Anillo de identidad polinomial

En teoría de anillos , una rama de las matemáticas , un anillo R es un anillo identidad polinomial si existe, para algún N > 0, un elemento P ≠ 0 del álgebra libre , Z ⟨ X ₁ , X ₂ , ..., X _N ⟩ , sobre el anillo de números enteros en N variables X ₁ , X ₂ , ..., X _N tal que

${\displaystyle P(r_{1},r_{2},\ldots ,r_{N})=0}$

para todas las N - tuplas r ₁ , r ₂ , ..., r _N tomadas de R .

Estrictamente, las X _i son aquí "indeterminadas no conmutativas", por lo que "identidad polinómica" es un ligero abuso del lenguaje , ya que "polinomio" aquí representa lo que se suele llamar un "polinomio no conmutativo". La abreviatura PI-ring es común. De manera más general, se puede utilizar el álgebra libre sobre cualquier anillo S , y da el concepto de PI-álgebra .

Si el grado del polinomio P se define de la forma habitual, el polinomio P se llama mónico si al menos uno de sus términos de mayor grado tiene coeficiente igual a 1.

Todo anillo conmutativo es un anillo PI, que satisface la identidad polinómica XY − YX = 0. Por lo tanto, los anillos PI se toman generalmente como generalizaciones cercanas de los anillos conmutativos . Si el anillo tiene una característica p distinta de cero, entonces satisface la identidad polinómica pX = 0. Para excluir tales ejemplos, a veces se define que los anillos PI deben satisfacer una identidad polinómica mónica. ^[1]

Ejemplos

• Por ejemplo, si R es un anillo conmutativo es un anillo PI: esto es cierto con

${\displaystyle P(X_{1},X_{2})=X_{1}X_{2}-X_{2}X_{1}=0~}$

• El anillo de matrices 2 × 2 sobre un anillo conmutativo satisface la identidad de Hall

${\displaystyle (xy-yx)^{2}z=z(xy-yx)^{2}}$

Esta identidad fue utilizada por M. Hall (1943), pero fue encontrada antes por Wagner (1937).

• En la teoría, la identidad estándar s _N , de longitud N , que generaliza el ejemplo dado para anillos conmutativos ( N = 2 ) desempeña un papel importante . Se deriva de la fórmula de Leibniz para determinantes.

${\displaystyle \det(A)=\sum _{\sigma \in S_{N}}\operatorname {sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^{N}a_{i,\sigma (i)}}$

reemplazando cada producto del sumando por el producto de los X _i en el orden dado por la permutación σ. En otras palabras, se suma cada uno de los N  ! órdenes y el coeficiente es 1 o −1 según la signatura .

${\displaystyle s_{N}(X_{1},\ldots ,X_{N})=\sum _{\sigma \in S_{N}}\operatorname {sgn}(\sigma )X_{\sigma (1)}\dotsm X_{\sigma (N)}=0~}$

El anillo de matrices m  ×  m sobre cualquier anillo conmutativo satisface una identidad estándar: el teorema de Amitsur–Levitzki establece que satisface s _{2 m} . El grado de esta identidad es óptimo ya que el anillo de matrices no puede satisfacer ningún polinomio mónico de grado menor que 2 m .

• Dado un campo k de característica cero, tome R como el álgebra exterior sobre un espacio vectorial de dimensión infinita contable con base e ₁ , e ₂ , e ₃ , ... Entonces R es generado por los elementos de esta base y

e _i  e _j = −  e _j  e _i .

Este anillo no satisface s _N para ningún N y por lo tanto no puede ser incluido en ningún anillo de matrices. De hecho s _N ( e ₁ , e ₂ ,..., e _N ) =  N  !  e ₁ e ₂ ... e _N  ≠ 0. Por otra parte es un anillo PI ya que satisface [[ x ,  y ],  z ] :=  xyz  −  yxz  −  zxy  +  zyx  = 0. Es suficiente comprobar esto para monomios en los e _i 's. Ahora, un monomio de grado par conmuta con cada elemento. Por lo tanto, si x o y es un monomio de grado par [ x ,  y ] :=  xy  −  yx  = 0. Si ambos son de grado impar , entonces [ x ,  y ] =  xy  −  yx  = 2 xy tiene grado par y por lo tanto conmuta con z , es decir, [[ x ,  y ],  z ] = 0.

