Mapas abiertos y cerrados

Una función que envía subconjuntos abiertos (o cerrados) a subconjuntos abiertos (o cerrados)

En matemáticas , más específicamente en topología , una función abierta es una función entre dos espacios topológicos que asigna conjuntos abiertos a conjuntos abiertos. ^{[1] [2] [3]} Es decir, una función es abierta si para cualquier conjunto abierto en la imagen es abierto en Del mismo modo, una función cerrada es una función que asigna conjuntos cerrados a conjuntos cerrados. ^{[3] [4]} Una función puede ser abierta, cerrada, ambas o ninguna; ^[5] en particular, una función abierta no necesita ser cerrada y viceversa. ^[6] ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle f(U)}$ ${\displaystyle Y.}$

Las funciones abiertas ^[7] y cerradas ^[8] no son necesariamente continuas . ^[4] Además, la continuidad es independiente de la apertura y el cierre en el caso general y una función continua puede tener una, ambas o ninguna propiedad; ^[3] este hecho sigue siendo cierto incluso si uno se restringe a los espacios métricos. ^[9] Aunque sus definiciones parecen más naturales, las funciones abiertas y cerradas son mucho menos importantes que las funciones continuas. Recordemos que, por definición, una función es continua si la preimagen de cada conjunto abierto de es abierta en ^[2] (Equivalentemente, si la preimagen de cada conjunto cerrado de es cerrada en ). ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$

Los primeros estudios de mapas abiertos fueron iniciados por Simion Stoilow y Gordon Thomas Whyburn . ^[10]

Definiciones y caracterizaciones

Si es un subconjunto de un espacio topológico, entonces sea y (resp. ) la clausura (resp. interior ) de en ese espacio. Sea una función entre espacios topológicos . Si es cualquier conjunto, entonces se llama imagen de bajo ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\overline {S}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Cl} S}$ ${\displaystyle \operatorname {Int} S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f(S):=\left\{f(s)~:~s\in S\cap \operatorname {domain} f\right\}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f.}$

Definiciones en competencia

Existen dos definiciones diferentes, que compiten entre sí, pero que están estrechamente relacionadas, de " mapa abierto " y que se utilizan ampliamente. Ambas definiciones se pueden resumir así: "es un mapa que envía conjuntos abiertos a conjuntos abiertos". A veces se utiliza la siguiente terminología para distinguir entre las dos definiciones.

Un mapa se llama ${\displaystyle f:X\to Y}$

• " Mapa fuertemente abierto " si siempre que es un subconjunto abierto del dominio entonces es un subconjunto abierto del codominio de ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f(U)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Y.}$
• "Mapa relativamente abierto "si siempre quees un subconjunto abierto del dominioentonceses un subconjunto abierto delaimagende donde como es habitual, este conjunto está dotado de latopología de subespacioinducida en él porel codominio de^[11] ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f(U)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} f:=f(X),}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Y.}$

Toda aplicación fuertemente abierta es una aplicación relativamente abierta. Sin embargo, estas definiciones no son equivalentes en general.

Advertencia : Muchos autores definen "mapa abierto" como " mapa relativamente abierto" (por ejemplo, The Encyclopedia of Mathematics), mientras que otros definen "mapa abierto" como " mapa fuertemente abierto". En general, estas definiciones no son equivalentes, por lo que es recomendable verificar siempre qué definición de "mapa abierto" utiliza un autor.

Una función sobreyectiva es relativamente abierta si y solo si es fuertemente abierta; por lo tanto, para este importante caso especial, las definiciones son equivalentes. En términos más generales, una función es relativamente abierta si y solo si la sobreyección es una función fuertemente abierta. ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f:X\to f(X)}$

Porque siempre es un subconjunto abierto de la imagen de una función fuertemente abierta debe ser un subconjunto abierto de su codominio. De hecho, una función relativamente abierta es una función fuertemente abierta si y sólo si su imagen es un subconjunto abierto de su codominio. En resumen, ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle f(X)=\operatorname {Im} f}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle Y.}$

Un mapa es fuertemente abierto si y sólo si es relativamente abierto y su imagen es un subconjunto abierto de su codominio.

Al utilizar esta caracterización, a menudo resulta sencillo aplicar resultados que involucran una de estas dos definiciones de "mapa abierto" a una situación que involucra la otra definición.

