Horizonte

Curva aparente que separa la tierra del cielo.

La curvatura del horizonte se ve fácilmente en esta fotografía de 2008, tomada desde un transbordador espacial a una altitud de 226 km (140 millas).

El horizonte es la curva aparente que separa la superficie de un cuerpo celeste de su cielo cuando se ve desde la perspectiva de un observador en o cerca de la superficie del cuerpo en cuestión. Esta curva divide todas las direcciones de visión en función de si cruza o no la superficie del cuerpo relevante.

El verdadero horizonte es una línea teórica, que sólo puede observarse con algún grado de precisión cuando se encuentra a lo largo de una superficie relativamente lisa, como la de los océanos de la Tierra . En muchos lugares, esta línea está oscurecida por el terreno , y en la Tierra también puede estar oscurecida por formas de vida como árboles y/o construcciones humanas como edificios. La intersección resultante de dichas obstrucciones con el cielo se denomina horizonte visible . En la Tierra, al mirar un mar desde una orilla, la parte del mar más cercana al horizonte se llama vista . ^[1]

El verdadero horizonte rodea al observador y normalmente se supone que es un círculo, dibujado en la superficie de un modelo perfectamente esférico del cuerpo celeste relevante, es decir, un pequeño círculo de la esfera osculadora local . Con respecto a la Tierra, el centro del horizonte verdadero está por debajo del observador y por debajo del nivel del mar . Su radio o distancia horizontal respecto al observador varía ligeramente de un día a otro debido a la refracción atmosférica, que se ve muy afectada por las condiciones climáticas . Además, cuanto más altos están los ojos del observador desde el nivel del mar, más lejos está el horizonte del observador. Por ejemplo, en condiciones atmosféricas estándar , para un observador con el nivel de los ojos por encima del nivel del mar a 1,70 metros (5 pies 7 pulgadas), el horizonte está a una distancia de aproximadamente 4,7 kilómetros (2,9 millas). ^[2] Cuando se observa desde puntos de vista muy elevados, como una estación espacial , el horizonte está mucho más lejos y abarca un área mucho más grande de la superficie de la Tierra. En este caso, el horizonte ya no sería un círculo perfecto, ni siquiera una curva plana como una elipse, especialmente cuando el observador está por encima del ecuador, ya que la superficie de la Tierra se puede modelar mejor como un elipsoide achatado que como una esfera.

Etimología

La palabra horizonte deriva del griego ὁρίζων κύκλος ( horízōn kýklos ) 'círculo separador', ^[3] donde ὁρίζων es del verbo ὁρίζω ( horízō ) 'dividir, separar', ^[4] que a su vez deriva de ὅρος ( h óros ) 'límite, hito'. ^[5]

Apariencia y uso

Vista del océano con dos barcos: uno en primer plano y otro a la izquierda en el horizonte.

Históricamente, la distancia al horizonte visible ha sido durante mucho tiempo vital para la supervivencia y el éxito de la navegación, especialmente en el mar, porque determinaba el alcance máximo de visión del observador y, por tanto, de comunicación , con todas las consecuencias obvias para la seguridad y la transmisión de información que esto conlleva. rango implícito. Esta importancia disminuyó con el desarrollo de la radio y el telégrafo , pero incluso hoy en día, cuando se vuela un avión bajo reglas de vuelo visual , se utiliza una técnica llamada vuelo en actitud para controlar el avión, donde el piloto utiliza la relación visual entre el morro del avión y el horizonte para controlar la aeronave. Los pilotos también pueden conservar su orientación espacial consultando el horizonte.

En muchos contextos, especialmente en el dibujo en perspectiva , se ignora la curvatura de la Tierra y el horizonte se considera la línea teórica a la que convergen los puntos de cualquier plano horizontal (cuando se proyecta sobre el plano de la imagen) a medida que aumenta su distancia del observador. Para los observadores cercanos al nivel del mar, la diferencia entre este horizonte geométrico (que supone un plano de tierra infinito y perfectamente plano) y el horizonte verdadero (que supone una superficie terrestre esférica ) es imperceptible a simple vista. Sin embargo, para alguien en una colina de 1.000 m (3.300 pies) mirando al mar, el verdadero horizonte estará aproximadamente un grado por debajo de una línea horizontal.

