El álgebra multilineal es el estudio de funciones con múltiples argumentos con valores vectoriales , siendo las funciones mapas lineales con respecto a cada argumento. Implica conceptos como matrices , tensores , multivectores , sistemas de ecuaciones lineales , espacios de dimensiones superiores , determinantes , productos internos y externos y espacios duales . Es una herramienta matemática utilizada en ingeniería , aprendizaje automático , física y matemáticas . [1]
Si bien muchos conceptos y aplicaciones teóricas involucran vectores únicos , matemáticos como Hermann Grassmann consideraron estructuras que involucran pares, tripletes y multivectores que generalizan vectores . Con múltiples posibilidades combinacionales, el espacio de multivectores se expande a 2 n dimensiones, donde n es la dimensión del espacio vectorial relevante. [2] El determinante se puede formular de manera abstracta utilizando las estructuras del álgebra multilineal.
El álgebra multilineal aparece en el estudio de la respuesta mecánica de los materiales a la tensión y la deformación, involucrando varios módulos de elasticidad . El término " tensor " describe elementos dentro del espacio multilineal debido a su estructura añadida. A pesar del trabajo temprano de Grassmann en 1844 con su Ausdehnungslehre , que también fue republicado en 1862, el tema inicialmente no fue ampliamente comprendido, ya que incluso el álgebra lineal ordinaria planteaba muchos desafíos en ese momento.
Los conceptos de álgebra multilineal encuentran aplicaciones en ciertos estudios de cálculo multivariado y variedades , particularmente en lo que respecta a la matriz jacobiana . Los diferenciales infinitesimales encontrados en el cálculo de una variable se transforman en formas diferenciales en el cálculo multivariado , y su manipulación se lleva a cabo utilizando álgebra exterior . [3]
Después de Grassmann, Victor Schlegel realizó avances en el álgebra multilineal en 1872 con la publicación de la primera parte de su System der Raumlehre [4] y por Elwin Bruno Christoffel . Cabe destacar que se produjeron avances significativos a través del trabajo de Gregorio Ricci-Curbastro y Tullio Levi-Civita , [5] particularmente en la forma de cálculo diferencial absoluto dentro del álgebra multilineal. Marcel Grossmann y Michele Besso introdujeron esta forma a Albert Einstein , y en 1915, la publicación de Einstein sobre la relatividad general , que explicaba la precesión del perihelio de Mercurio , estableció el álgebra multilineal y los tensores como herramientas matemáticas importantes en física.
En 1958, Nicolas Bourbaki incluyó un capítulo sobre álgebra multilineal titulado « Algèbre Multilinéaire » en su serie Elementos de matemática , específicamente dentro del libro de álgebra. El capítulo cubre temas como las funciones bilineales, el producto tensorial de dos módulos y las propiedades de los productos tensoriales. [6]
Los conceptos de álgebra multilineal encuentran aplicaciones en diversas áreas, entre ellas: