Mapa aditivo

Homomorfismo del módulo Z

En álgebra , una función aditiva , función -lineal o función aditiva es una función que conserva la operación de adición: ^[1] para cada par de elementos y en el dominio de Por ejemplo, cualquier función lineal es aditiva. Cuando el dominio son los números reales , esta es la ecuación funcional de Cauchy . Para un caso específico de esta definición, véase polinomio aditivo . ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)}$$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle f.}$

Más formalmente, una función aditiva es un homomorfismo de módulo a . Dado que un grupo abeliano es un módulo a , se puede definir como un homomorfismo de grupo entre grupos abelianos. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Un mapa que es aditivo en cada uno de dos argumentos por separado se denomina mapa biaditivo o mapa -bilinar . ^[2] ${\displaystyle V\times W\to X}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Ejemplos

Entre los ejemplos típicos se incluyen las funciones entre anillos , espacios vectoriales o módulos que preservan el grupo aditivo . Una función aditiva no preserva necesariamente ninguna otra estructura del objeto; por ejemplo, la operación producto de un anillo.

Si y son mapas aditivos, entonces el mapa (definido puntualmente ) es aditivo. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f+g}$

Propiedades

Definición de multiplicación escalar por un entero

Supongamos que es un grupo aditivo con elemento identidad y que el inverso de se denota por Para cualquier entero y sea: Por lo tanto y se puede demostrar que para todos los enteros y todos y Esta definición de multiplicación escalar convierte al subgrupo cíclico de en un módulo izquierdo ; si es conmutativo, entonces también convierte en un módulo izquierdo. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle -x.}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ,}$ $${\displaystyle nx:=\left\{{\begin{alignedat}{9}&&&0&&&&&&~~~~&&&&~{\text{ when }}n=0,\\&&&x&&+\cdots +&&x&&~~~~{\text{(}}n&&{\text{ summands) }}&&~{\text{ when }}n>0,\\&(-&&x)&&+\cdots +(-&&x)&&~~~~{\text{(}}|n|&&{\text{ summands) }}&&~{\text{ when }}n<0,\\\end{alignedat}}\right.}$$ ${\displaystyle (-1)x=-x}$ ${\displaystyle m,n\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle (m+n)x=mx+nx}$ ${\displaystyle -(nx)=(-n)x=n(-x).}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Homogeneidad sobre los números enteros

Si es una función aditiva entre grupos aditivos entonces y para todos (donde la negación denota el inverso aditivo) y ^{[prueba 1]} En consecuencia, para todos (donde por definición, ). ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f(0)=0}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle f(-x)=-f(x)}$ $${\displaystyle f(nx)=nf(x)\quad {\text{ for all }}n\in \mathbb {Z} .}$$ ${\displaystyle f(x-y)=f(x)-f(y)}$ ${\displaystyle x,y\in X}$ ${\displaystyle x-y:=x+(-y)}$

En otras palabras, toda función aditiva es homogénea sobre los enteros . En consecuencia, toda función aditiva entre grupos abelianos es un homomorfismo de -módulos ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ .

Homomorfismo de -módulos ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Si los grupos abelianos aditivos y son también módulos unitarios sobre los racionales (como espacios vectoriales reales o complejos ), entonces una función aditiva satisface: ^{[prueba 2]} En otras palabras, toda función aditiva es homogénea sobre los números racionales . En consecuencia, toda función aditiva entre módulos unitarios es un homomorfismo de módulos . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ $${\displaystyle f(qx)=qf(x)\quad {\text{ for all }}q\in \mathbb {Q} {\text{ and }}x\in X.}$$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

A pesar de ser homogénea sobre los números reales , como se describe en el artículo sobre la ecuación funcional de Cauchy , aun cuando todavía es posible que la función aditiva no sea homogénea sobre los números reales ; dicho de otra manera, existen aplicaciones aditivas que no son de la forma para alguna constante. En particular, existen aplicaciones aditivas que no son aplicaciones lineales . ${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$ ${\displaystyle X=Y=\mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(x)=s_{0}x}$ ${\displaystyle s_{0}\in \mathbb {R} .}$

Véase también

• Mapa antilineal  – Mapa aditivo homogéneo conjugado

Notas

1. Leslie Hogben (2013), Manual de álgebra lineal (3.ª edición), CRC Press, págs. 30-8, ISBN 9781498785600
2. N. Bourbaki (1989), Álgebra, capítulos 1 a 3 , Springer, pág. 243

Pruebas

1. por lo que agregar a ambos lados demuestra que Si entonces de modo que donde por definición, la inducción muestra que si es positivo entonces y que el inverso aditivo de es lo que implica que (esto muestra que se cumple para ). ${\displaystyle f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)}$ ${\displaystyle -f(0)}$ ${\displaystyle f(0)=0.}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle 0=f(0)=f(x+(-x))=f(x)+f(-x)}$ ${\displaystyle f(-x)=-f(x)}$ ${\displaystyle (-1)f(x):=-f(x).}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle f(nx)=nf(x)}$ ${\displaystyle nf(x)}$ ${\displaystyle n(-f(x)),}$ ${\displaystyle f((-n)x)=f(n(-x))=nf(-x)=n(-f(x))=-(nf(x))=(-n)f(x)}$ ${\displaystyle f(nx)=nf(x)}$ ${\displaystyle n<0}$ ${\displaystyle \blacksquare }$
2. Sea y donde y Sea Entonces lo que implica que al multiplicar ambos lados por demuestra que En consecuencia, ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle q={\frac {m}{n}}\in \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle m,n\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle n>0.}$ ${\displaystyle y:={\frac {1}{n}}x.}$ ${\displaystyle ny=n\left({\frac {1}{n}}x\right)=\left(n{\frac {1}{n}}\right)x=(1)x=x,}$ ${\displaystyle f(x)=f(ny)=nf(y)=nf\left({\frac {1}{n}}x\right)}$ ${\displaystyle {\frac {1}{n}}}$ ${\displaystyle f\left({\frac {1}{n}}x\right)={\frac {1}{n}}f(x).}$ ${\displaystyle f(qx)=f\left({\frac {m}{n}}x\right)=mf\left({\frac {1}{n}}x\right)=m\left({\frac {1}{n}}f(x)\right)=qf(x).}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

Referencias

• Roger C. Lyndon ; Paul E. Schupp (2001), Teoría combinatoria de grupos , Springer