En astronomía, el horizonte es el plano horizontal a través de los ojos del observador. Es el plano fundamental del sistema de coordenadas horizontal , el lugar geométrico de los puntos que tienen una altitud de cero grados. Si bien es similar en muchos aspectos al horizonte geométrico, en este contexto se puede considerar que un horizonte es un plano en el espacio, en lugar de una línea en el plano de una imagen.

Distancia al horizonte

Ignorando el efecto de la refracción atmosférica, la distancia al horizonte verdadero desde un observador cercano a la superficie de la Tierra es de aproximadamente ^[2]

${\displaystyle d\approx {\sqrt {2\,h\,R}}\,,}$

donde h es la altura sobre el nivel del mar y R es el radio de la Tierra .

La expresión se puede simplificar como:

${\displaystyle d\approx k{\sqrt {h}}\,,}$

donde la constante es igual a k =3,57 km/ ^m½ =1,22 millas/pie ^½ . En esta ecuación, se supone que la superficie de la Tierra es perfectamente esférica, con R igual a aproximadamente 6.371 kilómetros (3.959 millas).

Ejemplos

Suponiendo que no haya refracción atmosférica y una Tierra esférica con un radio R = 6.371 kilómetros (3.959 millas):

• Para un observador parado en el suelo con h = 1,70 metros (5 pies 7 pulgadas), el horizonte está a una distancia de 4,7 kilómetros (2,9 millas).
• Para un observador parado en el suelo con h = 2 metros (6 pies 7 pulgadas), el horizonte está a una distancia de 5 kilómetros (3,1 millas).
• Para un observador parado en una colina o torre a 30 metros (98 pies) sobre el nivel del mar, el horizonte está a una distancia de 19,6 kilómetros (12,2 millas).
• Para un observador parado en una colina o torre a 100 metros (330 pies) sobre el nivel del mar, el horizonte está a una distancia de 36 kilómetros (22 millas).
• Para un observador parado en el techo del Burj Khalifa , a 828 metros (2717 pies) del suelo y a unos 834 metros (2736 pies) sobre el nivel del mar, el horizonte está a una distancia de 103 kilómetros (64 millas).
• Para un observador en la cima del Monte Everest (8.848 metros (29.029 pies) de altitud), el horizonte está a una distancia de 336 kilómetros (209 millas).
• Para un observador a bordo de un avión comercial de pasajeros que vuela a una altitud típica de 35.000 pies (11.000 m), el horizonte está a una distancia de 369 kilómetros (229 millas).
• Para un piloto de U-2 , mientras vuela a su techo de servicio a 21.000 metros (69.000 pies), el horizonte está a una distancia de 517 kilómetros (321 millas).

Otros planetas

En los planetas terrestres y otros cuerpos celestes sólidos con efectos atmosféricos insignificantes, la distancia al horizonte para un "observador estándar" varía como la raíz cuadrada del radio del planeta. ^{[ cita necesaria ]} Así, el horizonte en Mercurio está a un 62% de la distancia del observador como en la Tierra, en Marte la cifra es el 73%, en la Luna la cifra es el 52%, en Mimas la cifra es el 18%, etcétera.

Derivación

Base geométrica para calcular la distancia al horizonte, teorema tangente-secante

Distancia geométrica al horizonte, teorema de Pitágoras

Tres tipos de horizonte

Si se supone que la Tierra es una esfera sin rasgos distintivos (en lugar de un esferoide achatado ) sin refracción atmosférica, entonces la distancia al horizonte se puede calcular fácilmente. ^[6]

El teorema de la tangente-secante establece que

${\displaystyle \mathrm {OC} ^{2}=\mathrm {OA} \times \mathrm {OB} \,.}$

Realice las siguientes sustituciones:

• d = OC = distancia al horizonte
• D = AB = diámetro de la Tierra
• h = OB = altura del observador sobre el nivel del mar
• D+h = OA = diámetro de la Tierra más altura del observador sobre el nivel del mar,

con d, D y h todos medidos en las mismas unidades. La fórmula ahora se convierte en

${\displaystyle d^{2}=h(D+h)\,\!}$

o

${\displaystyle d={\sqrt {h(D+h)}}={\sqrt {h(2R+h)}}\,,}$

donde R es el radio de la Tierra.

