Un sistema numérico senario ( / s iː n ər i , ˈ s ɛ n ər i / ) (también conocido como base - 6 , heximal o seximal ) tiene seis como base . Ha sido adoptado de forma independiente por un pequeño número de culturas. Al igual que el decimal , es semiprimo , aunque es único como producto de los dos únicos números consecutivos que son ambos primos (2 y 3). Como seis es un número superior altamente compuesto , muchos de los argumentos a favor del sistema duodecimal también se aplican al senario.
El conjunto estándar de dígitos en el senario viene dado por , con un orden lineal . Sea el cierre de Kleene de , donde está la operación de concatenación de cadenas para . El sistema numérico senario para números naturales es el conjunto cociente equipado con un orden shortlex , donde la clase de equivalencia es . Como tiene un orden shortlex, es isomorfo a los números naturales .
Cuando se expresa en senario, todos los números primos distintos de 2 y 3 tienen 1 o 5 como dígito final. En senario, los números primos se escriben:
Es decir, para cada número primo p mayor que 3, uno tiene las relaciones aritméticas modulares de que p ≡ 1 o 5 (mod 6) (es decir, 6 divide p − 1 o p − 5); el último dígito es un 1 o un 5. Esto se demuestra por contradicción.
Para cualquier número entero n :
Además, dado que los cuatro primos más pequeños (2, 3, 5, 7) son divisores o vecinos de 6, Senary tiene pruebas de divisibilidad simples para muchos números.
Además, todos los números pares perfectos excepto 6 tienen 44 como los dos últimos dígitos cuando se expresan en senarios, lo que se demuestra por el hecho de que cada número par perfecto tiene la forma 2 p – 1 (2 p – 1) , donde 2 p − 1 es primo.
Senario es también la base numérica r más grande que no tiene totales distintos de 1 y r − 1, lo que hace que su tabla de multiplicar sea muy regular para su tamaño, minimizando la cantidad de esfuerzo requerido para memorizar su tabla. Esta propiedad maximiza la probabilidad de que el resultado de una multiplicación de un número entero termine en cero, dado que ninguno de sus factores lo es.
Si un número es divisible por 2, entonces el dígito final de ese número, cuando se expresa en senario, es 0, 2 o 4. Si un número es divisible por 3, entonces el dígito final de ese número en senario es 0 o 3 Un número es divisible por 4 si su penúltimo dígito es impar y su último dígito es 2, o su penúltimo dígito es par y su último dígito es 0 o 4. Un número es divisible por 5 si la suma de sus dígitos senarios es divisible por 5 (el equivalente a sacar nueves en decimal). Si un número es divisible por 6, entonces el dígito final de ese número es 0. Para determinar si un número es divisible por 7, se pueden sumar sus dígitos alternos y restar esas sumas; si el resultado es divisible por 7, el número es divisible por 7, similar a la prueba de divisibilidad "11" en decimal.
Debido a que seis es el producto de los dos primeros números primos y es adyacente a los dos números primos siguientes, muchas fracciones senarias tienen representaciones simples:
Se puede decir que cada mano humana normal tiene seis posiciones inequívocas; un puño, un dedo extendido, dos, tres, cuatro y luego los cinco dedos extendidos.
Si se utiliza la mano derecha para representar una unidad y la izquierda para representar los "seis", es posible que una persona represente los valores de cero a 55 senarios (35 decimales ) con los dedos, en lugar de los diez habituales. en el conteo estándar con los dedos. por ejemplo, si se extienden tres dedos en la mano izquierda y cuatro en la derecha, se representa 34 senarios . Esto equivale a 3 × 6 + 4 , que es 22 decimales .
Además, este método es la forma menos abstracta de contar con las dos manos y refleja el concepto de notación posicional , ya que el movimiento de una posición a la siguiente se realiza cambiando de una mano a otra. Si bien la mayoría de las culturas desarrolladas cuentan con los dedos hasta 5 de manera muy similar, más allá de 5 las culturas no occidentales se desvían de los métodos occidentales, como los gestos numéricos chinos . Como el conteo de dedos senario también se desvía solo más allá de 5, este método de conteo rivaliza con la simplicidad de los métodos de conteo tradicionales, un hecho que puede tener implicaciones para la enseñanza de la notación posicional a estudiantes jóvenes.
