Conjunto saturado

En matemáticas , particularmente en los subcampos de la teoría de conjuntos y la topología , se dice que un conjunto está saturado con respecto a una función si es un subconjunto del dominio de y si siempre que envía dos puntos y al mismo valor entonces pertenece a (es decir, si entonces ). Dicho de manera más sucinta, el conjunto se llama saturado si ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle c\in C}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle f(x)=f(c)}$ ${\displaystyle x\in C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C=f^{-1}(f(C)).}$

En topología , un subconjunto de un espacio topológico está saturado si es igual a una intersección de subconjuntos abiertos de En un espacio T 1 todo conjunto está saturado. ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle X.}$

Definición

Preliminares

Sea un mapa. Dado un subconjunto cualquiera, definamos su imagen como el conjunto: y definamos su preimagen o imagen inversa como el conjunto: ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle S\subseteq X,}$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle f(S):=\{f(s)~:~s\in S\}}$$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle f^{-1}(S):=\{x\in X~:~f(x)\in S\}.}$$

Dada la fibra de arriba se define como la preimagen: ${\displaystyle y\in Y,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle y}$ $${\displaystyle f^{-1}(y):=f^{-1}(\{y\})=\{x\in X~:~f(x)=y\}.}$$

Cualquier preimagen de un único punto en el codominio de se denomina fibra de ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f.}$

Conjuntos saturados

Un conjunto se denomina -saturado y se dice que está saturado con respecto a si es un subconjunto del dominio de y si se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes: ^[1] ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle C=f^{-1}(f(C)).}$
2. Existe un conjunto tal que ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle C=f^{-1}(S).}$
   • Cualquier conjunto de este tipo contiene necesariamente un subconjunto y, además, también satisfará necesariamente la igualdad donde denota la imagen de ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f(C)}$ ${\displaystyle f(C)=S\cap \operatorname {Im} f,}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} f:=f(X)}$ ${\displaystyle f.}$
3. Si y satisfacen entonces ${\displaystyle c\in C}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle f(x)=f(c),}$ ${\displaystyle x\in C.}$
4. Si es tal que la fibra se interseca (es decir, si ), entonces toda esta fibra es necesariamente un subconjunto de (es decir, ). ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle f^{-1}(y)}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle f^{-1}(y)\cap C\neq \varnothing }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle f^{-1}(y)\subseteq C}$
5. Para cada intersección es igual al conjunto vacío o a ${\displaystyle y\in Y,}$ ${\displaystyle C\cap f^{-1}(y)}$ ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle f^{-1}(y).}$

En relación con la teoría de la computabilidad , esta noción se puede extender a los programas. Aquí, considerando un subconjunto , este se puede considerar saturado (o extensional ) si . En palabras, dados dos programas, si el primer programa está en el conjunto de programas que satisfacen la propiedad y dos programas están calculando lo mismo, entonces también el segundo programa satisface la propiedad. Esto significa que si un programa con una determinada propiedad está en el conjunto, todos los programas que calculan la misma función también deben estar en el conjunto). ${\displaystyle A\subseteq \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \forall m,n\in \mathbb {N} ,m\in A,\vee \phi _{m}=\phi _{n}\Rightarrow n\in A}$

En este contexto, esta noción puede extender el teorema de Rice , afirmando que:

Sea un subconjunto tal que . Si está saturado, entonces no es recursivo. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A\neq \emptyset ,A\neq \mathbb {N} ,A\subseteq N}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

Ejemplos

Sea una función cualquiera. Si es un conjunto cualquiera , entonces su preimagen es necesariamente un conjunto saturado. En particular, cada fibra de una función es un conjunto saturado. ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle C:=f^{-1}(S)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

El conjunto vacío y el dominio siempre están saturados. Las uniones arbitrarias de conjuntos saturados están saturadas, al igual que las intersecciones arbitrarias de conjuntos saturados. ${\displaystyle \varnothing =f^{-1}(\varnothing )}$ ${\displaystyle X=f^{-1}(Y)}$

Propiedades

Sean y conjuntos cualesquiera y sea cualquier función. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$

Si o está -saturado entonces ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle f(S\cap T)~=~f(S)\cap f(T).}$$

Si está -saturado entonces donde tenga en cuenta, en particular, que no se impusieron requisitos ni condiciones al conjunto ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle f(S\setminus T)~=~f(S)\setminus f(T)}$$ ${\displaystyle S.}$

Si es una topología en y es cualquier mapa entonces el conjunto de todos los que son subconjuntos saturados de forma una topología en Si es también un espacio topológico entonces es continuo (respectivamente, un mapa cociente ) si y solo si lo mismo es cierto para ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle \tau _{f}}$ ${\displaystyle U\in \tau }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:(X,\tau )\to Y}$ ${\displaystyle f:\left(X,\tau _{f}\right)\to Y.}$

Véase también

• Lista de identidades y relaciones de conjuntos  – Igualdades para combinaciones de conjuntos

Referencias

1. Monje 1969, págs. 24–54.

• G. Gierz; K. Hofmann; K. Keimel; J. D. Lawson; M. Mislove y DS Scott (2003). "Redes y dominios continuos" . Enciclopedia de matemáticas y sus aplicaciones . Vol. 93. Cambridge University Press. ISBN 0-521-80338-1.
• Monk, James Donald (1969). Introducción a la teoría de conjuntos (PDF) . Serie internacional de matemáticas puras y aplicadas. Nueva York: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-042715-0.OCLC  1102 .
• Munkres, James R. (2000). Topología (segunda edición). Upper Saddle River, NJ : Prentice Hall, Inc. ISBN 978-0-13-181629-9.OCLC 42683260  .