La discusión anterior también se aplicará a los mapas cerrados si cada instancia de la palabra "abierto" se reemplaza por la palabra "cerrado".

Mapas abiertos

Un mapa se llama ${\displaystyle f:X\to Y}$abrir mapa o unmapa fuertemente abierto si satisface alguna de las siguientes condiciones equivalentes:

1. Definición: mapea subconjuntos abiertos de su dominio a subconjuntos abiertos de su codominio; es decir, para cualquier subconjunto abierto de , es un subconjunto abierto de ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f(U)}$ ${\displaystyle Y.}$
2. ${\displaystyle f:X\to Y}$es un mapa relativamente abierto y su imagen es un subconjunto abierto de su codominio ${\displaystyle \operatorname {Im} f:=f(X)}$ ${\displaystyle Y.}$
3. Para cada vecindario de (por pequeño que sea), es un vecindario de . Podemos reemplazar la primera o ambas instancias de la palabra "vecindario" por "vecindario abierto" en esta condición y el resultado seguirá siendo una condición equivalente: ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(N)}$ ${\displaystyle f(x)}$
   • Para cada barrio abierto de , es un barrio de . ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(N)}$ ${\displaystyle f(x)}$
   • Para cada barrio abierto de , es un barrio abierto de . ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(N)}$ ${\displaystyle f(x)}$
4. ${\displaystyle f\left(\operatorname {Int} _{X}A\right)\subseteq \operatorname {Int} _{Y}(f(A))}$para todos los subconjuntos de donde denota el interior topológico del conjunto. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \operatorname {Int} }$
5. Siempre que sea un subconjunto cerrado de entonces el conjunto es un subconjunto cerrado de ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left\{y\in Y~:~f^{-1}(y)\subseteq C\right\}}$ ${\displaystyle Y.}$
   • Esto es una consecuencia de la identidad que se cumple para todos los subconjuntos. ${\displaystyle f(X\setminus R)=Y\setminus \left\{y\in Y:f^{-1}(y)\subseteq R\right\},}$ ${\displaystyle R\subseteq X.}$

Si es una base para entonces se puede añadir lo siguiente a esta lista: ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$

6. ${\displaystyle f}$asigna conjuntos abiertos básicos a conjuntos abiertos en su codominio (es decir, para cualquier conjunto abierto básico es un subconjunto abierto de ). ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle f(B)}$ ${\displaystyle Y}$

Mapas cerrados

Un mapa se llama ${\displaystyle f:X\to Y}$mapa relativamente cerrado si siempre quees unsubconjunto cerradodel dominioentonceses un subconjunto cerrado delaimagende donde como es habitual, este conjunto está dotado de latopología de subespacioinducida en él porel codominiode ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f(C)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} f:=f(X),}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Y.}$

Un mapa se llama ${\displaystyle f:X\to Y}$mapa cerrado o unmapa fuertemente cerrado si satisface alguna de las siguientes condiciones equivalentes:

1. Definición: asigna subconjuntos cerrados de su dominio a subconjuntos cerrados de su codominio; es decir, para cualquier subconjunto cerrado de es un subconjunto cerrado de ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle f(C)}$ ${\displaystyle Y.}$
2. ${\displaystyle f:X\to Y}$es un mapa relativamente cerrado y su imagen es un subconjunto cerrado de su codominio ${\displaystyle \operatorname {Im} f:=f(X)}$ ${\displaystyle Y.}$
3. ${\displaystyle {\overline {f(A)}}\subseteq f\left({\overline {A}}\right)}$para cada subconjunto ${\displaystyle A\subseteq X.}$
4. ${\displaystyle {\overline {f(C)}}\subseteq f(C)}$para cada subconjunto cerrado ${\displaystyle C\subseteq X.}$
5. ${\displaystyle {\overline {f(C)}}=f(C)}$para cada subconjunto cerrado ${\displaystyle C\subseteq X.}$
6. Siempre que sea un subconjunto abierto de entonces el conjunto es un subconjunto abierto de ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left\{y\in Y~:~f^{-1}(y)\subseteq U\right\}}$ ${\displaystyle Y.}$
7. Si es una red en y es un punto tal que en entonces converge en al conjunto ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle f\left(x_{\bullet }\right)\to y}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f^{-1}(y).}$
   • La convergencia significa que cada subconjunto abierto de ese conjunto contendrá para todos los índices suficientemente grandes. ${\displaystyle x_{\bullet }\to f^{-1}(y)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f^{-1}(y)}$ ${\displaystyle x_{j}}$ ${\displaystyle j.}$