Qué mano se utiliza para los 'seises' y qué unidades depende de la preferencia del contador; sin embargo, cuando se ve desde la perspectiva del contador, usar la mano izquierda como dígito más significativo se correlaciona con la representación escrita del mismo número senario. Voltear la mano de los "seis" hacia su parte posterior puede ayudar a aclarar aún más qué mano representa los "seis" y cuál representa las unidades. La desventaja del conteo senario, sin embargo, es que sin un acuerdo previo dos partes no podrían utilizar este sistema, al no estar seguras de qué mano representa seises y cuál representa unos, mientras que el conteo decimal (donde los números más allá de 5 se expresan mediante un conteo abierto) palma y dedos adicionales) al ser esencialmente un sistema unario , solo requiere que la otra parte cuente el número de dedos extendidos.
En el baloncesto de la NCAA , los números del uniforme de los jugadores están restringidos a ser números senarios de como máximo dos dígitos, de modo que los árbitros puedan señalar qué jugador cometió una infracción utilizando este sistema de conteo de dedos. [1]
Los sistemas de conteo de dedos más abstractos , como chisanbop o binario de dedos , permiten contar hasta 99, 1023 o incluso más dependiendo del método (aunque no necesariamente de naturaleza senaria). El monje e historiador inglés Beda , describió en el primer capítulo de su obra De temporum ratione , (725), titulado " Tractatus de computo, vel loquela per gestum digitorum ", un sistema que permitía contar hasta 9.999 con las dos manos. [2] [3]
A pesar de la rareza de las culturas que agrupan grandes cantidades en 6, una revisión del desarrollo de los sistemas numéricos sugiere un umbral de numerosidad en 6 (posiblemente conceptualizado como "completo", "puño" o "más allá de cinco dedos" [ 4] ) . , siendo del 1 al 6 a menudo formas puras y, a partir de entonces, los números se construyen o se toman prestados. [5]
Se informa que el idioma ndom de la Nueva Guinea indonesia tiene números senarios. [6] [7] Mer significa 6, mer an thef significa 6 × 2 = 12, nif significa 36 y nif thef significa 36 × 2 = 72.
Otro ejemplo de Papúa Nueva Guinea son las lenguas ñame . En estos idiomas, contar está relacionado con el conteo ritual de ñame. Estos idiomas cuentan desde una base seis, empleando palabras para las potencias de seis; corriendo hasta 6 6 para algunos de los idiomas. Un ejemplo es Komnzo con los siguientes números: nibo (6 1 ), fta (6 2 [36]), taruba (6 3 [216]), damno (6 4 [1296]), wärämäkä (6 5 [7776]) , wi (6 6 [46656]).
Se ha informado que algunas lenguas de Níger-Congo utilizan un sistema numérico senario, generalmente además de otro, como el decimal o el vigesimal . [5]
También se sospecha que el proto-urálico tenía números senarios, y más tarde se tomó prestado un número para 7, aunque la evidencia para construir números más grandes (8 y 9) sustractivamente a partir de diez sugiere que esto puede no ser así. [5]
Para algunos propósitos, el senario puede ser una base demasiado pequeña por conveniencia. Esto se puede solucionar usando su cuadrado, base 36 (hexatrigesimal), ya que luego la conversión se facilita simplemente haciendo los siguientes reemplazos:
Por lo tanto, el número de base 36 WIKIPEDIA 36 es igual al número senario 523032304122213014 6 . En decimal, es 91.730.738.691.298.
La elección de 36 como base es conveniente porque los dígitos se pueden representar utilizando los números arábigos del 0 al 9 y las letras latinas de la A a la Z; esta elección es la base del esquema de codificación base36 . El efecto de compresión de que 36 sea el cuadrado de 6 hace que muchos patrones y representaciones sean más cortos en base 36:
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