Superficie de rendimiento

Superficies en las que las invariantes , , son constantes. Trazado en el espacio de tensión principal. ${\displaystyle I_{1}}$ ${\displaystyle J_{2}}$ ${\displaystyle J_{3}}$

Una superficie de fluencia es una superficie de cinco dimensiones en el espacio de tensiones de seis dimensiones . La superficie de fluencia suele ser convexa y el estado de tensión en el interior de la superficie de fluencia es elástico. Cuando el estado de tensión se encuentra en la superficie, se dice que el material ha alcanzado su límite elástico y se dice que el material se ha vuelto plástico . Una mayor deformación del material hace que el estado de tensión permanezca en la superficie elástica, aunque la forma y el tamaño de la superficie pueden cambiar a medida que evoluciona la deformación plástica. Esto se debe a que los estados de tensión que se encuentran fuera de la superficie de fluencia no son permisibles en la plasticidad independiente de la velocidad , aunque no en algunos modelos de viscoplasticidad . ^[1]

La superficie de fluencia generalmente se expresa en términos de (y se visualiza en) un espacio de tensión principal tridimensional ( ), un espacio bidimensional o tridimensional abarcado por invariantes de tensión ( ) o una versión de la tensión tridimensional de Haigh-Westergaard. espacio . Por tanto, podemos escribir la ecuación de la superficie de fluencia (es decir, la función de fluencia) en la forma: ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3}}$ ${\displaystyle I_{1},J_{2},J_{3}}$

• ${\displaystyle f(\sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3})=0\,}$¿Dónde están las tensiones principales? ${\displaystyle \sigma _{i}}$
• ${\displaystyle f(I_{1},J_{2},J_{3})=0\,}$donde es el primer invariante principal del estrés de Cauchy y son el segundo y tercer invariantes principales de la parte desviatoria del estrés de Cauchy. ${\displaystyle I_{1}}$ ${\displaystyle J_{2},J_{3}}$
• ${\displaystyle f(p,q,r)=0\,}$donde están las versiones escaladas de y y es una función de . ${\displaystyle p,q}$ ${\displaystyle I_{1}}$ ${\displaystyle J_{2}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle J_{2},J_{3}}$
• ${\displaystyle f(\xi ,\rho ,\theta )=0\,}$donde están las versiones escaladas de y , y es el ángulo de tensión ^[2] o el ángulo de Lode ^[3] ${\displaystyle \xi ,\rho }$ ${\displaystyle I_{1}}$ ${\displaystyle J_{2}}$ ${\displaystyle \theta }$

Invariantes utilizadas para describir superficies de rendimiento

Superficies en las que las invariantes , , son constantes. Trazado en el espacio de tensión principal. ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \theta }$

El primer invariante principal ( ) del estrés de Cauchy ( ), y el segundo y tercer invariante principal ( ) de la parte desviatoria ( ) del estrés de Cauchy se definen como: ${\displaystyle I_{1}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$ ${\displaystyle J_{2},J_{3}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {s}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}&={\text{Tr}}({\boldsymbol {\sigma }})=\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3}\\J_{2}&={\tfrac {1}{2}}{\boldsymbol {s}}:{\boldsymbol {s}}={\tfrac {1}{6}}\left[(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+(\sigma _{3}-\sigma _{1})^{2}\right]\\J_{3}&=\det({\boldsymbol {s}})={\tfrac {1}{3}}({\boldsymbol {s}}\cdot {\boldsymbol {s}}):{\boldsymbol {s}}=s_{1}s_{2}s_{3}\end{aligned}}}$

donde ( ) son los valores principales de , ( ) son los valores principales de y ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$ ${\displaystyle s_{1},s_{2},s_{3}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {s}}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {s}}={\boldsymbol {\sigma }}-{\tfrac {I_{1}}{3}}\,{\boldsymbol {I}}}$

¿Dónde está la matriz identidad? ${\displaystyle {\boldsymbol {I}}}$

Un conjunto relacionado de cantidades, ( ), se utiliza generalmente para describir superficies de fluencia para materiales de fricción cohesivos como rocas, suelos y cerámicas. Estos se definen como ${\displaystyle p,q,r\,}$

${\displaystyle p={\tfrac {1}{3}}~I_{1}~:~~q={\sqrt {3~J_{2}}}=\sigma _{\mathrm {eq} }~;~~r=3\left({\tfrac {1}{2}}\,J_{3}\right)^{1/3}}$

¿Dónde está la tensión equivalente ? Sin embargo, la posibilidad de valores negativos de y el imaginario resultante hace que el uso de estas cantidades sea problemático en la práctica. ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {eq} }}$ ${\displaystyle J_{3}}$ ${\displaystyle r}$

Otro conjunto relacionado de invariantes ampliamente utilizado es ( ), que describe un sistema de coordenadas cilíndrico (las coordenadas Haigh-Westergaard ). Estos se definen como: ${\displaystyle \xi ,\rho ,\theta \,}$

${\displaystyle \xi ={\tfrac {1}{\sqrt {3}}}~I_{1}={\sqrt {3}}~p~;~~\rho ={\sqrt {2J_{2}}}={\sqrt {\tfrac {2}{3}}}~q~;~~\cos(3\theta )=\left({\tfrac {r}{q}}\right)^{3}={\tfrac {3{\sqrt {3}}}{2}}~{\cfrac {J_{3}}{J_{2}^{3/2}}}}$