Una función sobreyectiva es fuertemente cerrada si y solo si es relativamente cerrada. Por lo tanto, para este importante caso especial, las dos definiciones son equivalentes. Por definición, la función es una función relativamente cerrada si y solo si la sobreyectiva es una función fuertemente cerrada. ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f:X\to \operatorname {Im} f}$

Si en la definición de " mapa continuo " de un conjunto abierto (que es el enunciado: "toda preimagen de un conjunto abierto es abierta"), ambas instancias de la palabra "abierto" se reemplazan por "cerrado", entonces el enunciado de resultados ("toda preimagen de un conjunto cerrado es cerrada") es equivalente a la continuidad. Esto no sucede con la definición de "mapa abierto" (que es: "toda imagen de un conjunto abierto es abierta") ya que el enunciado de resultados ("toda imagen de un conjunto cerrado es cerrada") es la definición de "mapa cerrado", que en general no es equivalente a la apertura. Existen morfismos abiertos que no son cerrados y también existen morfismos cerrados que no son abiertos. Esta diferencia entre morfismo abierto/cerrado y morfismo continuo se debe en última instancia al hecho de que para cualquier conjunto sólo se garantiza en general, mientras que para las preimágenes, la igualdad siempre se cumple. ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle f(X\setminus S)\supseteq f(X)\setminus f(S)}$ ${\displaystyle f^{-1}(Y\setminus S)=f^{-1}(Y)\setminus f^{-1}(S)}$

Ejemplos

La función definida por es continua, cerrada y relativamente abierta, pero no (fuertemente) abierta. Esto se debe a que si es cualquier intervalo abierto en el dominio de que no contiene a entonces donde este intervalo abierto es un subconjunto abierto de ambos y Sin embargo, si es cualquier intervalo abierto en que contiene a entonces que no es un subconjunto abierto del codominio de pero es un subconjunto abierto de Debido a que el conjunto de todos los intervalos abiertos en es una base para la topología euclidiana en esto muestra que es relativamente abierto pero no (fuertemente) abierto. ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ ${\displaystyle U=(a,b)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle f(U)=(\min\{a^{2},b^{2}\},\max\{a^{2},b^{2}\}),}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \operatorname {Im} f:=f(\mathbb {R} )=[0,\infty ).}$ ${\displaystyle U=(a,b)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle f(U)=[0,\max\{a^{2},b^{2}\}),}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \operatorname {Im} f=[0,\infty ).}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

Si tiene la topología discreta (es decir, todos los subconjuntos son abiertos y cerrados), entonces cada función es abierta y cerrada (pero no necesariamente continua). Por ejemplo, la función de suelo de a es abierta y cerrada, pero no continua. Este ejemplo muestra que la imagen de un espacio conexo bajo una función abierta o cerrada no necesita ser conexa. ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Siempre que tenemos un producto de espacios topológicos, las proyecciones naturales son abiertas ^{[12] [13]} (así como continuas). Dado que las proyecciones de haces de fibras y de funciones de recubrimiento son proyecciones locales naturales de productos, también son funciones abiertas. Sin embargo, las proyecciones no necesitan ser cerradas. Consideremos, por ejemplo, la proyección sobre el primer componente; entonces, el conjunto está cerrado en pero no está cerrado en Sin embargo, para un espacio compacto, la proyección está cerrada. Este es esencialmente el lema del tubo . ${\textstyle X=\prod X_{i},}$ ${\displaystyle p_{i}:X\to X_{i}}$ ${\displaystyle p_{1}:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle A=\{(x,1/x):x\neq 0\}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2},}$ ${\displaystyle p_{1}(A)=\mathbb {R} \setminus \{0\}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle X\times Y\to X}$

A cada punto del círculo unitario podemos asociar el ángulo del eje positivo con el rayo que une el punto con el origen. Esta función del círculo unitario al intervalo semiabierto [0,2π) es biyectiva, abierta y cerrada, pero no continua. Muestra que la imagen de un espacio compacto bajo una función abierta o cerrada no necesita ser compacta. Nótese también que si consideramos esto como una función del círculo unitario a los números reales, entonces no es ni abierta ni cerrada. Especificar el codominio es esencial. ${\displaystyle x}$

Condiciones suficientes

Todo homeomorfismo es abierto, cerrado y continuo. De hecho, una función continua biyectiva es un homeomorfismo si y solo si es abierta, o equivalentemente, si y solo si es cerrada.

