Menor (álgebra lineal)

En álgebra lineal , un menor de una matriz $A$ es el determinante de una matriz cuadrada más pequeña generada a partir de $A$ eliminando una o más de sus filas y columnas. Los menores obtenidos eliminando solo una fila y una columna de las matrices cuadradas ( primeros menores ) son necesarios para calcular los cofactores de la matriz , que son útiles para calcular tanto el determinante como la inversa de las matrices cuadradas. El requisito de que la matriz cuadrada sea más pequeña que la matriz original a menudo se omite en la definición.

Definición e ilustración

Primeros menores

Si $A$ es una matriz cuadrada, entonces el menor de la entrada en la $i$ -ésima fila y $la j$ -ésima columna (también llamado el $(i, j)$ menor , o un primer menor ^[1] ) es el determinante de la submatriz formada al eliminar la $i$ -ésima fila y $la j$ -ésima columna. Este número a menudo se denota $M i, j$ . El cofactor $(i, j)$ se obtiene multiplicando el menor por $(-1)$ $i$ $+$ $j$ .

Para ilustrar estas definiciones, considere la siguiente matriz de 3 × 3 ,

${\begin{bmatrix}1&4&7\\3&0&5\\-1&9&11\\\end{bmatrix}}$

Para calcular el menor $M 2,3$ y el cofactor $C 2,3$ , encontramos el determinante de la matriz anterior con la fila 2 y la columna 3 eliminadas.

$M_{2,3}=\det {\begin{bmatrix}1&4&\Caja \\\Caja &\Caja &\Caja \\-1&9&\Caja \\\end{bmatrix}}=\det {\begin{bmatrix}1&4\\-1&9\\\end{bmatrix}}=9-(-4)=13$

Por lo tanto, el cofactor de la entrada (2,3) es

$C_{2,3}=(-1)^{2+3}(M_{2,3})=-13.$

Definición general

Sea $A$ una matriz $m \times n$ $y k$ un entero con $0 < k \leq m$ , y $k \leq n$ . Un $k \times k$ menor de $A$ , también llamado determinante menor de orden $k$ de $A$ o, si $m = n$ , el $(n - k)$ ésimo determinante menor de $A$ (la palabra "determinante" a menudo se omite, y la palabra "grado" a veces se usa en lugar de "orden") es el determinante de una matriz $k \times k obtenida a partir de$ $A$ eliminando $m - k$ filas y $n - k$ columnas. A veces el término se usa para referirse a la matriz $k \times k obtenida a partir de$ $A$ como se indicó anteriormente (eliminando $m - k$ filas y $n - k$ columnas), pero esta matriz debe denominarse submatriz (cuadrada) de $A$ , dejando el término "menor" para referirse al determinante de esta matriz. Para una matriz $A$ como la anterior, hay un total de menores de tamaño $k$ $\times$ $k$ . El menor de orden cero se define a menudo como 1. Para una matriz cuadrada, el menor cero es simplemente el determinante de la matriz. ^[2]^[3] ${\textstyle {m \elija k}\cdot {n \elija k}}$

Sean secuencias ordenadas (en orden natural, como siempre se supone cuando se habla de menores a menos que se indique lo contrario) de índices. El menor correspondiente a estas elecciones de índices se denota o o o o o (donde ( $i$ $)$ $denota$ la secuencia de índices $I$ , etc.), dependiendo de la fuente. Además, hay dos tipos de denotaciones en uso en la literatura: por el menor asociado a secuencias ordenadas de índices $I$ y $J$ , algunos autores ^[4] quieren decir el determinante de la matriz que se forma como arriba, tomando los elementos de la matriz original de las filas cuyos índices están en $I$ y columnas cuyos índices están en $J$ , mientras que otros autores quieren decir por un menor asociado a $I$ y $J$ el determinante de la matriz formada a partir de la matriz original eliminando las filas en $I$ y las columnas en $J$ ; ^[2] siempre debe comprobarse qué notación se usa. En este artículo, usamos la definición inclusiva de elegir los elementos de las filas de $I$ y las columnas de $J$ . El caso excepcional es el caso del primer menor o del $($ $i$ $,$ $j$ $)$ -menor descrito anteriormente; en ese caso, el significado exclusivo es estándar en todas partes en la literatura y se utiliza también en este artículo. ${\begin{aligned}I&=1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq m,\\[2pt]J&=1\leq j_{1}<j_{2}<\cdots <j_{k}\leq n,\end{aligned}}$ ${\textstyle \det {\bigl (}(\mathbf {A} _{i_{p},j_{q}})_{p,q=1,\ldots ,k}{\bigr )}}$ $\det _{I,J}A$ $\det \mathbf {A} _ {I,J}$ $[\mathbf {A} ]_{I,J}$ $Estilo de visualización M_{I,J}}$ $M_{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{k},j_{1},j_{2},\ldots ,j_{k}}$ $M_{(i),(j)}$ ${\textstyle M_{i,j}=\det {\bigl (}\left(\mathbf {A} _{p,q}\right)_{p\neq i,q\neq j}{\bigr ) }}$