El avión también se llama plano Rendulic . El ángulo se llama ángulo de tensión, el valor a veces se llama parámetro Lode ^{[4] [5] [6]} y la relación entre y fue dada por primera vez por Novozhilov VV en 1951, ^[7] ver también ^[8] ${\displaystyle \xi -\rho \,}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \cos(3\theta )}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle J_{2},J_{3}}$

Las tensiones principales y las coordenadas Haigh-Westergaard están relacionadas por

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{1}\\\sigma _{2}\\\sigma _{3}\end{bmatrix}}={\tfrac {1}{\sqrt {3}}}{\begin{bmatrix}\xi \\\xi \\\xi \end{bmatrix}}+{\sqrt {\tfrac {2}{3}}}~\rho ~{\begin{bmatrix}\cos \theta \\\cos \left(\theta -{\tfrac {2\pi }{3}}\right)\\\cos \left(\theta +{\tfrac {2\pi }{3}}\right)\end{bmatrix}}={\tfrac {1}{\sqrt {3}}}{\begin{bmatrix}\xi \\\xi \\\xi \end{bmatrix}}+{\sqrt {\tfrac {2}{3}}}~\rho ~{\begin{bmatrix}\cos \theta \\-\sin \left({\tfrac {\pi }{6}}-\theta \right)\\-\sin \left({\tfrac {\pi }{6}}+\theta \right)\end{bmatrix}}\,.}$

También se puede encontrar una definición diferente del ángulo de Lode en la literatura: ^[9]

${\displaystyle \sin(3\theta )=~{\tfrac {3{\sqrt {3}}}{2}}~{\cfrac {J_{3}}{J_{2}^{3/2}}}}$

en cuyo caso las tensiones principales ordenadas (donde ) están relacionadas por ^[10] ${\displaystyle \sigma _{1}\geq \sigma _{2}\geq \sigma _{3}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{1}\\\sigma _{2}\\\sigma _{3}\end{bmatrix}}={\tfrac {1}{\sqrt {3}}}{\begin{bmatrix}\xi \\\xi \\\xi \end{bmatrix}}+{\tfrac {\rho }{\sqrt {2}}}~{\begin{bmatrix}\cos \theta -{\tfrac {\sin \theta }{\sqrt {3}}}\\{\tfrac {2\sin \theta }{\sqrt {3}}}\\-{\tfrac {\sin \theta }{\sqrt {3}}}-\cos \theta \end{bmatrix}}\,.}$

Ejemplos de superficies de rendimiento

Hay varias superficies de fluencia diferentes conocidas en ingeniería y las más populares se enumeran a continuación.

Superficie productiva Tresca

El criterio de rendimiento de Tresca se considera obra de Henri Tresca . ^[11] También se conoce como teoría del esfuerzo cortante máximo (MSST) y criterio de Tresca-Guest ^[12] (TG). En términos de las tensiones principales el criterio de Tresca se expresa como

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\max(|\sigma _{1}-\sigma _{2}|,|\sigma _{2}-\sigma _{3}|,|\sigma _{3}-\sigma _{1}|)=S_{sy}={\tfrac {1}{2}}S_{y}}\!}$

¿Dónde es el límite elástico en corte y es el límite elástico en tracción? ${\displaystyle S_{sy}}$ ${\displaystyle S_{y}}$

La Figura 1 muestra la superficie de fluencia de Tresca-Guest en el espacio tridimensional de tensiones principales. Es un prisma de seis lados y de longitud infinita. Esto significa que el material permanece elástico cuando las tres tensiones principales son aproximadamente equivalentes (una presión hidrostática ), sin importar cuánto se comprima o estire. Sin embargo, cuando una de las tensiones principales se vuelve menor (o mayor) que las demás, el material está sujeto a corte. En tales situaciones, si el esfuerzo cortante alcanza el límite elástico, entonces el material ingresa al dominio plástico. La Figura 2 muestra la superficie de fluencia de Tresca-Guest en un espacio de tensiones bidimensional, es una sección transversal del prisma a lo largo del plano. ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2}}$

Figura 1: Vista de la superficie de fluencia de Tresca-Guest en el espacio 3D de tensiones principales

Figura 2: Superficie de rendimiento Tresca–Guest en el espacio 2D ( ) ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2}}$

Superficie de cedencia de von Mises

El criterio de rendimiento de von Mises se expresa en las tensiones principales como

${\displaystyle {(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+(\sigma _{3}-\sigma _{1})^{2}=2{S_{y}}^{2}}\!}$

¿Dónde está el límite elástico en tensión uniaxial? ${\displaystyle S_{y}}$

La Figura 3 muestra la superficie de fluencia de von Mises en el espacio tridimensional de tensiones principales. Es un cilindro circular de longitud infinita con su eje inclinado en ángulos iguales a las tres tensiones principales. La Figura 4 muestra la superficie de fluencia de von Mises en un espacio bidimensional en comparación con el criterio de Tresca-Guest. Una sección transversal del cilindro de von Mises en el plano de produce la forma elíptica de la superficie de fluencia. ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2}}$