La composición de dos mapas (fuertemente) abiertos es un mapa abierto y la composición de dos mapas (fuertemente) cerrados es un mapa cerrado. ^{[14] [15]} Sin embargo, la composición de dos mapas relativamente abiertos no necesita ser relativamente abierta y, de manera similar, la composición de dos mapas relativamente cerrados no necesita ser relativamente cerrada. Si es fuertemente abierto (respectivamente, fuertemente cerrado) y es relativamente abierto (respectivamente, relativamente cerrado), entonces es relativamente abierto (respectivamente, relativamente cerrado). ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle g:Y\to Z}$ ${\displaystyle g\circ f:X\to Z}$

Sea una función. Dado cualquier subconjunto si es una función relativamente abierta (respectivamente, relativamente cerrada, fuertemente abierta, fuertemente cerrada, continua, sobreyectiva ), entonces lo mismo es cierto de su restricción al subconjunto -saturado . ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle T\subseteq Y,}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ $${\displaystyle f{\big \vert }_{f^{-1}(T)}~:~f^{-1}(T)\to T}$$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{-1}(T).}$

La suma categórica de dos mapas abiertos es abierta, o la de dos mapas cerrados es cerrada. ^[15] El producto categórico de dos mapas abiertos es abierto, sin embargo, el producto categórico de dos mapas cerrados no necesita ser cerrado. ^{[14] [15]}

Una función biyectiva es abierta si y solo si es cerrada. La inversa de una función biyectiva continua es una función biyectiva abierta/cerrada (y viceversa). Una función sobreyectiva abierta no es necesariamente una función cerrada y, de la misma manera, una función sobreyectiva cerrada no es necesariamente una función abierta. Todos los homeomorfismos locales , incluidos todos los gráficos de coordenadas en variedades y todas las funciones de recubrimiento , son funciones abiertas.

Lema de mapa cerrado  :  toda función continua desde un espacio compacto a un espacio de Hausdorff es cerrada y propia (lo que significa que las preimágenes de conjuntos compactos son compactas). ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Una variante del lema del mapa cerrado establece que si una función continua entre espacios de Hausdorff localmente compactos es propia, entonces también es cerrada.

En el análisis complejo , el teorema de aplicación abierta, que lleva el mismo nombre, establece que toda función holomorfa no constante definida en un subconjunto abierto conexo del plano complejo es una aplicación abierta.

El teorema de invariancia del dominio establece que una función continua y localmente inyectiva entre variedades topológicas bidimensionales debe ser abierta. ${\displaystyle n}$

Invariancia del dominio  —  Sies un subconjunto abierto deyes una función continua inyectiva , entonceses abierto enyes un homeomorfismo entrey ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle V:=f(U)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V.}$

En el análisis funcional , el teorema de aplicación abierta establece que todo operador lineal continuo sobreyectivo entre espacios de Banach es una aplicación abierta. Este teorema se ha generalizado a espacios vectoriales topológicos más allá de los espacios de Banach.

Una aplicación sobreyectiva se llama aplicación casi abierta. ${\displaystyle f:X\to Y}$Si para cada uno existe algo tal que es un ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle x\in f^{-1}(y)}$ ${\displaystyle x}$punto de apertura parael cual por definición significa que para cada entorno abiertodees unentornodeen(nótese queno se requiere que el entorno sea unabierto). Toda función abierta sobreyectiva es una función casi abierta pero en general, la inversa no es necesariamente cierta. Si una función abierta sobreyectivaes una función casi abierta entonces será una función abierta si satisface la siguiente condición (una condición que nodependeen modo alguno dela topología de): ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle f(U)}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f(U)}$ ${\displaystyle f:(X,\tau )\to (Y,\sigma )}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \sigma }$

siempre que pertenezcan a la misma fibra de (es decir, ) entonces para cada vecindad de existe alguna vecindad de tal que ${\displaystyle m,n\in X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(m)=f(n)}$ ${\displaystyle U\in \tau }$ ${\displaystyle m,}$ ${\displaystyle V\in \tau }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle F(V)\subseteq F(U).}$