Complementar

El complemento $B ijk ..., pqr ...$ de un menor $M ijk ..., pqr ...$ de una matriz cuadrada, $A$ , está formado por el determinante de la matriz $A$ de la que se han eliminado todas las filas ( $ijk...$ ) y columnas ( $pqr...$ ) asociadas a $M ijk ..., pqr ...$ . El complemento del primer menor de un elemento $a ij$ es simplemente ese elemento. ^[5]

Aplicaciones de menores y cofactores

Expansión del cofactor del determinante

Los cofactores ocupan un lugar destacado en la fórmula de Laplace para la expansión de determinantes, que es un método para calcular determinantes mayores en términos de determinantes menores. Dada una matriz $n \times n$ $A = (a ij)$ , el determinante de $A$ , denotado $det(A)$ , puede escribirse como la suma de los cofactores de cualquier fila o columna de la matriz multiplicada por las entradas que los generaron. En otras palabras, al definir la expansión de los cofactores a lo largo de la $j$ -ésima columna se obtiene: $C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$

${\begin{aligned}\det(\mathbf {A} )&=a_{1j}C_{1j}+a_{2j}C_{2j}+a_{3j}C_{3j}+\cdots + a_{nj}C_{nj}\\[2pt]&=\sum _{i=1}^{n}a_{ij}C_{ij}\\[2pt]&=\sum _{i=1} ^{n}a_{ij}(-1)^{i+j}M_{ij}\end{aligned}}$

La expansión del cofactor a lo largo de la fila $i$ da:

${\begin{aligned}\det(\mathbf {A} )&=a_{i1}C_{i1}+a_{i2}C_{i2}+a_{i3}C_{i3}+\cdots +a_{in}C_{in}\\[2pt]&=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}C_{ij}\\[2pt]&=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}(-1)^{i+j}M_{ij}\end{aligned}}$

Cofactor como derivada del determinante del tensor de segundo orden

Para cualquier tensor invertible de segundo orden $A$ se cumple la siguiente identidad: ^[6]

${\frac {\parcial {\text{ det}}\left(\mathbf {A} \right)}{\parcial \mathbf {A} }}={\text{det}}\left(\mathbf {A} \right)\mathbf {A} ^{-T}={\text{cof}}\left(\mathbf {A} \right)$

que es útil en el campo de la mecánica de sólidos no lineal.

Inversa de una matriz

La inversa de una matriz invertible se puede escribir calculando sus cofactores mediante la regla de Cramer , de la siguiente manera. La matriz formada por todos los cofactores de una matriz cuadrada $A$ se denomina matriz de cofactores (también llamada matriz de cofactores o, a veces, comatriz ):

$\mathbf {C} ={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&\cdots &C_{1n}\\C_{21}&C_{22}&\cdots &C_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\C_{n1}&C_{n2}&\cdots &C_{nn}\end{bmatrix}}$

Entonces la inversa de $A$ es la transpuesta de la matriz de cofactores por el recíproco del determinante de $A$ :

$\mathbf {A} ^{-1}={\frac {1}{\operatorname {det} (\mathbf {A} )}}\mathbf {C} ^{\mathsf {T}}.$

La transpuesta de la matriz cofactor se denomina matriz adjunta (también llamada matriz adjunta clásica ) de $A.$

La fórmula anterior se puede generalizar de la siguiente manera: Sean secuencias ordenadas (en orden natural) de índices (aquí $A$ es una matriz $n$ $\times$ $n$ ^{). Entonces [7]} ${\begin{aligned}I&=1\leq i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{k}\leq n,\\[2pt]J&=1\leq j_{1}<j_{2}<\ldots <j_{k}\leq n,\end{aligned}}$