Propiedades

• Cualquier subanillo o imagen homomórfica de un anillo PI es un anillo PI.
• Un producto directo finito de anillos PI es un anillo PI.
• Un producto directo de anillos PI, que satisface la misma identidad, es un anillo PI.
• Siempre se puede suponer que la identidad que satisface el anillo PI es multilineal .
• Si un anillo se genera finitamente con n elementos como módulo sobre su centro , entonces satisface todo polinomio multilineal alterno de grado mayor que n . En particular, satisface s _N para N  >  n y, por lo tanto, es un anillo PI.
• Si R y S son anillos PI, entonces su producto tensorial sobre los números enteros, , también es un anillo PI. ${\displaystyle R\otimes _{\mathbb {Z} }S}$
• Si R es un anillo PI, entonces también lo es el anillo de matrices n  ×  n con coeficientes en R.

Anillos PI como generalizaciones de anillos conmutativos

Entre los anillos no conmutativos, los PI-anillos satisfacen la conjetura de Köthe . Las PI-álgebras afines sobre un cuerpo satisfacen la conjetura de Kurosh , el Nullstellensatz y la propiedad catenaria para ideales primos .

Si R es un anillo PI y K es un subanillo de su centro tal que R es integral sobre K , entonces se satisfacen las propiedades ascendente y descendente para ideales primos de R y K. También se satisfacen la propiedad de estar sobre (si p es un ideal primo de K , entonces existe un ideal primo P de R tal que es mínimo sobre ) y la propiedad de incomparabilidad (si P y Q son ideales primos de R y entonces ). ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle P\cap K}$ ${\displaystyle P\subset Q}$ ${\displaystyle P\cap K\subset Q\cap K}$

El conjunto de identidades que satisface un anillo PI

Si F  :=  Z ⟨ X ₁ , X ₂ , ..., X _N ⟩ es el álgebra libre en N variables y R es un anillo PI que satisface el polinomio P en N variables, entonces P está en el núcleo de cualquier homomorfismo.

${\displaystyle \tau }$: F.R .​ ${\displaystyle \rightarrow }$

Un ideal I de F se llama T-ideal si para cada endomorfismo f de F . ${\displaystyle f(I)\subset I}$

Dado un anillo PI, R , el conjunto de todas las identidades polinómicas que satisface es un ideal , pero aún más, es un T-ideal. Por el contrario, si I es un T-ideal de F , entonces F / I es un anillo PI que satisface todas las identidades en I . Se supone que I contiene polinomios mónicos cuando se requieren anillos PI para satisfacer identidades polinómicas mónicas.

Véase también

• Teorema de Posner
• Polinomio central

Referencias

1. JC McConnell, JC Robson, Anillos noetherianos no conmutativos, Estudios de posgrado en matemáticas , vol. 30

• Latyshev, VN (2001) [1994], "Álgebra PI", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Formanek, E. (2001) [1994], "Teorema de Amitsur-Levitzki", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Identidades polinómicas en la teoría de anillos, Louis Halle Rowen, Academic Press, 1980, ISBN 978-0-12-599850-5 
• Anillos de identidad polinomiales, Vesselin S. Drensky, Edward Formanek, Birkhäuser, 2004, ISBN 978-3-7643-7126-5 
• Identidades polinómicas y métodos asintóticos, A. Giambruno, Mikhail Zaicev, AMS Bookstore, 2005, ISBN 978-0-8218-3829-7 
• Aspectos computacionales de identidades polinómicas, Alexei Kanel-Belov, Louis Halle Rowen, AK Peters Ltd., 2005, ISBN 978-1-56881-163-5 

Lectura adicional

• Formanek, Edward (1991). Identidades polinómicas e invariantes de matrices n × n . Serie de conferencias regionales sobre matemáticas. Vol. 78. Providence, RI: American Mathematical Society . ISBN. 0-8218-0730-7.Zbl 0714.16001  .
• Kanel-Belov, Alexei; Rowen, Louis Halle (2005). Aspectos computacionales de identidades polinómicas . Notas de investigación en matemáticas. Vol. 9. Wellesley, MA: AK Peters. ISBN 1-56881-163-2.Zbl 1076.16018  .

Enlaces externos

• Álgebra de identidad polinomial en PlanetMath .
• Identidad estándar en PlanetMath .
• T-ideal en PlanetMath .