Si la función es continua, entonces también es necesaria la condición anterior para que la función sea abierta. Es decir, si es una sobreyección continua, entonces es una función abierta si y solo si es casi abierta y satisface la condición anterior. ${\displaystyle f:X\to Y}$

Propiedades

Mapas abiertos o cerrados que son continuos

Si es un mapa continuo que también está abierto o cerrado entonces: ${\displaystyle f:X\to Y}$

• Si es una sobreyección entonces es una función cociente e incluso una función cociente hereditaria , ${\displaystyle f}$
  • Una aplicación sobreyectiva se llama hereditariamente cociente si para cada subconjunto la restricción es una aplicación cociente. ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle T\subseteq Y,}$ ${\displaystyle f{\big \vert }_{f^{-1}(T)}~:~f^{-1}(T)\to T}$
• Si es una inyección entonces es una incrustación topológica . ${\displaystyle f}$
• Si es una biyección entonces es un homeomorfismo . ${\displaystyle f}$

En los dos primeros casos, la apertura o el cierre son simplemente una condición suficiente para la conclusión que se sigue. En el tercer caso, también son necesarios .

Abrir mapas continuos

Si es un mapa continuo (fuertemente) abierto, y entonces: ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle A\subseteq X,}$ ${\displaystyle S\subseteq Y,}$

• ${\displaystyle f^{-1}\left(\operatorname {Bd} _{Y}S\right)=\operatorname {Bd} _{X}\left(f^{-1}(S)\right)}$donde denota el límite de un conjunto. ${\displaystyle \operatorname {Bd} }$
• ${\displaystyle f^{-1}\left({\overline {S}}\right)={\overline {f^{-1}(S)}}}$donde denotan el cierre de un conjunto. ${\displaystyle {\overline {S}}}$
• Si donde denota el interior de un conjunto, entonces donde este conjunto es también necesariamente un conjunto regular cerrado (en ). ^{[nota 1]} En particular, si es un conjunto regular cerrado entonces también lo es Y si es un conjunto regular abierto entonces también lo es ${\displaystyle {\overline {A}}={\overline {\operatorname {Int} _{X}A}},}$ ${\displaystyle \operatorname {Int} }$ $${\displaystyle {\overline {\operatorname {Int} _{Y}f(A)}}={\overline {f(A)}}={\overline {f\left(\operatorname {Int} _{X}A\right)}}={\overline {f\left({\overline {\operatorname {Int} _{X}A}}\right)}}}$$ ${\displaystyle {\overline {f(A)}}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\overline {f(A)}}.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle Y\setminus {\overline {f(X\setminus A)}}.}$
• Si la función abierta continua también es sobreyectiva, entonces y además, es un subconjunto regular abierto (resp. un regular cerrado) ^{[nota 1]} de si y solo si es un subconjunto regular abierto (resp. un regular cerrado) de ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle \operatorname {Int} _{X}f^{-1}(S)=f^{-1}\left(\operatorname {Int} _{Y}S\right)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f^{-1}(S)}$ ${\displaystyle X.}$
• Si una red converge en un punto y si la función abierta continua es sobreyectiva, entonces para cualquier existe una red en (indexada por algún conjunto dirigido ) tal que en y es una subred de Además, el conjunto de indexación puede tomarse como con el orden del producto donde es cualquier base de vecindad de dirigida por ^{[nota 2]} ${\displaystyle y_{\bullet }=\left(y_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle x\in f^{-1}(y)}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x_{\bullet }\to x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f\left(x_{\bullet }\right):=\left(f\left(x_{a}\right)\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle y_{\bullet }.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A:=I\times {\mathcal {N}}_{x}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{x}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \,\supseteq .\,}$

Véase también

• Mapa casi abierto  – Mapa que satisface una condición similar a la de ser un mapa abierto.
• Grafo cerrado  – Gráfica de un mapa cerrado en el espacio del productoPages displaying short descriptions of redirect targets
• Operador lineal cerrado
• Homeomorfismo local  – Función matemática reversible cerca de cada punto
• Mapa cuasi-abierto  – Función que asigna conjuntos abiertos no vacíos a conjuntos que tienen un interior no vacío en su codominio
• Mapa de cocientes (topología)  – Construcción del espacio topológicoPages displaying short descriptions of redirect targets
• Mapa perfecto  – Mapa sobreyectivo cerrado continuo, cada una de cuyas fibras son también conjuntos compactos
• Mapa propio  – Mapa entre espacios topológicos con la propiedad de que la preimagen de cada compacto es compacto
• Mapa de cobertura de secuencias