$[\mathbf {A} ^{-1}]_{I,J}=\pm {\frac {[\mathbf {A} ]_{J',I'}}{\det \mathbf { A} }},$

donde $I', J'$ denotan las secuencias ordenadas de índices (los índices están en orden natural de magnitud, como arriba) complementarios a $I, J$ , de modo que cada índice $1, ..., n$ aparece exactamente una vez en $I$ o $I'$ , pero no en ambos (de manera similar para $J$ y $J'$ ) y $[A] I, J$ denota el determinante de la submatriz de $A$ formada al elegir las filas del conjunto de índices $J$ y las columnas del conjunto de índices $J$ . Además, Se puede dar una prueba simple usando el producto de cuña. De hecho, $[\mathbf {A} ]_{I,J}=\det {\bigl (}(A_{i_{p},j_{q}})_{p,q=1,\ldots ,k}{\bigr )}.$

${\bigl [}\mathbf {A} ^{-1}{\bigr ]}_{I,J}(e_{1}\wedge \ldots \wedge e_{n})=\pm (\mathbf {A} ^{-1}e_{j_{1}})\wedge \ldots \wedge (\mathbf {A} ^{-1}e_{j_{k}})\wedge e_{i'_{1}}\wedge \ldots \wedge e_{i'_{n-k}},$

donde están los vectores base. Actuando por $A$ en ambos lados, se obtiene $e_{1},\ldots ,e_{n}$

${\begin{aligned}&\ {\bigl [}\mathbf {A} ^{-1}{\bigr ]}_{I,J}\det \mathbf {A} (e_{1}\wedge \ldots \wedge e_{n})\\[2pt]=&\ \pm (e_{j_{1}})\wedge \ldots \wedge (e_{j_{k}})\wedge (\mathbf {A} e_{i'_{1}})\wedge \ldots \wedge (\mathbf {A} e_{i'_{n-k}})\\[2pt]=&\ \pm [\mathbf {A} ]_{J',I'}(e_{1}\wedge \ldots \wedge e_{n}).\end{aligned}}$

El signo se puede calcular de manera que esté determinado por las sumas de los elementos en $I$ y $J.$ $(-1)^{\wedge }\!\!\left(\sum _{s=1}^{k}i_{s}-\sum _{s=1}^{k}j_{s}\right),$

Otras aplicaciones

Dada una matriz $m \times n$ con entradas reales (o entradas de cualquier otro campo ) y rango $r$ , entonces existe al menos un menor $r \times r$ distinto de cero , mientras que todos los menores mayores son cero.

Utilizaremos la siguiente notación para los menores: si $A$ es una matriz $m \times n$ $, I$ es un subconjunto de ${1, ..., m}$ con $k$ elementos, y $J$ es un subconjunto de ${1, ..., n}$ con $k$ elementos, entonces escribimos $[A] I, J$ para el menor $k \times k$ de $A$ que corresponde a las filas con índice en $I$ y las columnas con índice en $J$ .

Si $I = J$ , entonces $[A] I, J$ se llama menor principal .
Si la matriz que corresponde a un menor principal es una submatriz cuadrada superior izquierda de la matriz más grande (es decir, consta de elementos de la matriz en filas y columnas de 1 a $k$ , también conocida como submatriz principal principal), entonces el menor principal se denomina menor principal principal (de orden $k$ ) o menor (principal) de esquina (de orden $k$ ) . ^[3] Para una matriz cuadrada $de n \times n$ , hay $n$ menores principales principales.
Un menor básico de una matriz es el determinante de una submatriz cuadrada que tiene un tamaño máximo con determinante distinto de cero. ^[3]
En el caso de las matrices hermíticas , los menores principales se pueden utilizar para comprobar la definibilidad positiva y los menores principales se pueden utilizar para comprobar la semidefinibilidad positiva . Consulte el criterio de Sylvester para obtener más detalles.