La misma ecuación también se puede derivar usando el teorema de Pitágoras . En el horizonte, la línea de visión es tangente a la Tierra y también perpendicular al radio de la Tierra. Esto establece un triángulo rectángulo, con la suma del radio y la altura como hipotenusa. Con

• d = distancia al horizonte
• h = altura del observador sobre el nivel del mar
• R = radio de la Tierra

Refiriéndose a la segunda figura de la derecha se llega a lo siguiente:

${\displaystyle (R+h)^{2}=R^{2}+d^{2}\,\!}$

${\displaystyle R^{2}+2Rh+h^{2}=R^{2}+d^{2}\,\!}$

${\displaystyle d={\sqrt {h(2R+h)}}\,.}$

La fórmula exacta anterior se puede ampliar como:

${\displaystyle d={\sqrt {2Rh+h^{2}}}\,,}$

donde R es el radio de la Tierra ( R y h deben estar en las mismas unidades). Por ejemplo, si un satélite está a una altura de 2000 km, la distancia al horizonte es de 5430 kilómetros (3370 millas); descuidar el segundo término entre paréntesis daría una distancia de 5.048 kilómetros (3.137 millas), un error del 7%.

Aproximación

Gráficas de distancias al horizonte verdadero en la Tierra para una altura dada h . s es a lo largo de la superficie de la Tierra, d es la distancia en línea recta y ~d es la distancia aproximada en línea recta suponiendo h << el radio de la Tierra, 6371 km. En la imagen SVG, coloque el cursor sobre un gráfico para resaltarlo.

Si el observador está cerca de la superficie de la Tierra, entonces es válido ignorar h en el término (2 R + h ) , y la fórmula se convierte en:

${\displaystyle d={\sqrt {2Rh}}\,.}$

Usando kilómetros para d y R , y metros para h , y tomando el radio de la Tierra como 6371 km, la distancia al horizonte es

${\displaystyle d\approx {\sqrt {2\cdot 6371\cdot {h/1000}}}\approx 3.570{\sqrt {h}}\,}$.

Usando unidades imperiales , con d y R en millas terrestres (como se usan comúnmente en tierra) y h en pies, la distancia al horizonte es

${\displaystyle d\approx {\sqrt {2\cdot 3963\cdot {h/5280}}}\approx {\sqrt {1.5h}}\approx 1.22{\sqrt {h}}}$.

Si d está en millas náuticas y h en pies, el factor constante es aproximadamente 1,06, que es lo suficientemente cercano a 1 como para que a menudo se ignore, lo que da:

${\displaystyle d\approx {\sqrt {h}}}$

Estas fórmulas se pueden utilizar cuando h es mucho más pequeño que el radio de la Tierra (6371 km o 3959 mi), incluidas todas las vistas desde la cima de cualquier montaña, avión o globo a gran altitud. Con las constantes dadas, tanto la fórmula métrica como la imperial tienen una precisión del 1% (consulte la siguiente sección para saber cómo obtener una mayor precisión). Si h es significativo con respecto a R , como ocurre con la mayoría de los satélites, entonces la aproximación ya no es válida y se requiere la fórmula exacta.

Medidas relacionadas

Distancia del arco

Otra relación involucra la distancia del círculo máximo s a lo largo del arco sobre la superficie curva de la Tierra hasta el horizonte; esto es más directamente comparable a la distancia geográfica en un mapa.

