Teorema de Amitsur-Levitzki

States that the algebra of n by n matrices satisfies a certain identity of degree 2n

En álgebra , el teorema de Amitsur-Levitzki establece que el álgebra de matrices n  ×  n sobre un anillo conmutativo satisface una cierta identidad de grado 2 n . Fue demostrado por Amitsur y Levitsky  (1950). En particular, los anillos de matrices son anillos de identidad polinómica tales que la identidad más pequeña que satisfacen tiene exactamente grado 2 n .

Declaración

El polinomio estándar de grado n es

${\displaystyle S_{n}(x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{\sigma \in S_{n}}{\text{sgn}}(\sigma )x_{\sigma (1)}\cdots x_{\sigma (n)}}$

en variables no conmutativas x ₁ , ..., x _n , donde la suma se toma sobre todos los n ! elementos del grupo simétrico S _n .

El teorema de Amitsur-Levitzki establece que para matrices n  ×  n A ₁ , ..., A _{2 n} cuyas entradas se toman de un anillo conmutativo entonces

${\displaystyle S_{2n}(A_{1},\dots ,A_{2n})=0.}$

Pruebas

Amitsur y Levitzki (1950) dieron la primera prueba.

Kostant (1958) dedujo el teorema de Amitsur-Levitzki a partir del teorema de Koszul-Samelson sobre la cohomología primitiva de las álgebras de Lie .

Swan (1963) y Swan (1969) dieron una prueba combinatoria simple como sigue. Por linealidad es suficiente probar el teorema cuando cada matriz tiene sólo una entrada distinta de cero, que es 1. En este caso cada matriz puede ser codificada como una arista dirigida de un grafo con n vértices. Así que todas las matrices juntas dan un grafo en n vértices con 2n aristas dirigidas. La identidad se mantiene siempre que para dos vértices A y B cualesquiera del grafo, el número de caminos eulerianos impares de A a B sea el mismo que el número de pares. (Aquí un camino se llama impar o par dependiendo de si sus aristas tomadas en orden dan una permutación impar o par de las 2n aristas .) Swan demostró que este era el caso siempre que el número de aristas en el grafo fuera al menos 2n , probando así el teorema de Amitsur-Levitzki.

Razmyslov (1974) dio una prueba relacionada con el teorema de Cayley-Hamilton .

Rosset (1976) dio una prueba corta utilizando el álgebra exterior de un espacio vectorial de dimensión 2 n .

Procesi (2015) dio otra prueba, mostrando que el teorema de Amitsur-Levitzki es la identidad de Cayley-Hamilton para la matriz genérica de Grassman.

Referencias

• Amitsur, AS ; Levitzki, Jakob (1950), "Identidades mínimas para álgebras" (PDF) , Actas de la American Mathematical Society , 1 (4): 449–463, doi : 10.1090/S0002-9939-1950-0036751-9 , ISSN  0002-9939, JSTOR  2032312, MR  0036751
• Amitsur, AS; Levitzki, Jakob (1951), "Observaciones sobre identidades mínimas para álgebras" (PDF) , Actas de la American Mathematical Society , 2 (2): 320–327, doi : 10.2307/2032509 , ISSN  0002-9939, JSTOR  2032509
• Formanek, E. (2001) [1994], "Teorema de Amitsur-Levitzki", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Formanek, Edward (1991), Las identidades polinómicas y los invariantes de matrices n × n , Regional Conference Series in Mathematics, vol. 78, Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 0-8218-0730-7, Zbl0714.16001 ​
• Kostant, Bertram (1958), "Un teorema de Frobenius, un teorema de Amitsur–Levitski y la teoría de la cohomología", J. Math. Mech. , 7 (2): 237–264, doi : 10.1512/iumj.1958.7.07019 , MR  0092755
• Razmyslov, Ju. P. (1974), "Identidades con traza en álgebras matriciales completas sobre un cuerpo de característica cero", Matemáticas de la URSS-Izvestia , 8 (4): 727, doi :10.1070/IM1974v008n04ABEH002126, ISSN  0373-2436, MR  0506414
• Rosset, Shmuel (1976), "Una nueva prueba de la identidad de Amitsur-Levitski", Israel Journal of Mathematics , 23 (2): 187–188, doi : 10.1007/BF02756797 , ISSN  0021-2172, MR  0401804, S2CID  121625182
• Swan, Richard G. (1963), "Una aplicación de la teoría de grafos al álgebra" (PDF) , Actas de la American Mathematical Society , 14 (3): 367–373, doi : 10.2307/2033801 , ISSN  0002-9939, JSTOR  2033801, MR  0149468
• Swan, Richard G. (1969), "Corrección de "Una aplicación de la teoría de grafos al álgebra"" (PDF) , Actas de la American Mathematical Society , 21 (2): 379–380, doi :10.2307/2037008, ISSN  0002-9939, JSTOR  2037008, MR  0255439
• Procesi, Claudio (2015), "Sobre el teorema de Amitsur—Levitzki", Israel Journal of Mathematics , 207 : 151–154, arXiv : 1308.2421 , Bibcode :2013arXiv1308.2421P, doi : 10.1007/s11856-014-1118-8