Plano afín

Espacio geométrico bidimensional

En geometría , un plano afín es un espacio afín bidimensional .

Definiciones

Existen dos formas de definir formalmente los planos afines, que son equivalentes para los planos afines sobre un cuerpo. La primera consiste en definir un plano afín como un conjunto sobre el que un espacio vectorial de dimensión dos actúa simplemente de forma transitiva . Intuitivamente, esto significa que un plano afín es un espacio vectorial de dimensión dos en el que se ha "olvidado" dónde está el origen. La segunda forma se da en la geometría de incidencia , donde un plano afín se define como un sistema abstracto de puntos y líneas que satisfacen un sistema de axiomas.

Coordenadas e isomorfismo

Todos los planos afines definidos sobre un cuerpo son isomorfos . Más precisamente, la elección de un sistema de coordenadas afín (o, en el caso real, un sistema de coordenadas cartesianas ) para un plano afín sobre un cuerpo induce un isomorfismo de planos afines entre y . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle F^{2}}$

En la situación más general, donde los planos afines no están definidos sobre un cuerpo, en general no serán isomorfos. Dos planos afines que surgen del mismo plano proyectivo no desarguesiano mediante la eliminación de diferentes líneas pueden no ser isomorfos.

Ejemplos

Ejemplos típicos de planos afines son

• Planos euclidianos , que son planos afines sobre los reales dotados de una métrica , la distancia euclidiana . En otras palabras, un plano afín sobre los reales es un plano euclidiano en el que se ha "olvidado" la métrica (es decir, no se habla de longitudes ni de medidas de ángulos).
• Espacios vectoriales de dimensión dos, en los que el vector cero no se considera diferente de los demás elementos.
• Para cada campo o anillo de división , el conjunto de los pares de elementos de . ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F^{2}}$ ${\displaystyle F}$
• El resultado de eliminar cualquier línea individual (y todos los puntos de esta línea) de cualquier plano proyectivo .

Aplicaciones

En las aplicaciones de las matemáticas, a menudo se dan situaciones en las que se utiliza un plano afín sin métrica euclidiana en lugar del plano euclídeo. Por ejemplo, en un gráfico , que puede dibujarse en papel, y en el que se representa gráficamente la posición de una partícula frente al tiempo, la métrica euclidiana no es adecuada para su interpretación, ya que las distancias entre sus puntos o las medidas de los ángulos entre sus rectas no tienen, en general, importancia física (en el plano afín los ejes pueden utilizar unidades diferentes, que no son comparables, y las medidas también varían con unidades y escalas diferentes ^[a] ). ^{[1] [2]}

Notas

1. Véase también los libros de Mandelbrot , "Autoafinidad gaussiana y fractales", de Levi , "Fundamentos de geometría y trigonometría", y de Yaglom , "Una geometría no euclidiana simple y su base física".

Referencias

1. Paul Bamberg; Shlomo Sternberg (1991). Un curso de matemáticas para estudiantes de física. Vol. 1. Cambridge University Press . Págs. 1–2. ISBN 978-0-521-40649-9.
2. Howard Levi (1975). Temas de geometría. RE Krieger Publishing Company. pág. 75. ISBN 978-0-88275-280-8.

Fuentes

• Artin, Emil (1987), "II. Geometría afín y proyectiva", Álgebra geométrica , Interscience Publishers, ISBN 0-470-03432-7
• Blumenthal, Leonard M. (1980) [1961], "IV. Coordenadas en un plano afín", Una visión moderna de la geometría , Dover, ISBN 0-486-63962-2
• Gruenberg, KW; Weir, AJ (1977), "II. Geometría afín y proyectiva", Geometría lineal (2.ª ed.), Springer-Verlag, ISBN 0-387-90227-9
• Snapper, Ernst; Troyer, Robert J. (1989) [1971], Geometría afín métrica , Dover, ISBN 0-486-66108-3
• Yale, Paul B. (1968), "Capítulo 5 Espacios afines", Geometría y simetría , Holden-Day