Figura 3: Vista de la superficie de fluencia de Huber-Mises-Hencky en el espacio 3D de tensiones principales

Figura 4: Comparación de los criterios de Tresca-Guest y Huber-Mises-Hencky en el espacio 2D ( ) ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2}}$

Criterio de Burzyński-Yagn

Este criterio ^{[13] [14]}

${\displaystyle 3I_{2}'={\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }-\gamma _{1}I_{1}}{1-\gamma _{1}}}{\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }-\gamma _{2}I_{1}}{1-\gamma _{2}}}}$

representa la ecuación general de una superficie de revolución de segundo orden alrededor del eje hidrostático. Algunos casos especiales son: ^[15]

• cilindro (Maxwell (1865), Huber (1904), von Mises (1913), Hencky (1924)), ${\displaystyle \gamma _{1}=\gamma _{2}=0}$
• cono (Botkin (1940), Drucker-Prager (1952), Mirolyubov (1953)), ${\displaystyle \gamma _{1}=\gamma _{2}\in ]0,1[}$
• paraboloide (Burzyński (1928), Balandin (1937), Torre (1947)), ${\displaystyle \gamma _{1}\in ]0,1[,\gamma _{2}=0}$
• elipsoide centrado en el plano de simetría , (Beltrami (1885)), ${\displaystyle I_{1}=0}$ ${\displaystyle \gamma _{1}=-\gamma _{2}\in ]0,1[}$
• elipsoide centrado en el plano de simetría con (Schleicher (1926)), ${\displaystyle I_{1}={\frac {1}{2}}\,{\bigg (}{\frac {1}{\gamma _{1}}}+{\frac {1}{\gamma _{2}}}{\bigg )}}$ ${\displaystyle \gamma _{1}\in ]0,1[,\gamma _{2}<0}$
• hiperboloide de dos hojas (Burzynski (1928), Yagn (1931)), ${\displaystyle \gamma _{1}\in ]0,1[,\gamma _{2}\in ]0,\gamma _{1}[}$
• hiperboloide de una hoja centrada en el plano de simetría , ( Kuhn (1980)) ${\displaystyle I_{1}=0}$ ${\displaystyle \gamma _{1}=-\gamma _{2}=a\,i}$ ${\displaystyle i={\sqrt {-1}}}$
• hiperboloide de una hoja , (Filonenko-Boroditsch (1960), Gol'denblat-Kopnov (1968), Filin (1975)). ${\displaystyle \gamma _{1,2}=b\pm a\,i}$ ${\displaystyle i={\sqrt {-1}}}$

Las relaciones compresión-tensión y torsión-tensión se pueden calcular para

${\displaystyle {\frac {\sigma _{-}}{\sigma _{+}}}={\frac {1}{1-\gamma _{1}-\gamma _{2}}},\qquad {\bigg (}{\sqrt {3}}\,{\frac {\tau _{*}}{\sigma _{+}}}{\bigg )}^{2}={\frac {1}{(1-\gamma _{1})(1-\gamma _{2})}}}$

Las relaciones de Poisson en tensión y compresión se obtienen usando

${\displaystyle \nu _{+}^{\mathrm {in} }={\frac {-1+2(\gamma _{1}+\gamma _{2})-3\gamma _{1}\gamma _{2}}{-2+\gamma _{1}+\gamma _{2}}}}$

${\displaystyle \nu _{-}^{\mathrm {in} }=-{\frac {-1+\gamma _{1}^{2}+\gamma _{2}^{2}-\gamma _{1}\,\gamma _{2}}{(-2+\gamma _{1}+\gamma _{2})\,(-1+\gamma _{1}+\gamma _{2})}}}$

Para materiales dúctiles la restricción

${\displaystyle \nu _{+}^{\mathrm {in} }\in {\bigg [}\,0.48,\,{\frac {1}{2}}\,{\bigg ]}}$

es importante. La aplicación de criterios rotacionalmente simétricos para falla frágil con

${\displaystyle \nu _{+}^{\mathrm {in} }\in ]-1,~\nu _{+}^{\mathrm {el} }\,]}$

no ha sido suficientemente estudiado. ^[dieciséis]

El criterio de Burzyński-Yagn es muy adecuado para fines académicos. Para aplicaciones prácticas, se debe introducir en la ecuación el tercer invariante del desviador en potencia par e impar, por ejemplo: ^[17]

${\displaystyle 3I_{2}'{\frac {1+c_{3}\cos 3\theta +c_{6}\cos ^{2}3\theta }{1+c_{3}+c_{6}}}={\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }-\gamma _{1}I_{1}}{1-\gamma _{1}}}{\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }-\gamma _{2}I_{1}}{1-\gamma _{2}}}}$

criterio de huber

El criterio de Huber consta del elipsoide de Beltrami y un cilindro de von Mises escalado en el espacio de tensión principal, ^{[18] [19] [20] [21]} ver también ^{[22] [23]}

