Anillo total de fracciones

En álgebra abstracta , el anillo de cociente total ^[1] o anillo total de fracciones ^[2] es una construcción que generaliza la noción de cuerpo de fracciones de un dominio integral a anillos conmutativos R que pueden tener divisores de cero . La construcción incrusta R en un anillo más grande , dando a cada divisor no nulo de R un inverso en el anillo más grande. Si el homomorfismo de R al nuevo anillo debe ser inyectivo , no se puede dar un inverso a ningún otro elemento.

Definición

Sea un anillo conmutativo y sea el conjunto de elementos que no son divisores de cero en ; entonces es un conjunto multiplicativamente cerrado . Por lo tanto, podemos localizar el anillo en el conjunto para obtener el anillo de cociente total . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S^{-1}R=Q(R)}$

Si es un dominio , entonces y el anillo de cociente total es el mismo que el cuerpo de fracciones. Esto justifica la notación , que a veces también se utiliza para el cuerpo de fracciones, ya que no hay ambigüedad en el caso de un dominio. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S=R-\{0\}}$ ${\displaystyle Q(R)}$

Dado que en la construcción no hay divisores de cero, la función natural es inyectiva, por lo que el anillo de cociente total es una extensión de . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R\to Q(R)}$ ${\displaystyle R}$

Ejemplos

• Para un anillo producto A × B , el anillo cociente total Q ( A × B ) es el producto de los anillos cociente totales Q ( A ) × Q ( B ) . En particular, si A y B son dominios integrales, es el producto de cuerpos cocientes.

• Para el anillo de funciones holomorfas en un conjunto abierto D de números complejos , el anillo cociente total es el anillo de funciones meromorfas en D , incluso si D no está conexo .

• En un anillo artiniano , todos los elementos son unidades o divisores de cero. Por lo tanto, el conjunto de divisores distintos de cero es el grupo de unidades del anillo, , y por lo tanto . Pero como todos estos elementos ya tienen inversos, . ${\displaystyle R^{\times }}$ ${\displaystyle Q(R)=(R^{\times })^{-1}R}$ ${\displaystyle Q(R)=R}$

• En un anillo regular de von Neumann conmutativo R , sucede lo mismo. Supongamos que a en R no es divisor de cero. Entonces, en un anillo regular de von Neumann a  =  axa para algún x en R , dando la ecuación a ( xa  − 1) = 0. Como a no es divisor de cero, xa  = 1, lo que demuestra que a es una unidad. Aquí nuevamente, . ${\displaystyle Q(R)=R}$

• En geometría algebraica se considera un haz de anillos de cociente total en un esquema , y ​​esto puede usarse para dar la definición de un divisor de Cartier .

El anillo total de fracciones de un anillo reducido

Proposición  —  Sea A un anillo reducido que tiene sólo un número finito de ideales primos mínimos (por ejemplo, un anillo reducido noetheriano ). Entonces ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{1},\dots ,{\mathfrak {p}}_{r}}$

${\displaystyle Q(A)\simeq \prod _{i=1}^{r}Q(A/{\mathfrak {p}}_{i}).}$

Geométricamente, el esquema artiniano consiste (como un conjunto finito) en los puntos genéricos de los componentes irreducibles de . ${\displaystyle \operatorname {Spec} (Q(A))}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} (A)}$

Demostración: Cada elemento de Q ( A ) es una unidad o un divisor de cero. Por lo tanto, cualquier ideal propio I de Q ( A ) está contenido en el conjunto de divisores de cero de Q ( A ); ese conjunto es igual a la unión de los ideales primos mínimos ya que Q ( A ) se reduce . Por evitación de primos , I debe estar contenido en algún . Por lo tanto, los ideales son ideales máximos de Q ( A ). Además, su intersección es cero . Por lo tanto, por el teorema del resto chino aplicado a Q ( A ), ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}Q(A)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}Q(A)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}Q(A)}$

${\displaystyle Q(A)\simeq \prod _{i}Q(A)/{\mathfrak {p}}_{i}Q(A)}$.

Sea S el conjunto multiplicativamente cerrado de divisores no nulos de A. Por exactitud de localización,

${\displaystyle Q(A)/{\mathfrak {p}}_{i}Q(A)=A[S^{-1}]/{\mathfrak {p}}_{i}A[S^{-1}]=(A/{\mathfrak {p}}_{i})[S^{-1}]}$,

que ya es un campo y así debe ser . ${\displaystyle Q(A/{\mathfrak {p}}_{i})}$ ${\displaystyle \square }$

Generalización

Si es un anillo conmutativo y es cualquier conjunto multiplicativamente cerrado en , la localización aún puede construirse, pero el homomorfismo de anillo de a podría no ser inyectivo. Por ejemplo, si , entonces es el anillo trivial . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S^{-1}R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S^{-1}R}$ ${\displaystyle 0\in S}$ ${\displaystyle S^{-1}R}$

Citas

1. Matsumura 1980, pág. 12.
2. Matsumura 1989, pág. 21.

Referencias

• Matsumura, Hideyuki (1980), Álgebra conmutativa (2ª ed.), Benjamin/Cummings, ISBN 978-0-8053-7026-3, OCLC  988482880
• Matsumura, Hideyuki (1989), Teoría de anillos conmutativos , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-36764-6, OCLC  23133540