Se puede formular en términos de γ en radianes ,

${\displaystyle s=R\gamma \,;}$

entonces

${\displaystyle \cos \gamma =\cos {\frac {s}{R}}={\frac {R}{R+h}}\,.}$

Resolver para s da

${\displaystyle s=R\cos ^{-1}{\frac {R}{R+h}}\,.}$

La distancia s también se puede expresar en términos de la distancia de línea de visión d ; de la segunda figura a la derecha,

${\displaystyle \tan \gamma ={\frac {d}{R}}\,;}$

sustituyendo γ y reorganizando se obtiene

${\displaystyle s=R\tan ^{-1}{\frac {d}{R}}\,.}$

Las distancias d y s son casi iguales cuando la altura del objeto es insignificante en comparación con el radio (es decir, h  ≪  R ).

ángulo cenital

Ángulo cenital máximo para un observador elevado en una atmósfera esférica homogénea

Cuando el observador está elevado, el ángulo cenital del horizonte puede ser superior a 90°. El ángulo cenital máximo visible se produce cuando el rayo es tangente a la superficie de la Tierra; del triángulo OCG en la figura de la derecha,

${\displaystyle \cos \gamma ={\frac {R}{R+h}}}$

donde es la altura del observador sobre la superficie y es la inclinación angular del horizonte. Está relacionado con el ángulo cenital del horizonte por: ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle z}$

${\displaystyle z=\gamma +90{}^{\circ }}$

Para una altura no negativa , el ángulo siempre es ≥ 90°. ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle z}$

Objetos sobre el horizonte

Distancia geométrica del horizonte

Para calcular la mayor distancia D _BL a la que un observador B puede ver la parte superior de un objeto L sobre el horizonte, simplemente suma las distancias al horizonte desde cada uno de los dos puntos:

D _BL = D _B + D _L

Por ejemplo, para un observador B con una altura de h _B = 1,70 m parado en el suelo, el horizonte está D _B = 4,65 km de distancia. Para una torre con una altura de h _L = 100 m, la distancia al horizonte es D _L = 35,7 km. Así, un observador en una playa puede ver la cima de la torre siempre que no esté a más de D _BL = 40,35 km de distancia. Por el contrario, si un observador en un barco ( h _B = 1,7  m) puede ver las copas de los árboles en una costa cercana ( h _L = 10  m), los árboles probablemente estén a unos D _BL = 16 km de distancia.

Haciendo referencia a la figura de la derecha, y utilizando la aproximación anterior, la parte superior del faro será visible para un vigía en una cofa en la parte superior del mástil del barco si

${\displaystyle D_{\mathrm {BL} }<3.57\,({\sqrt {h_{\mathrm {B} }}}+{\sqrt {h_{\mathrm {L} }}})\,,}$

donde D _BL está en kilómetros y h _B y h _L están en metros.

Una vista de una bahía de 20 km de ancho en la costa de España. Observe la curvatura de la Tierra que oculta la base de los edificios en la orilla lejana.

Un barco alejándose, más allá del horizonte.

Como otro ejemplo, supongamos que un observador, cuyos ojos están a dos metros sobre el nivel del suelo, utiliza binoculares para mirar un edificio distante que sabe que consta de treinta pisos , cada uno de 3,5 metros de altura. Cuenta los pisos que puede ver y descubre que sólo hay diez. Así, veinte plantas o 70 metros del edificio le quedan ocultos por la curvatura de la Tierra. A partir de esto, puede calcular su distancia desde el edificio:

${\displaystyle D\approx 3.57({\sqrt {2}}+{\sqrt {70}})}$

lo que supone unos 35 kilómetros.

