Vector de Witt

En matemáticas , un vector de Witt es una secuencia infinita de elementos de un anillo conmutativo . Ernst Witt mostró cómo poner una estructura de anillo en el conjunto de vectores de Witt, de tal manera que el anillo de vectores de Witt sobre el cuerpo finito de orden primo p es isomorfo a , el anillo de números enteros p -ádicos . Tienen una estructura altamente no intuitiva ^{[1] a primera vista porque su estructura aditiva y multiplicativa depende de un conjunto infinito de fórmulas recursivas que no se comportan como fórmulas de adición y multiplicación para números enteros} p -ádicos estándar . ${\displaystyle W(\mathbb {F} _{p})}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$

La idea principal ^[1] detrás de los vectores de Witt es que en lugar de utilizar la expansión p -ádica estándar

${\displaystyle a=a_{0}+a_{1}p+a_{2}p^{2}+\cdots }$

Para representar un elemento en , podemos considerar en cambio una expansión utilizando el carácter de Teichmüller ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$

${\displaystyle \omega :\mathbb {F} _{p}^{*}\to \mathbb {Z} _{p}^{*}}$

que envía cada elemento del conjunto solución de en a un elemento del conjunto solución de en . Es decir, desarrollamos los elementos de en en términos de raíces de la unidad en lugar de como elementos profinitos en . Podemos expresar entonces un entero p -ádico como una suma infinita ${\displaystyle x^{p-1}-1}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ ${\displaystyle x^{p-1}-1}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle \prod \mathbb {F} _{p}}$

${\displaystyle \omega (a)=\omega (a_{0})+\omega (a_{1})p+\omega (a_{2})p^{2}+\cdots }$

lo que da un vector de Witt

${\displaystyle (\omega (a_{0}),\omega (a_{1}),\omega (a_{2}),\ldots )}$

Entonces, la estructura aditiva y multiplicativa no trivial en los vectores de Witt proviene del uso de este mapa para dar una estructura aditiva y multiplicativa tal que induce un homomorfismo de anillo conmutativo . ${\displaystyle W(\mathbb {F} _{p})}$ ${\displaystyle \omega }$

Historia

En el siglo XIX, Ernst Eduard Kummer estudió extensiones cíclicas de cuerpos como parte de su trabajo sobre el Último Teorema de Fermat . Esto condujo al tema ahora conocido como teoría de Kummer . Sea un cuerpo que contiene una raíz primitiva -ésima de la unidad. La teoría de Kummer clasifica las extensiones de campo cíclicas de grado de . Dichos campos están en biyección con grupos cíclicos de orden , donde corresponde a . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \Delta \subseteq k^{\times }/(k^{\times })^{n}}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle K=k({\sqrt[{n}]{\Delta }}\,)}$

Pero supongamos que tiene característica . El problema de estudiar extensiones de grado de , o más generalmente extensiones de grado, puede parecer superficialmente similar a la teoría de Kummer. Sin embargo, en esta situación, no puede contener una raíz -ésima primitiva de la unidad. De hecho, si es una raíz -ésima de la unidad en , entonces satisface . Pero considere la expresión . Al desarrollar utilizando coeficientes binomiales vemos que la operación de elevar a la -ésima potencia, conocida aquí como el homomorfismo de Frobenius , introduce el factor en cada coeficiente excepto el primero y el último, y por lo tanto módulo estas ecuaciones son las mismas. Por lo tanto . En consecuencia, la teoría de Kummer nunca es aplicable a extensiones cuyo grado es divisible por la característica. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle p^{n}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle x^{p}=1}$ ${\displaystyle (x-1)^{p}=0}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x=1}$

