Expansión de la serie

Expresión de una función como suma infinita de funciones más simples

Una animación que muestra la función coseno que se aproxima mediante truncamientos sucesivos de su serie de Maclaurin .

En matemáticas , una expansión en serie es una técnica que expresa una función como una suma infinita, o serie , de funciones más simples. Es un método para calcular una función que no puede expresarse únicamente mediante operadores elementales (suma, resta, multiplicación y división). ^[1]

La denominada serie resultante a menudo se puede limitar a un número finito de términos, lo que produce una aproximación de la función. Cuantos menos términos de la secuencia se utilicen, más sencilla será esta aproximación. A menudo, la inexactitud resultante (es decir, la suma parcial de los términos omitidos) se puede describir mediante una ecuación que implica la notación Big O (véase también expansión asintótica ). La expansión de la serie en un intervalo abierto también será una aproximación para funciones no analíticas . ^{[2] [ verificación necesaria ]}

Tipos de expansiones de series

Hay varios tipos de expansiones de series, que se enumeran a continuación.

Serie de Taylor

Una serie de Taylor es una serie de potencias basada en las derivadas de una función en un único punto. ^[3] Más específicamente, si una función es infinitamente diferenciable alrededor de un punto , entonces la serie de Taylor de f alrededor de este punto está dada por ${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x_{0}}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(x_{0})}{n!}}(x-x_{0})^{n}}$

bajo la convención . ^{[3] [4]} La serie de Maclaurin de f es su serie de Taylor alrededor de . ^{[5] [4]} ${\displaystyle 0^{0}:=1}$ ${\displaystyle x_{0}=0}$

Serie Laurent

Una serie de Laurent es una generalización de la serie de Taylor, que permite términos con exponentes negativos; toma la forma y converge en un anillo . ^[6] En particular, una serie de Laurent se puede utilizar para examinar el comportamiento de una función compleja cerca de una singularidad considerando la expansión de la serie en un anillo centrado en la singularidad. ${\textstyle \sum _{k=-\infty }^{\infty }c_{k}(z-a)^{k}}$

Serie de Dirichlet

Convergencia y divergencia de las sumas parciales de la serie de Dirichlet que definen la función zeta de Riemann . Aquí, la línea amarilla representa las primeras cincuenta sumas parciales sucesivas, la línea de puntos magenta representa y el punto verde representa la variación de s de -0,5 a 1,5. ${\textstyle \sum _{n=1}^{k}n^{-s},}$ ${\displaystyle {\tfrac {n^{-s+1}}{-s+1}}+\zeta (s),}$ ${\displaystyle \zeta (s)}$

Una serie de Dirichlet general es una serie de la forma Un caso especial importante de esto es la serie de Dirichlet ordinaria ^[7] Utilizada en teoría de números . ^{[ cita requerida ]} ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}e^{-\lambda _{n}s}.}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}.}$

Serie de Fourier

Una serie de Fourier es una expansión de funciones periódicas como una suma de muchas funciones seno y coseno . ^[8] Más específicamente, la serie de Fourier de una función de período está dada por la expresión donde los coeficientes están dados por las fórmulas ^{[8] [9]} ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle 2L}$ $${\displaystyle a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }\left[a_{n}\cos \left({\frac {n\pi t}{L}}\right)+b_{n}\sin \left({\frac {n\pi t}{L}}\right)\right]}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}a_{n}&:={\frac {1}{L}}\int _{-L}^{L}f(t)\cos \left({\frac {n\pi t}{L}}\right)dt,\\b_{n}&:={\frac {1}{L}}\int _{-L}^{L}f(t)\sin \left({\frac {n\pi t}{L}}\right)dt.\end{aligned}}}$$

Otras series

• En acústica , por ejemplo, el tono fundamental y los armónicos juntos forman un ejemplo de una serie de Fourier. ^{[ cita requerida ]}

• Serie newtoniana ^{[ cita requerida ]}

• Polinomios de Legendre : se utilizan en física para describir un campo eléctrico arbitrario como una superposición de un campo dipolar , un campo cuadrupolar , un campo octupolar , etc. ^{[ cita requerida ]}

• Polinomios de Zernike : se utilizan en óptica para calcular las aberraciones de los sistemas ópticos. Cada término de la serie describe un tipo particular de aberración. ^{[ cita requerida ]}

El error relativo en una serie Stirling truncada en función de n , para 0 a 5 términos. Los puntos de quiebre en las curvas representan puntos donde la serie truncada coincide con ${\displaystyle \Gamma (n+1).}$

• La serie de Stirling es una aproximación de la función log-gamma . ^[10] $${\displaystyle {\text{Ln}}\Gamma \left(z\right)\sim \left(z-{\tfrac {1}{2}}\right)\ln z-z+{\tfrac {1}{2}}\ln \left(2\pi \right)+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{2k(2k-1)z^{2k-1}}}}$$

Ejemplos

La siguiente es la serie de Taylor de : ^{[11] [12]} ${\displaystyle e^{x}}$ $${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{6}}...}$$

La serie de Dirichlet de la función zeta de Riemann es ^[7] $${\displaystyle \zeta (s):=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}={\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{2^{s}}}+\cdots }$$

Referencias

1. "Series y expansiones". Matemáticas LibreTexts . 2013-11-07 . Consultado el 2021-12-24 .
2. Gil, Amparo; Segura, Javier; Temme, Nico M. (1 de enero de 2007). Métodos numéricos para funciones especiales. SIAM. ISBN 978-0-89871-782-2.
3. "Serie Taylor - Enciclopedia de Matemáticas". encyclopediaofmath.org . 27 de diciembre de 2013 . Consultado el 22 de marzo de 2022 .
4. Edwards, C. Henry; Penney, David E. (2008). Ecuaciones diferenciales elementales con problemas de valores en la frontera . Pearson/Prentice Hall. pág. 196. ISBN 978-0-13-600613-8.
5. Weisstein, Eric W. "Serie Maclaurin". mathworld.wolfram.com . Consultado el 22 de marzo de 2022 .
6. "Serie Laurent - Enciclopedia de Matemáticas". encyclopediaofmath.org . Consultado el 22 de marzo de 2022 .
7. «Serie de Dirichlet - Enciclopedia de Matemáticas». encyclopediaofmath.org . 26 de enero de 2022 . Consultado el 22 de marzo de 2022 .
8. "Serie de Fourier - Enciclopedia de Matemáticas". encyclopediaofmath.org . Consultado el 22 de marzo de 2022 .
9. Edwards, C. Henry; Penney, David E. (2008). Ecuaciones diferenciales elementales con problemas de valores en la frontera . Pearson/Prentice Hall. pp. 558, 564. ISBN 978-0-13-600613-8.
10. "DLMF: 5.11 Expansiones asintóticas". dlmf.nist.gov . Consultado el 22 de marzo de 2022 .
11. Weisstein, Eric W. "Función exponencial". mathworld.wolfram.com . Consultado el 12 de agosto de 2021 .
12. "Función exponencial - Enciclopedia de matemáticas". encyclopediaofmath.org . 5 de junio de 2020 . Consultado el 12 de agosto de 2021 .