De manera similar, es posible calcular qué parte de un objeto distante es visible sobre el horizonte. Supongamos que el ojo de un observador está a 10 metros sobre el nivel del mar y observa un barco que se encuentra a 20 km de distancia. Su horizonte es:

${\displaystyle 3.57{\sqrt {10}}}$

kilómetros de él, lo que supone unos 11,3 kilómetros de distancia. El barco está a 8,7 km más. La altura de un punto del barco que es apenas visible para el observador está dada por:

${\displaystyle h\approx \left({\frac {8.7}{3.57}}\right)^{2}}$

lo que equivale a casi exactamente seis metros. De este modo, el observador puede ver la parte del barco que se encuentra a más de seis metros sobre el nivel del agua. La parte de la nave que está por debajo de esta altura queda oculta para él por la curvatura de la Tierra. En esta situación, se dice que el barco tiene el casco hundido .

Efecto de la refracción atmosférica.

Debido a la refracción atmosférica, la distancia al horizonte visible es mayor que la distancia basada en un simple cálculo geométrico. Si la superficie del suelo (o del agua) es más fría que el aire que está encima, se forma una capa densa y fría de aire cerca de la superficie, lo que hace que la luz se refracte hacia abajo a medida que viaja y, por lo tanto, hasta cierto punto, gire alrededor de la superficie. curvatura de la Tierra. Lo contrario ocurre si el suelo está más caliente que el aire que hay sobre él, como suele ocurrir en los desiertos, produciéndose espejismos . Como compensación aproximada por la refracción, los topógrafos que miden distancias superiores a 100 metros restan el 14% del error de curvatura calculado y se aseguran de que las líneas de visión estén al menos a 1,5 metros del suelo, para reducir los errores aleatorios creados por la refracción.

Horizonte típico del desierto

Si la Tierra fuera un mundo sin aire como la Luna, los cálculos anteriores serían exactos. Sin embargo, la Tierra tiene una atmósfera de aire , cuya densidad e índice de refracción varían considerablemente en función de la temperatura y la presión. Esto hace que el aire refracte la luz en distintos grados, afectando la apariencia del horizonte. Por lo general, la densidad del aire justo encima de la superficie de la Tierra es mayor que su densidad a mayores altitudes. Esto hace que su índice de refracción sea mayor cerca de la superficie que en altitudes más altas, lo que hace que la luz que viaja aproximadamente horizontalmente se refracte hacia abajo. ^[7] Esto hace que la distancia real al horizonte sea mayor que la distancia calculada con fórmulas geométricas. En condiciones atmosféricas estándar, la diferencia es de aproximadamente el 8%. Esto cambia el factor de 3,57, en las fórmulas métricas utilizadas anteriormente, a aproximadamente 3,86. ^[2] Por ejemplo, si un observador está parado en la orilla del mar, con los ojos a 1,70 m sobre el nivel del mar, según las simples fórmulas geométricas dadas sobre el horizonte debería estar a 4,7 km de distancia. En realidad, la refracción atmosférica permite al observador ver 300 metros más lejos, alejando el verdadero horizonte 5 km del observador.

Esta corrección puede aplicarse, y a menudo se aplica, como una aproximación bastante buena cuando las condiciones atmosféricas son cercanas a las estándar . Cuando las condiciones son inusuales, esta aproximación falla. La refracción se ve fuertemente afectada por los gradientes de temperatura, que pueden variar considerablemente de un día a otro, especialmente sobre el agua. En casos extremos, normalmente en primavera, cuando el aire cálido cubre agua fría, la refracción puede permitir que la luz siga la superficie de la Tierra durante cientos de kilómetros. Condiciones opuestas ocurren, por ejemplo, en los desiertos, donde la superficie es muy caliente, por lo que el aire caliente y de baja densidad se encuentra debajo del aire más frío. Esto hace que la luz se refracte hacia arriba, provocando efectos de espejismo que hacen que el concepto de horizonte pierda algo de sentido. Por lo tanto, los valores calculados para los efectos de la refracción en condiciones inusuales son sólo aproximados. ^[2] Sin embargo, se ha intentado calcularlos con mayor precisión que la simple aproximación descrita anteriormente.

