En la teoría de anillos , una rama de las matemáticas , un anillo R es un anillo de identidad polinomial si existe, para algún N > 0, un elemento P ≠ 0 del álgebra libre , Z ⟨ X 1 , X 2 , ..., X N ⟩ , sobre el anillo de números enteros en N variables X 1 , X 2 , ..., X N tal que
![{\displaystyle P(r_{1},r_{2},\ldots,r_{N})=0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
para todas las N - tuplas r 1 , r 2 , ..., r N tomadas de R .
Estrictamente, los X i aquí son "indeterminados no conmutativos", por lo que "identidad polinómica" es un ligero abuso del lenguaje , ya que "polinomio" aquí significa lo que generalmente se llama "polinomio no conmutativo". La abreviatura PI-ring es común. De manera más general, se puede utilizar el álgebra libre sobre cualquier anillo S y proporciona el concepto de álgebra PI .
Si el grado del polinomio P se define de la forma habitual, el polinomio P se llama mónico si al menos uno de sus términos de mayor grado tiene un coeficiente igual a 1.
Cada anillo conmutativo es un anillo PI, que satisface la identidad polinómica XY − YX = 0. Por lo tanto, los anillos PI generalmente se toman como generalizaciones cercanas de los anillos conmutativos . Si el anillo tiene una característica p diferente de cero, entonces satisface la identidad polinómica pX = 0. Para excluir tales ejemplos, a veces se define que los anillos PI deben satisfacer una identidad polinómica mónica. [1]
Ejemplos
![{\ Displaystyle P (X_ {1}, X_ {2}) = X_ {1} X_ {2}-X_ {2} X_ {1} = 0 ~}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- El anillo de matrices 2 × 2 sobre un anillo conmutativo satisface la identidad de Hall
![{\displaystyle (xy-yx)^{2}z=z(xy-yx)^{2}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Esta identidad fue utilizada por M. Hall (1943), pero fue encontrada antes por Wagner (1937).
- En la teoría juega un papel importante la identidad estándar s N , de longitud N , que generaliza el ejemplo dado para los anillos conmutativos ( N = 2). Se deriva de la fórmula de Leibniz para los determinantes.
![{\displaystyle \det(A)=\sum _{\sigma \in S_{N}}\operatorname {sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^{N}a_{i,\sigma ( i)}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- reemplazando cada producto en la suma por el producto de X i en el orden dado por la permutación σ. En otras palabras, cada uno de los N ! Los pedidos se suman y el coeficiente es 1 o −1 según la firma .
![{\displaystyle s_{N}(X_{1},\ldots ,X_{N})=\sum _{\sigma \in S_{N}}\operatorname {sgn}(\sigma )X_{\sigma (1 )}\dotsm X_{\sigma (N)}=0~}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- El anillo de matriz m × m sobre cualquier anillo conmutativo satisface una identidad estándar: el teorema de Amitsur-Levitzki establece que satisface s 2 m . El grado de esta identidad es óptimo ya que el anillo de la matriz no puede satisfacer ningún polinomio mónico de grado menor que 2 m .
- mi yo mi j = - mi j mi yo .
- Este anillo no satisface s N para ningún N y, por lo tanto, no puede incrustarse en ningún anillo de matriz. De hecho s N ( mi 1 , mi 2 ,..., mi N ) = N ! e 1 e 2 ... e N ≠ 0. Por otro lado es un anillo PI ya que satisface [[ x , y ], z ] := xyz − yxz − zxy + zyx = 0. Basta con verifique esto para monomios en e i 's. Ahora bien, un monomio de grado par conmuta con cada elemento. Por lo tanto, si x o y es un monomio de grado par [ x , y ] := xy − yx = 0. Si ambos son de grado impar entonces [ x , y ] = xy − yx = 2 xy tiene grado par y por lo tanto conmuta con z , es decir, [[ x , y ], z ] = 0.
Propiedades
- Cualquier subanillo o imagen homomórfica de un anillo PI es un anillo PI.
- Un producto directo finito de los anillos PI es un anillo PI.
- Un producto directo de los anillos PI, que satisfacen la misma identidad, es un anillo PI.
- Siempre se puede suponer que la identidad que satisface el anillo PI es multilineal .
- Si un anillo es generado finitamente por n elementos como un módulo sobre su centro , entonces satisface cada polinomio multilineal alterno de grado mayor que n . En particular, satisface s N para N > n y por lo tanto es un anillo PI.
- Si R y S son anillos PI, entonces su producto tensor sobre los números enteros , también es un anillo PI.
![{\displaystyle R\otimes _ {\mathbb {Z} }S}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Si R es un anillo PI, entonces también lo es el anillo de matrices n × n con coeficientes en R.
Anillos PI como generalizaciones de anillos conmutativos
Entre los anillos no conmutativos, los anillos PI satisfacen la conjetura de Köthe . Las álgebras PI afines sobre un campo satisfacen la conjetura de Kurosh , el Nullstellensatz y la propiedad catenaria para ideales primos .
Si R es un anillo PI y K es un subanillo de su centro de modo que R es integral sobre K, entonces se satisfacen las propiedades de ascenso y descenso de los ideales primos de R y K. Además, se satisfacen la propiedad de superposición (si p es un ideal primo de K , entonces hay un ideal primo P de R tal que es mínimo sobre ) y la propiedad de incomparabilidad (si P y Q son ideales primos de R y entonces ).![{\displaystyle p}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle P\cap K}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle P\subconjunto Q}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle P\cap K\subconjunto Q\cap K}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
El conjunto de identidades que satisface un anillo PI
Si F := Z ⟨ X 1 , X 2 , ..., X N ⟩ es el álgebra libre en N variables y R es un anillo PI que satisface el polinomio P en N variables, entonces P está en el núcleo de cualquier homomorfismo
: FR .
Un ideal I de F se llama T-ideal si para cada endomorfismo f de F .
Dado un anillo PI, R , el conjunto de todas las identidades polinomiales que satisface es un ideal pero aún más es un T-ideal. Por el contrario, si I es un T-ideal de F , entonces F / I es un anillo PI que satisface todas las identidades en I. Se supone que I contiene polinomios mónicos cuando se requieren anillos PI para satisfacer identidades de polinomios mónicos.
Ver también
Referencias
- Latyshev, VN (2001) [1994], "PI-álgebra", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- Formanek, E. (2001) [1994], "Teorema de Amitsur-Levitzki", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- Identidades polinomiales en la teoría de anillos, Louis Halle Rowen, Academic Press, 1980, ISBN 978-0-12-599850-5
- Anillos de identidad polinomiales, Vesselin S. Drensky, Edward Formanek, Birkhäuser, 2004, ISBN 978-3-7643-7126-5
- Identidades polinómicas y métodos asintóticos, A. Giambruno, Mikhail Zaicev, Librería AMS, 2005, ISBN 978-0-8218-3829-7
- Aspectos computacionales de las identidades polinómicas, Alexei Kanel-Belov, Louis Halle Rowen, AK Peters Ltd., 2005, ISBN 978-1-56881-163-5
Lectura adicional
- Formanek, Edward (1991). Las identidades polinómicas y las invariantes de matrices n × n . Serie de Conferencias Regionales en Matemáticas. vol. 78. Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense . ISBN 0-8218-0730-7. Zbl 0714.16001.
- Kanel-Belov, Alexei; Rowen, Luis Halle (2005). Aspectos computacionales de las identidades polinómicas . Notas de investigación en matemáticas. vol. 9. Wellesley, MA: AK Peters. ISBN 1-56881-163-2. Zbl 1076.16018.
Enlaces externos