${\displaystyle 3\,I_{2}'=\left\{{\begin{array}{ll}\displaystyle {\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }-\gamma _{1}\,I_{1}}{1-\gamma _{1}}}\,{\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }+\gamma _{1}\,I_{1}}{1+\gamma _{1}}},&I_{1}>0\\[1em]\displaystyle {\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }}{1-\gamma _{1}}}\,{\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }}{1+\gamma _{1}}},&I_{1}\leq 0\end{array}}\right.}$

con . La transición entre las superficies en la sección transversal es continuamente diferenciable. El criterio representa la "visión clásica" con respecto al comportamiento material inelástico: ${\displaystyle \gamma _{1}\in [0,1[}$ ${\displaystyle I_{1}=0}$

• comportamiento del material sensible a la presión para con y ${\displaystyle I_{1}>0}$ ${\displaystyle \nu _{+}^{\mathrm {in} }\in \left]-1,\,1/2\right]}$
• comportamiento del material insensible a la presión para con ${\displaystyle I_{1}<0}$ ${\displaystyle \nu _{-}^{\mathrm {in} }=1/2}$

El criterio de Huber se puede utilizar como superficie de fluencia con una restricción empírica para el índice de Poisson en tensión , lo que conduce a . ${\displaystyle \nu _{+}^{\mathrm {in} }\in [0.48,1/2]}$ ${\displaystyle \gamma _{1}\in [0,0.1155]}$

Criterio de Huber con y criterio de Huber modificado con y en el plano de Burzyński: ajuste según la hipótesis de tensión normal ( ). Se muestra el criterio de von Mises ( ) a modo de comparación. ${\displaystyle \gamma _{1}=1/{\sqrt {3}}}$ ${\displaystyle \gamma _{1}=(1+{\sqrt {5}})/6}$ ${\displaystyle \gamma _{2}=(1-{\sqrt {5}})/6}$ ${\displaystyle \nu _{+}^{\mathrm {in} }=0}$ ${\displaystyle \nu _{-}^{\mathrm {in} }=\nu _{+}^{\mathrm {in} }=1/2}$

El criterio de Huber modificado, ^{[24] [23]} ver también, ^[25] cf. ^[26]

${\displaystyle 3\,I_{2}'=\left\{{\begin{array}{ll}\displaystyle {\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }-\gamma _{1}\,I_{1}}{1-\gamma _{1}}}\,{\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }-\gamma _{2}\,I_{1}}{1-\gamma _{2}}},&I_{1}>-d\,\sigma _{\mathrm {+} }\\[1em]\displaystyle {\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }^{2}}{(1-\gamma _{1}-\gamma _{2})^{2}}},&I_{1}\leq -d\,\sigma _{\mathrm {+} }\end{array}}\right.}$

Consiste en el elipsoide de Schleicher con la restricción del índice de Poisson en compresión.

${\displaystyle \nu _{-}^{\mathrm {in} }=-{\frac {-1+\gamma _{1}^{2}+\gamma _{2}^{2}-\gamma _{1}\,\gamma _{2}}{(-2+\gamma _{1}+\gamma _{2})\,(-1+\gamma _{1}+\gamma _{2})}}={\frac {1}{2}}}$

y un cilindro con la transición -en la sección transversal . La segunda configuración de los parámetros y sigue con la relación compresión / tensión. ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle I_{1}=-d\,\sigma _{\mathrm {+} }}$ ${\displaystyle \gamma _{1}\in [0,1[}$ ${\displaystyle \gamma _{2}<0}$

${\displaystyle d={\frac {\sigma _{-}}{\sigma _{+}}}={\frac {1}{1-\gamma _{1}-\gamma _{2}}}\geq 1}$

El criterio de Huber modificado se puede adaptar mejor a los datos medidos como el criterio de Huber. Para configurarlo sigue y . ${\displaystyle \nu _{+}^{\mathrm {in} }=0.48}$ ${\displaystyle \gamma _{1}=0.0880}$ ${\displaystyle \gamma _{2}=-0.0747}$

El criterio de Huber y el criterio de Huber modificado deberían preferirse al criterio de von Mises ya que se obtienen resultados más seguros en la región . Para aplicaciones prácticas , en estos criterios se debe considerar el tercer invariante del desviador . ^[23] ${\displaystyle I_{1}>\sigma _{\mathrm {+} }}$ ${\displaystyle I_{3}'}$

Superficie de fluencia de Mohr-Coulomb

El criterio de fluencia (fallo) de Mohr-Coulomb es similar al criterio de Tresca, con disposiciones adicionales para materiales con diferentes límites elásticos a tracción y compresión. Este modelo se utiliza a menudo para modelar hormigón , suelo o materiales granulares . El criterio de rendimiento de Mohr-Coulomb se puede expresar como:

${\displaystyle {\frac {m+1}{2}}\max {\Big (}|\sigma _{1}-\sigma _{2}|+K(\sigma _{1}+\sigma _{2})~,~~|\sigma _{1}-\sigma _{3}|+K(\sigma _{1}+\sigma _{3})~,~~|\sigma _{2}-\sigma _{3}|+K(\sigma _{2}+\sigma _{3}){\Big )}=S_{yc}}$

dónde

${\displaystyle m={\frac {S_{yc}}{S_{yt}}};K={\frac {m-1}{m+1}}}$

y los parámetros y son los esfuerzos de fluencia (falla) del material en compresión y tensión uniaxial, respectivamente. La fórmula se reduce al criterio de Tresca si . ${\displaystyle S_{yc}}$ ${\displaystyle S_{yt}}$ ${\displaystyle S_{yc}=S_{yt}}$