Fuera del rango de longitud de onda visual, la refracción será diferente. Para radar (por ejemplo, para longitudes de onda de 300 a 3 mm, es decir, frecuencias entre 1 y 100 GHz), el radio de la Tierra puede multiplicarse por 4/3 para obtener un radio efectivo, lo que da un factor de 4,12 en la fórmula métrica, es decir, el horizonte del radar será 15% más allá del horizonte geométrico o 7% más allá del visual. El factor 4/3 no es exacto, ya que en el caso visual la refracción depende de las condiciones atmosféricas.

Método de integración: Sweer

Si se conoce el perfil de densidad de la atmósfera, la distancia d al horizonte viene dada por ^[8]

${\displaystyle d={{R}_{\text{E}}}\left(\psi +\delta \right)\,,}$

donde R _E es el radio de la Tierra, ψ es la inclinación del horizonte y δ es la refracción del horizonte. La caída se determina de manera bastante simple a partir de

${\displaystyle \cos \psi ={\frac {{R}_{\text{E}}{\mu }_{0}}{\left({{R}_{\text{E}}}+h\right)\mu }}\,,}$

donde h es la altura del observador sobre la Tierra, μ es el índice de refracción del aire a la altura del observador y μ ₀ es el índice de refracción del aire en la superficie de la Tierra.

La refracción debe encontrarse por integración de

${\displaystyle \delta =-\int _{0}^{h}{\tan \phi {\frac {{\text{d}}\mu }{\mu }}}\,,}$

¿Dónde es el ángulo entre el rayo y una recta que pasa por el centro de la Tierra? Los ángulos ψ y están relacionados por ${\displaystyle \phi \,\!}$ ${\displaystyle \phi \,\!}$

${\displaystyle \phi =90{}^{\circ }-\psi \,.}$

Método simple: joven

Un enfoque mucho más simple, que produce esencialmente los mismos resultados que la aproximación de primer orden descrita anteriormente, utiliza el modelo geométrico pero utiliza un radio R′ = 7/6 R _E. La distancia al horizonte es entonces ^[2]

${\displaystyle d={\sqrt {2R^{\prime }h}}\,.}$

Tomando el radio de la Tierra como 6371 km, con d en km y h en m,

${\displaystyle d\approx 3.86{\sqrt {h}}\,;}$

con d en mi y h en pies,

${\displaystyle d\approx 1.32{\sqrt {h}}\,.}$

En el caso del radar , normalmente se tiene R′ = 4/3 R _E resultante (con d en km y h en m) en

${\displaystyle d\approx 4.12{\sqrt {h}}\,;}$

Los resultados del método de Young son bastante parecidos a los del método de Sweer y son suficientemente precisos para muchos propósitos.

Puntos de fuga

Dos puntos en el horizonte se encuentran en las intersecciones de las líneas que extienden los segmentos que representan los bordes del edificio en primer plano. La línea del horizonte coincide aquí con la línea superior de puertas y ventanas.

El horizonte es una característica clave del plano pictórico en la ciencia de la perspectiva gráfica . Suponiendo que el plano de la imagen está vertical al suelo, y P es la proyección perpendicular del punto del ojo O en el plano de la imagen, el horizonte se define como la línea horizontal que pasa por P. El punto P es el punto de fuga de las rectas perpendiculares a la imagen. Si S es otro punto en el horizonte, entonces es el punto de fuga de todas las líneas paralelas a OS . Pero Brook Taylor (1719) indicó que el plano del horizonte determinado por O y el horizonte era como cualquier otro plano :

El término Línea Horizontal, por ejemplo, puede limitar las nociones de un estudiante al plano del horizonte y hacerle imaginar que ese plano disfruta de algunos privilegios particulares que hacen que las figuras en él sean más fáciles y convenientes. describirse, por medio de esa Línea Horizontal, que las Figuras en cualquier otro plano;…Pero en este Libro no hago diferencia entre el Plano del Horizonte, y cualquier otro Plano cualquiera… ^{[9] [10]}