Tanto la fórmula para la multiplicación de matrices ordinarias como la fórmula de Cauchy-Binet para el determinante del producto de dos matrices son casos especiales del siguiente enunciado general sobre los menores de un producto de dos matrices. Supóngase que $A$ es una matriz $m \times n ,$ $B$ es una matriz $n \times p$ $, I$ es un subconjunto de ${1, ..., m}$ con $k$ elementos y $J$ es un subconjunto de ${1, ..., p}$ con $k$ elementos. Entonces, donde la suma se extiende a todos los subconjuntos $K$ de ${1, ...,$ $n$ $}$ con $k$ elementos. Esta fórmula es una extensión directa de la fórmula de Cauchy-Binet. $[\mathbf {AB} ]_{I,J}=\sum _{K}[\mathbf {A} ]_{I,K}[\mathbf {B} ]_{K,J}\,$

Enfoque del álgebra multilineal

En el álgebra multilineal se da un tratamiento algebraico más sistemático de los menores , utilizando el producto de cuña : los $k$ -menores de una matriz son las entradas en el $k$ -ésimo mapa de potencia exterior .

Si las columnas de una matriz se unen entre sí $k$ a la vez, los $k \times k$ menores aparecen como los componentes de los $k$ -vectores resultantes. Por ejemplo, los 2 × 2 menores de la matriz son −13 (de las dos primeras filas), −7 (de la primera y la última fila) y 5 (de las dos últimas filas). Ahora considere el producto de cuña donde las dos expresiones corresponden a las dos columnas de nuestra matriz. Usando las propiedades del producto de cuña, a saber, que es bilineal y alternante , y antisimétrico , podemos simplificar esta expresión a donde los coeficientes concuerdan con los menores calculados anteriormente. ${\begin{pmatrix}1&4\\3&\!\!-1\\2&1\\\end{pmatrix}}$ $(\mathbf {e} _{1}+3\mathbf {e} _{2}+2\mathbf {e} _{3})\wedge (4\mathbf {e} _{1}-\mathbf {e} _{2}+\mathbf {e} _{3})$ $\mathbf {e} _{i}\wedge \mathbf {e} _{i}=0,$ $\mathbf {e} _{i}\wedge \mathbf {e} _{j}=-\mathbf {e} _{j}\wedge \mathbf {e} _{i},$ $-13\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}-7\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{3}+5\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}$

Una observación sobre las diferentes notaciones

En algunos libros, en lugar de cofactor se utiliza el término adjunto . ^[8] Además, se denota como $A ij$ y se define de la misma manera que cofactor: $\mathbf {A} _{ij}=(-1)^{i+j}\mathbf {M} _{ij}$

Usando esta notación la matriz inversa se escribe de esta manera: $\mathbf {M} ^{-1}={\frac {1}{\det(M)}}{\begin{bmatrix}A_{11}&A_{21}&\cdots &A_{n1}\\A_{12}&A_{22}&\cdots &A_{n2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{1n}&A_{2n}&\cdots &A_{nn}\end{bmatrix}}$

Tenga en cuenta que un adjunto no es un operador adjunto o adjunto . En la terminología moderna, el "adjunto" de una matriz se refiere con mayor frecuencia al operador adjunto correspondiente .

Véase también

Referencias

^ Burnside, William Snow y Panton, Arthur William (1886) Teoría de ecuaciones: con una introducción a la teoría de la forma algebraica binaria .
^ ab Álgebra matricial elemental (tercera edición), Franz E. Hohn, The Macmillan Company, 1973, ISBN 978-0-02-355950-1
^ abc "Menor". Enciclopedia de Matemáticas.
^ Álgebra lineal y geometría, Igor R. Shafarevich, Alexey O. Remizov, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2013, ISBN 978-3-642-30993-9
^ Bertha Jeffreys, Métodos de física matemática, p.135, Cambridge University Press, 1999 ISBN 0-521-66402-0 .
^ Holzapfel, GA (2002). Mecánica de sólidos no lineal: un enfoque continuo para la ciencia de la ingeniería.
^ Viktor Vasil_evich Prasolov (13 de junio de 1994). Problemas y teoremas en álgebra lineal. American Mathematical Soc. pp. 15–. ISBN 978-0-8218-0236-6.
^ Felix Gantmacher , Teoría de matrices (1.ª ed., idioma original en ruso), Moscú: Editorial Estatal de Literatura Técnica y Teórica, 1953, pág. 491,

Enlaces externos

Conferencia sobre cofactores en MIT Linear Algebra Lecture on Cofactors en Google Video, de MIT OpenCourseWare
Entrada de cofactores en PlanetMath
Entrada de la Enciclopedia Springer de Matemáticas para menores