La Figura 5 muestra la superficie de fluencia de Mohr-Coulomb en el espacio tridimensional de tensiones principales. Es un prisma cónico y determina el ángulo de inclinación de la superficie cónica. La Figura 6 muestra la superficie de fluencia de Mohr-Coulomb en un espacio de tensión bidimensional. En la Figura 6 y se utiliza para y , respectivamente, en la fórmula. Es una sección transversal de este prisma cónico en el plano de . En la Figura 6, Rr y Rc se utilizan para Syc y Syt, respectivamente, en la fórmula. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle R_{r}}$ ${\displaystyle R_{c}}$ ${\displaystyle S_{yt}}$ ${\displaystyle S_{yc}}$ ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2}}$

Figura 5: Vista de la superficie de fluencia de Mohr-Coulomb en el espacio 3D de tensiones principales

Figura 6: Superficie de fluencia de Mohr-Coulomb en el espacio 2D ( ) ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2}}$

Superficie de rendimiento Drucker-Prager

El criterio de fluencia de Drucker-Prager es similar al criterio de fluencia de von Mises, con disposiciones para el manejo de materiales con diferentes límites elásticos a la tracción y a la compresión. Este criterio se usa con mayor frecuencia para concreto donde tanto los esfuerzos normales como los de corte pueden determinar la falla. El criterio de rendimiento de Drucker-Prager puede expresarse como

${\displaystyle {\bigg (}{\frac {m-1}{2}}{\bigg )}(\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3})+{\bigg (}{\frac {m+1}{2}}{\bigg )}{\sqrt {\frac {(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+(\sigma _{3}-\sigma _{1})^{2}}{2}}}=S_{yc}}$

dónde

${\displaystyle m={\frac {S_{yc}}{S_{yt}}}}$

y , son los esfuerzos de fluencia uniaxiales en compresión y tensión respectivamente. La fórmula se reduce a la ecuación de von Mises si . ${\displaystyle S_{yc}}$ ${\displaystyle S_{yt}}$ ${\displaystyle S_{yc}=S_{yt}}$

La Figura 7 muestra la superficie de fluencia de Drucker-Prager en el espacio tridimensional de tensiones principales. Es un cono regular . La Figura 8 muestra la superficie de fluencia de Drucker-Prager en un espacio bidimensional. El dominio elástico elíptico es una sección transversal del cono en el plano de ; se puede elegir para cruzar la superficie de cedencia de Mohr-Coulomb en diferente número de vértices. Una opción es intersecar la superficie de fluencia de Mohr-Coulomb en tres vértices a cada lado de la línea, pero generalmente se seleccionan por convención para que sean aquellos en el régimen de compresión. ^[27] Otra opción es intersectar la superficie de cedencia de Mohr-Coulomb en cuatro vértices en ambos ejes (ajuste uniaxial) o en dos vértices en la diagonal (ajuste biaxial). ^[28] El criterio de rendimiento de Drucker-Prager también se expresa comúnmente en términos de cohesión del material y ángulo de fricción . ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2}}$ ${\displaystyle \sigma _{1}=-\sigma _{2}}$ ${\displaystyle \sigma _{1}=\sigma _{2}}$

Figura 7: Vista de la superficie de fluencia de Drucker-Prager en el espacio 3D de tensiones principales

Figura 8: Vista de la superficie de fluencia de Drucker-Prager en el espacio 2D de tensiones principales

Superficie de rendimiento Bresler-Pister

El criterio de rendimiento de Bresler-Pister es una extensión del criterio de rendimiento de Drucker Prager que utiliza tres parámetros y tiene términos adicionales para materiales que ceden bajo compresión hidrostática. En términos de las tensiones principales, este criterio de rendimiento se puede expresar como

${\displaystyle S_{yc}={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\left[(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+(\sigma _{3}-\sigma _{1})^{2}\right]^{1/2}-c_{0}-c_{1}~(\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3})-c_{2}~(\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3})^{2}}$

¿Dónde están las constantes materiales? El parámetro adicional le da a la superficie de fluencia una sección transversal elipsoidal cuando se ve desde una dirección perpendicular a su eje. Si es el límite elástico en compresión uniaxial, es el límite elástico en tensión uniaxial y es el límite elástico en compresión biaxial, los parámetros se pueden expresar como ${\displaystyle c_{0},c_{1},c_{2}}$ ${\displaystyle c_{2}}$ ${\displaystyle \sigma _{c}}$ ${\displaystyle \sigma _{t}}$ ${\displaystyle \sigma _{b}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{1}=&\left({\cfrac {\sigma _{t}-\sigma _{c}}{(\sigma _{t}+\sigma _{c})}}\right)\left({\cfrac {4\sigma _{b}^{2}-\sigma _{b}(\sigma _{c}+\sigma _{t})+\sigma _{c}\sigma _{t}}{4\sigma _{b}^{2}+2\sigma _{b}(\sigma _{t}-\sigma _{c})-\sigma _{c}\sigma _{t}}}\right)\\c_{2}=&\left({\cfrac {1}{(\sigma _{t}+\sigma _{c})}}\right)\left({\cfrac {\sigma _{b}(3\sigma _{t}-\sigma _{c})-2\sigma _{c}\sigma _{t}}{4\sigma _{b}^{2}+2\sigma _{b}(\sigma _{t}-\sigma _{c})-\sigma _{c}\sigma _{t}}}\right)\\c_{0}=&c_{1}\sigma _{c}-c_{2}\sigma _{c}^{2}\end{aligned}}}$