Notas

1. Un subconjunto se llama ${\displaystyle S\subseteq X}$conjunto cerrado regular sio equivalentemente, sidonde(resp.) denota ellímite topológico(resp.interior,clausura) deenEl conjuntose llama ${\displaystyle {\overline {\operatorname {Int} S}}=S}$ ${\displaystyle \operatorname {Bd} \left(\operatorname {Int} S\right)=\operatorname {Bd} S,}$ ${\displaystyle \operatorname {Bd} S}$ ${\displaystyle \operatorname {Int} S,}$ ${\displaystyle {\overline {S}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle S}$conjunto abierto regular sio equivalentemente, siEl interior (tomado en) de un subconjunto cerrado dees siempre un subconjunto abierto regular deLa clausura (tomada en) de un subconjunto abierto dees siempre un subconjunto cerrado regular de ${\displaystyle \operatorname {Int} \left({\overline {S}}\right)=S}$ ${\displaystyle \operatorname {Bd} \left({\overline {S}}\right)=\operatorname {Bd} S.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
2. Explícitamente, para cualquier elección, se elige cualquier tal que y luego se deja arbitrario. La asignación define un morfismo de orden tal que es un subconjunto cofinal de por lo tanto es una subred de Willard de ${\displaystyle a:=(i,U)\in A:=I\times {\mathcal {N}}_{x},}$ ${\displaystyle h_{a}\in I}$ ${\displaystyle i\leq h_{a}{\text{ and }}y_{h_{a}}\in f(U)}$ ${\displaystyle x_{a}\in U\cap f^{-1}\left(y_{h_{a}}\right)}$ ${\displaystyle a\mapsto h_{a}}$ ${\displaystyle h:A\to I}$ ${\displaystyle h(A)}$ ${\displaystyle I;}$ ${\displaystyle f\left(x_{\bullet }\right)}$ ${\displaystyle y_{\bullet }.}$