La peculiar geometría de la perspectiva donde las líneas paralelas convergen en la distancia estimuló el desarrollo de la geometría proyectiva que postula un punto en el infinito donde se encuentran las líneas paralelas. En su libro Geometría de un arte (2007), Kirsti Andersen describió la evolución del dibujo en perspectiva y la ciencia hasta 1800, señalando que no es necesario que haya puntos de fuga en el horizonte. En un capítulo titulado "Horizonte", John Stillwell relató cómo la geometría proyectiva ha llevado a la geometría de incidencia , el estudio abstracto moderno de la intersección de líneas. Stillwell también incursionó en los fundamentos de las matemáticas en una sección titulada "¿Cuáles son las leyes del álgebra?" El "álgebra de puntos", propuesta originalmente por Karl von Staudt para derivar los axiomas de un campo , fue deconstruida en el siglo XX, generando una amplia variedad de posibilidades matemáticas. estados de stillwell

Este descubrimiento de hace 100 años parece capaz de poner patas arriba las matemáticas, aunque aún no ha sido plenamente absorbido por la comunidad matemática. No sólo desafía la tendencia de convertir la geometría en álgebra, sino que sugiere que tanto la geometría como el álgebra tienen una base más simple de lo que se pensaba anteriormente. ^[11]

Ver también

• Arte paisajístico aéreo
• Refracción atmosférica
• Amanecer
• Oscuridad
• Horizontal y vertical
• Paisaje
  • arte paisajístico
• Miembro
  • Oscurecimiento de las extremidades
  • Miembro lunar
• Horizonte radar
• horizonte radiofónico
• Sextante
• Horizonte

Referencias

1. "A la salida". Tercer nuevo diccionario internacional de Webster (edición íntegra).Se pronuncia "Hor-I-zon".
2. Young, Andrew T. "Distancia al horizonte". Sitio web de Green Flash (Secciones: Refracción astronómica, Agrupación de horizontes) . Departamento de Astronomía de la Universidad Estatal de San Diego. Archivado desde el original el 18 de octubre de 2003 . Consultado el 16 de abril de 2011 .
3. Liddell, Henry George; Scott, Roberto. "ὁρίζων". Un léxico griego-inglés . Biblioteca Digital Perseo . Archivado desde el original el 5 de junio de 2011 . Consultado el 19 de abril de 2011 .
4. Liddell, Henry George; Scott, Roberto. "ὁρίζω". Un léxico griego-inglés . Biblioteca Digital Perseo . Archivado desde el original el 5 de junio de 2011 . Consultado el 19 de abril de 2011 .
5. Liddell, Henry George; Scott, Roberto. "ὅρος". Un léxico griego-inglés . Biblioteca digital Perseo. Archivado desde el original el 5 de junio de 2011 . Consultado el 19 de abril de 2011 .
6. Trenza, Phil (15 de enero de 2009). "¿A qué distancia está el horizonte?". Descubrir . Mala astronomía. Kalmbach Publishing Co. Archivado desde el original el 29 de marzo de 2017 . Consultado el 28 de marzo de 2017 .
7. Supervisor, Richard Anthony; Ranyard, Arthur Cowper (1892). Astronomía antigua y nueva. Longmans, Green y compañía. págs.73.
8. Sweer, John (1938). "El camino de un rayo de luz tangente a la superficie de la Tierra". Revista de la Sociedad Óptica de América . 28 (9): 327–329. Código Bib :1938JOSA...28..327S. doi :10.1364/JOSA.28.000327.
9. Taylor, arroyo. Nuevos principios de perspectiva . pag. 1719.
10. Anderson, Kirsti (1991). "El trabajo de Brook Taylor sobre la perspectiva lineal". Saltador. pag. 151.ISBN _ 0-387-97486-5.
11. Stillwell, John (2006). "Anhelo de lo imposible" . Horizonte . AK Peters, Ltd. págs. 47–76. ISBN 1-56881-254-X.

Otras lecturas

• Young, Andrew T. "La inmersión del horizonte". Sitio web de Green Flash (Secciones: Refracción astronómica, Agrupación de horizontes) . Departamento de Astronomía de la Universidad Estatal de San Diego . Consultado el 16 de abril de 2011 .