Figura 9: Vista de la superficie de fluencia de Bresler-Pister en el espacio 3D de tensiones principales

Figura 10: Superficie de cedencia Bresler-Pister en el espacio 2D ( ) ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2}}$

Superficie de rendimiento Willam-Warnke

El criterio de rendimiento de Willam-Warnke es una versión suavizada de tres parámetros del criterio de rendimiento de Mohr-Coulomb que tiene similitudes en su forma con los criterios de rendimiento de Drucker-Prager y Bresler-Pister .

El criterio de rendimiento tiene la forma funcional

${\displaystyle f(I_{1},J_{2},J_{3})=0~.}$

Sin embargo, se expresa más comúnmente en coordenadas Haigh-Westergaard como

${\displaystyle f(\xi ,\rho ,\theta )=0~.}$

La sección transversal de la superficie vista a lo largo de su eje es un triángulo suavizado (a diferencia de Mohr-Coulomb). La superficie de cedencia de Willam-Warnke es convexa y tiene derivadas primera y segunda únicas y bien definidas en cada punto de su superficie. Por lo tanto, el modelo de Willam-Warnke es computacionalmente robusto y se ha utilizado para una variedad de materiales de fricción cohesiva.

Figura 11: Vista de la superficie de fluencia de Willam-Warnke en el espacio 3D de tensiones principales

Figura 12: Superficie de fluencia de Willam-Warnke en el plano ${\displaystyle \pi }$

Superficies de rendimiento trigonométricas de Podgórski y Rosendahl

Normalizado con respecto a la tensión de tracción uniaxial , el criterio de Podgórski ^[29] en función del ángulo de tensión es ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {eq} }=\sigma _{+}}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {eq} }={\sqrt {3\,I_{2}'}}\,{\frac {\Omega _{3}(\theta ,\beta _{3},\chi _{3})}{\Omega _{3}(0,\beta _{3},\chi _{3})}},}$

con la función de forma de la simetría trigonal en el plano ${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle \Omega _{3}(\theta ,\beta _{3},\chi _{3})=\cos \left[\displaystyle {\frac {1}{3}}\left(\pi \beta _{3}-\arccos[\,\sin(\chi _{3}\,{\frac {\pi }{2}})\,\!\cos 3\,\theta \,]\right)\right],\qquad \beta _{3}\in [0,\,1],\quad \chi _{3}\in [-1,\,1].}$

Contiene los criterios de von Mises (círculo en el plano, , ), Tresca (hexágono regular, , ), Mariotte (triángulo regular, , ), Ivlev ^[30] (triángulo regular, , ) y también el criterio cúbico de Sayir ^[31] (el criterio de Ottosen ^[32] ) con y los hexágonos isotoxales (equiláteros) del criterio de Capurso ^{[30] [31] [33]} con . La transición de von Mises-Tresca ^[34] sigue con , . Los hexágonos isogonales (equiangulares) del criterio de Haythornthwaite ^{[23] [35] [36]} que contienen el criterio de Schmidt-Ishlinsky (hexágono regular) no pueden describirse con el criterio de Podgórski. ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \beta _{3}=[0,\,1]}$ ${\displaystyle \chi _{3}=0}$ ${\displaystyle \beta _{3}=1/2}$ ${\displaystyle \chi _{3}=\{1,-1\}}$ ${\displaystyle \beta _{3}=\{0,1\}}$ ${\displaystyle \chi _{3}=\{1,-1\}}$ ${\displaystyle \beta _{3}=\{1,0\}}$ ${\displaystyle \chi _{3}=\{1,-1\}}$ ${\displaystyle \beta _{3}=\{0,1\}}$ ${\displaystyle \chi _{3}=\{1,-1\}}$ ${\displaystyle \beta _{3}=1/2}$ ${\displaystyle \chi _{3}=[0,1]}$

El criterio de Rosendahl ^{[37] [38]} dice

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {eq} }={\sqrt {3\,I_{2}'}}\,{\frac {\Omega _{6}(\theta ,\beta _{6},\chi _{6})}{\Omega _{6}(0,\beta _{6},\chi _{6})}},}$

con la función de forma de la simetría hexagonal en el plano ${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle \Omega _{6}(\theta ,\beta _{6},\chi _{6})=\cos \left[\displaystyle {\frac {1}{6}}\left(\pi \beta _{6}-\arccos[\,\sin(\chi _{6}\,{\frac {\pi }{2}})\,\!\cos 6\,\theta \,]\right)\right],\qquad \beta _{6}\in [0,\,1],\quad \chi _{6}\in [-1,\,1].}$