Citas

1. Munkres, James R. (2000). Topología (2.ª ed.). Prentice Hall . ISBN 0-13-181629-2.
2. Mendelson, Bert (1990) [1975]. Introducción a la topología (tercera edición). Dover. pág. 89. ISBN 0-486-66352-3Es importante recordar que el Teorema 5.3 dice que una función es continua si y sólo si la imagen inversa de cada conjunto abierto es abierta. Esta caracterización de continuidad no debe confundirse con otra propiedad que una función puede o no poseer, la propiedad de que la imagen de cada conjunto abierto es un conjunto abierto (tales funciones se denominan funciones abiertas ). ${\displaystyle f}$
3. Lee, John M. (2003). Introducción a las variedades suaves . Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 218. Springer Science & Business Media. pág. 550. ISBN 9780387954486Se dice que un mapa (continuo o no) es un mapa abierto si para cada subconjunto cerrado es abierto en y un mapa cerrado si para cada subconjunto cerrado es cerrado en Los mapas continuos pueden ser abiertos, cerrados, ambos o ninguno, como se puede ver al examinar ejemplos simples que involucran subconjuntos del plano. ${\displaystyle F:X\to Y}$ ${\displaystyle U\subseteq X,}$ ${\displaystyle F(U)}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle K\subseteq U,}$ ${\displaystyle F(K)}$ ${\displaystyle Y.}$
4. Ludu, Andrei (15 de enero de 2012). Ondas no lineales y solitones en contornos y superficies cerradas . Springer Series in Synergetics. p. 15. ISBN 9783642228940Una función abierta es una función entre dos espacios topológicos que asigna conjuntos abiertos a conjuntos abiertos. Asimismo, una función cerrada es una función que asigna conjuntos cerrados a conjuntos cerrados. Las funciones abiertas o cerradas no son necesariamente continuas.
5. Sohrab, Houshang H. (2003). Análisis real básico. Springer Science & Business Media. pág. 203. ISBN 9780817642112Ahora estamos listos para nuestros ejemplos que muestran que una función puede ser abierta sin ser cerrada o cerrada sin ser abierta. Además, una función puede ser abierta y cerrada simultáneamente o ni abierta ni cerrada.(La afirmación citada se da en el contexto de espacios métricos, pero como los espacios topológicos surgen como generalizaciones de espacios métricos, la afirmación también es válida allí).
6. Naber, Gregory L. (2012). Métodos topológicos en espacios euclidianos . Dover Books on Mathematics (edición reimpresa). Courier Corporation. pág. 18. ISBN. 9780486153445Ejercicio 1-19. Muestre que la función de proyección π ₁ : X ₁ × ··· × X _k → X _i es una función abierta, pero no necesariamente cerrada. Pista: La proyección de R ² sobre no es cerrada. De manera similar, una función cerrada no necesariamente debe ser abierta, ya que cualquier función constante es cerrada. Sin embargo, para funciones que son biunívocas y sobre, los conceptos de "abierta" y "cerrada" son equivalentes. ${\displaystyle \pi _{i}:X_{i}\times \cdots \times X_{k}\to X_{i}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$
7. Mendelson, Bert (1990) [1975]. Introducción a la topología (tercera edición). Dover. pág. 89. ISBN 0-486-66352-3Hay muchas situaciones en las que una función tiene la propiedad de que para cada subconjunto abierto del conjunto es un subconjunto abierto de y, sin embargo, no es continua . ${\displaystyle f:\left(X,\tau \right)\to \left(Y,\tau '\right)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle f(A)}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle f}$
8. Boos, Johann (2000). Métodos clásicos y modernos de sumabilidad. Oxford University Press. pág. 332. ISBN 0-19-850165-XAhora bien , surge la pregunta de si la última afirmación es cierta en general, es decir, si las funciones cerradas son continuas. Esto no es así en general, como lo demuestra el siguiente ejemplo.
9. Kubrusly, Carlos S. (2011). Los elementos de la teoría de operadores . Springer Science & Business Media. pág. 115. ISBN 9780817649982En general, un mapa de un espacio métrico en un espacio métrico puede poseer cualquier combinación de los atributos 'continuo', 'abierto' y 'cerrado' (es decir, son conceptos independientes). ${\displaystyle F:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$
10. Hart, KP; Nagata, J.; Vaughan, JE, eds. (2004). Enciclopedia de Topología General . Elsevier. pag. 86.ISBN​ 0-444-50355-2Parece que el estudio de los mapas abiertos (interiores) comenzó con los artículos [13,14] de S. Stoïlow . Claramente, la apertura de los mapas fue estudiada en profundidad por primera vez por GT Whyburn [19,20].
11. Narici y Beckenstein 2011, págs. 225–273.
12. Willard, Stephen (1970). Topología general . Addison-Wesley. ISBN 0486131785.
13. Lee, John M. (2012). Introducción a las variedades suaves. Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 218 (segunda edición). pág. 606. doi :10.1007/978-1-4419-9982-5. ISBN 978-1-4419-9982-5Ejercicio A.32. Supóngase que son espacios topológicos. Demuestre que cada proyección es una función abierta. ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{k}}$ ${\displaystyle \pi _{i}:X_{1}\times \cdots \times X_{k}\to X_{i}}$
14. Baues, Hans-Joachim; Quintero, Antonio (2001). Teoría de la homotopía infinita . K -Monografías en Matemáticas. vol. 6. pág. 53.ISBN​ 9780792369820Un compuesto de mapas abiertos es abierto y un compuesto de mapas cerrados es cerrado. Además, un producto de mapas abiertos es abierto. Por el contrario, un producto de mapas cerrados no es necesariamente cerrado, ...
15. James, IM (1984). Topología general y teoría de homotopía . Springer-Verlag. pág. 49. ISBN 9781461382836...recordemos que la composición de las funciones abiertas es abierta y la composición de las funciones cerradas es cerrada. También que la suma de las funciones abiertas es abierta y la suma de las funciones cerradas es cerrada. Sin embargo, el producto de las funciones cerradas no es necesariamente cerrado, aunque el producto de las funciones abiertas sí lo sea .

Referencias

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• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . Vol. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer New York Imprenta Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0.OCLC 840278135  .
• Trèves, François (2006) [1967]. Espacios vectoriales topológicos, distribuciones y núcleos . Mineola, Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-45352-1.OCLC 853623322  .