadrada 36 (hexatrigesimal), ya que entonces la conversión se facilita simplemente haciendo los siguientes reemplazos:
Por lo tanto, el número de base 36 3ARK 36 es igual al número senario 3144332 6 . En decimal, es 153.920.
La elección de 36 como base resulta conveniente porque los dígitos se pueden representar mediante los números arábigos del 0 al 9 y las letras latinas de la A a la Z; esta elección es la base del esquema de codificación base36 . El efecto de compresión de que 36 sea el cuadrado de 6 hace que muchos patrones y representaciones sean más cortos en base 36:
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