Contiene los criterios de von Mises (círculo, , ), Tresca (hexágono regular, , ), Schmidt-Ishlinsky (hexágono regular, , ), Sokolovsky (dodecágono regular, , ), y también el criterio bicúbico ^{[23] [37] [39] [40]} con o igualmente con y los dodecágonos isotoxales del criterio de rendimiento unificado de Yu ^[41] con . Los dodecágonos isogonales del criterio multiplicativo ansatz de simetría hexagonal ^[23] que contienen el criterio de Ishlinsky-Ivlev (dodecágono regular) no pueden describirse mediante el criterio de Rosendahl. ${\displaystyle \beta _{6}=[0,\,1]}$ ${\displaystyle \chi _{6}=0}$ ${\displaystyle \beta _{6}=\{1,0\}}$ ${\displaystyle \chi _{6}=\{1,-1\}}$ ${\displaystyle \beta _{6}=\{0,1\}}$ ${\displaystyle \chi _{6}=\{1,-1\}}$ ${\displaystyle \beta _{6}=1/2}$ ${\displaystyle \chi _{6}=\{1,-1\}}$ ${\displaystyle \beta _{6}=0}$ ${\displaystyle \beta _{6}=1}$ ${\displaystyle \chi _{6}=\{1,-1\}}$

Los criterios de Podgórski y Rosendahl describen superficies individuales en el espacio de tensión principal sin contornos exteriores adicionales ni intersecciones planas. Tenga en cuenta que para evitar problemas numéricos, la función de parte real se puede introducir en la función de forma: y . La generalización en la forma ^[37] es relevante para investigaciones teóricas. ${\displaystyle Re}$ ${\displaystyle Re(\Omega _{3})}$ ${\displaystyle Re(\Omega _{6})}$ ${\displaystyle \Omega _{3n}}$

Se puede obtener una extensión sensible a la presión de los criterios con la sustitución lineal ^[23] ${\displaystyle I_{1}}$

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {eq} }\rightarrow {\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }-\gamma _{1}\,I_{1}}{1-\gamma _{1}}}\qquad {\mbox{with}}\qquad \gamma _{1}\in [0,\,1[,}$

lo cual es suficiente para muchas aplicaciones, por ejemplo, metales, hierro fundido, aleaciones, hormigón, polímeros no reforzados, etc.

Secciones transversales básicas descritas por un círculo y polígonos regulares de simetrías trigonales o hexagonales en el plano. ${\displaystyle \pi }$

Superficie de rendimiento de Bigoni-Piccolroaz

El criterio de rendimiento de Bigoni-Piccolroaz ^{[42] [43]} es una superficie de siete parámetros definida por

${\displaystyle f(p,q,\theta )=F(p)+{\frac {q}{g(\theta )}}=0,}$

¿Dónde está la función "meridiano"? ${\displaystyle F(p)}$

${\displaystyle F(p)=\left\{{\begin{array}{ll}-Mp_{c}{\sqrt {(\phi -\phi ^{m})[2(1-\alpha )\phi +\alpha ]}},&\phi \in [0,1],\\+\infty ,&\phi \notin [0,1],\end{array}}\right.}$

${\displaystyle \phi ={\frac {p+c}{p_{c}+c}},}$

que describe la sensibilidad a la presión y es la función "desviatoria" ^[44] ${\displaystyle g(\theta )}$

${\displaystyle g(\theta )={\frac {1}{\cos[\beta {\frac {\pi }{6}}-{\frac {1}{3}}\cos ^{-1}(\gamma \cos 3\theta )]}},}$

describiendo la dependencia de Lode del rendimiento. Los siete parámetros materiales no negativos:

${\displaystyle \underbrace {M>0,~p_{c}>0,~c\geq 0,~0<\alpha <2,~m>1} _{{\mbox{defining}}~\displaystyle {F(p)}},~~~\underbrace {0\leq \beta \leq 2,~0\leq \gamma <1} _{{\mbox{defining}}~\displaystyle {g(\theta )}},}$

definir la forma de las secciones de meridianos y desviadores.

Este criterio representa una superficie lisa y convexa, que está cerrada tanto en tensión como en compresión hidrostática y tiene forma de gota, particularmente adecuada para describir materiales friccionales y granulares. Este criterio también se ha generalizado al caso de superficies con esquinas. ^[45]

Superficie de rendimiento de Bigoni-Piccolroaz

Coseno Ansatz (Altenbach-Bolchoun-Kolupaev)

Para la formulación de los criterios de resistencia, el ángulo de tensión

${\displaystyle \cos 3\theta ={\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}{\frac {I_{3}'}{I_{2}'^{\frac {3}{2}}}}}$

puede ser usado.

El siguiente criterio de comportamiento del material isotrópico.

${\displaystyle (3I_{2}')^{3}{\frac {1+c_{3}\cos 3\theta +c_{6}\cos ^{2}3\theta }{1+c_{3}+c_{6}}}=\displaystyle \left({\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }-\gamma _{1}\,I_{1}}{1-\gamma _{1}}}\right)^{6-l-m}\,\left({\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }-\gamma _{2}\,I_{1}}{1-\gamma _{2}}}\right)^{l}\,\sigma _{\mathrm {eq} }^{m}}$

contiene una serie de otros criterios menos generales bien conocidos, siempre que se elijan valores de parámetros adecuados.

Parámetros y describen la geometría de la superficie en el plano. Están sujetos a las restricciones ${\displaystyle c_{3}}$ ${\displaystyle c_{6}}$ ${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle c_{6}={\frac {1}{4}}(2+c_{3}),\qquad c_{6}={\frac {1}{4}}(2-c_{3}),\qquad c_{6}\geq {\frac {5}{12}}\,c_{3}^{2}-{\frac {1}{3}},}$

que se siguen de la condición de convexidad. En ^{[46] [47]} se propone una formulación más precisa de las terceras restricciones.

Parámetros y describir la posición de los puntos de intersección de la superficie de fluencia con el eje hidrostático (espacio diagonal en el espacio de tensión principal). Estos puntos de intersección se denominan nodos hidrostáticos. En el caso de materiales que no fallan a la presión hidrostática (acero, latón, etc.) se obtiene . En caso contrario, para materiales que fallan a presión hidrostática (espumas duras, cerámicas, materiales sinterizados, etc.), se sigue lo siguiente . ${\displaystyle \gamma _{1}\in [0,\,1[}$ ${\displaystyle \gamma _{2}}$ ${\displaystyle \gamma _{2}\in [0,\,\gamma _{1}[}$ ${\displaystyle \gamma _{2}<0}$

Las potencias enteras y , describen la curvatura del meridiano. El meridiano con es una línea recta y con – una parábola. ${\displaystyle l\geq 0}$ ${\displaystyle m\geq 0}$ ${\displaystyle l+m<6}$ ${\displaystyle l=m=0}$ ${\displaystyle l=0}$

Superficie de rendimiento de Barlat

Para los materiales anisotrópicos, dependiendo de la dirección del proceso aplicado (por ejemplo, laminado), las propiedades mecánicas varían y, por lo tanto, es crucial utilizar una función de rendimiento anisotrópico. Desde 1989 Frederic Barlat ha desarrollado una familia de funciones de rendimiento para el modelado constitutivo de la anisotropía plástica. Entre ellos, el criterio de rendimiento Yld2000-2D se ha aplicado a una amplia gama de láminas metálicas (por ejemplo, aleaciones de aluminio y aceros avanzados de alta resistencia). El modelo Yld2000-2D es una función de rendimiento de tipo no cuadrático basada en dos transformaciones lineales del tensor de tensión:

${\displaystyle \Phi =\Phi '(X')+\Phi ''(X'')=2{{\bar {\sigma }}^{a}}}$ :

Los loci de rendimiento Yld2000-2D para una hoja AA6022 T4.

¿Dónde está la tensión efectiva? y y son las matrices transformadas (mediante transformación lineal C o L): ${\displaystyle {\bar {\sigma }}}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle X''}$

${\displaystyle {\begin{array}{l}X'=C'.s=L'.\sigma \\X''=C''.s=L''.\sigma \end{array}}}$

donde s es el tensor de tensión desviador.

para valores principales de X' y X”, el modelo podría expresarse como:

${\displaystyle {\begin{array}{l}\Phi '={\left|{{{X'}_{1}}+{{X'}_{2}}}\right|^{a}}\\\Phi ''={\left|{2{{X''}_{2}}+{{X''}_{1}}}\right|^{a}}+{\left|{2{{X''}_{1}}+{{X''}_{2}}}\right|^{a}}\end{array}}\ }$

y:

${\displaystyle \left[{\begin{array}{*{20}{c}}{{L'}_{11}}\\{{L'}_{12}}\\{{L'}_{21}}\\{{L'}_{22}}\\{{L'}_{66}}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{*{20}{c}}{2/3}&0&0\\{-1/3}&0&0\\0&{-1/3}&0\\0&{-2/3}&0\\0&0&1\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{*{20}{c}}{\alpha _{1}}\\{\alpha _{2}}\\{\alpha _{7}}\end{array}}\right],\left[{\begin{array}{*{20}{c}}{{L''}_{11}}\\{{L''}_{12}}\\{{L''}_{21}}\\{{L''}_{22}}\\{{L''}_{66}}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{*{20}{c}}{-2}&2&8&{-2}&0\\1&{-4}&{-4}&4&0\\4&{-4}&{-4}&4&0\\{-2}&8&2&{-2}&0\\0&0&0&0&1\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{*{20}{c}}{\alpha _{3}}\\{\alpha _{4}}\\{\alpha _{5}}\\{\alpha _{6}}\\{\alpha _{8}}\end{array}}\right]}$

donde se identifican ocho parámetros del modelo Yld2000-2D de Barlat con un conjunto de experimentos. ${\displaystyle \alpha _{1}...\alpha _{8}}$

Ver también

• Rendimiento (ingeniería)
• Plasticidad (física)
• Estrés
• Henri Tresca
• El estrés de von Mises
• Teoría de Mohr-Coulomb
• Criterio de rendimiento en colinas
• Criterio de rendimiento de Hosford
• Cepa
• tensor de deformación
• Tensor estrés-energía
• Concentración de estrés
• elasticidad tridimensional
• Frederic Barlat

Referencias

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