El caso en el que la característica divide el grado se llama hoy teoría de Artin-Schreier porque el primer avance lo hicieron Artin y Schreier. Su motivación inicial fue el teorema de Artin-Schreier , que caracteriza a los cuerpos cerrados reales como aquellos cuyo grupo de Galois absoluto tiene orden dos. ^[2] Esto los inspiró a preguntar qué otros cuerpos tenían grupos de Galois absolutos finitos . En medio de la prueba de que no existen otros cuerpos de ese tipo, demostraron que las extensiones de grado de un cuerpo de característica eran lo mismo que los cuerpos de división de polinomios de Artin-Schreier . Estos son por definición de la forma Al repetir su construcción, describieron extensiones de grado. Abraham Adrian Albert usó esta idea para describir extensiones de grado. Cada repetición implicaba condiciones algebraicas complicadas para asegurar que la extensión del cuerpo fuera normal . ^[3] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x^{p}-x-a.}$ ${\displaystyle p^{2}}$ ${\displaystyle p^{n}}$

Schmid ^[4] generalizó aún más a álgebras cíclicas no conmutativas de grado . En el proceso de hacerlo, aparecieron ciertos polinomios relacionados con la adición de enteros -ádicos. Witt se apoderó de estos polinomios. Al usarlos sistemáticamente, pudo dar construcciones simples y unificadas de extensiones de cuerpos de grado y álgebras cíclicas. Específicamente, introdujo un anillo ahora llamado , el anillo de vectores de Witt -truncados -típicos . Este anillo tiene como cociente , y viene con un operador que se llama operador de Frobenius porque se reduce al operador de Frobenius en . Witt observa que el análogo de grado de los polinomios de Artin-Schreier es ${\displaystyle p^{n}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p^{n}}$ ${\displaystyle W_{n}(k)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle p^{n}}$

${\displaystyle F(x)-x-a,}$

donde . Para completar la analogía con la teoría de Kummer, definamos que es el operador Entonces las extensiones de grado de están en correspondencia biyectiva con subgrupos cíclicos de orden , donde corresponde al cuerpo . ${\displaystyle a\in W_{n}(k)}$ ${\displaystyle \wp }$ ${\displaystyle x\mapsto F(x)-x.}$ ${\displaystyle p^{n}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \Delta \subseteq W_{n}(k)/\wp (W_{n}(k))}$ ${\displaystyle p^{n}}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle k(\wp ^{-1}(\Delta ))}$

Motivación

Cualquier entero -ádico (un elemento de , que no debe confundirse con ) puede escribirse como una serie de potencias , donde los se toman generalmente del intervalo entero . Es difícil proporcionar una expresión algebraica para la adición y la multiplicación utilizando esta representación, ya que uno se enfrenta al problema de llevar entre dígitos. Sin embargo, tomar coeficientes representativos es solo una de muchas opciones, y el propio Hensel (el creador de los números -ádicos) sugirió las raíces de la unidad en el campo como representantes. Estos representantes son, por lo tanto, el número junto con las raíces de la unidad; es decir, las soluciones de en , de modo que . Esta elección se extiende naturalmente a las extensiones de anillo de en las que el campo de residuos se amplía a con , alguna potencia de . De hecho, son estos campos (los campos de fracciones de los anillos) los que motivaron la elección de Hensel. Ahora los representantes son las soluciones en el campo para . Llamemos al campo , con una raíz primitiva apropiada de la unidad (sobre ). Los representantes son entonces y para . Dado que estos representantes forman un conjunto multiplicativo, pueden considerarse como caracteres. Unos treinta años después de los trabajos de Hensel, Teichmüller estudió estos caracteres, que ahora llevan su nombre, y esto lo llevó a una caracterización de la estructura de todo el cuerpo en términos del cuerpo de residuos. Estos representantes de Teichmüller pueden identificarse con los elementos del cuerpo finito de orden tomando residuos módulo en , y los elementos de son tomados como sus representantes por el carácter de Teichmüller . Esta operación identifica el conjunto de números enteros en con secuencias infinitas de elementos de . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} =\mathbb {F} _{p}}$ ${\displaystyle a_{0}+a_{1}p^{1}+a_{2}p^{2}+\cdots }$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle [0,p-1]=\{0,1,2,\ldots ,p-1\}}$ ${\displaystyle a_{i}\in [0,p-1]}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle (p-1)^{\text{st}}}$ ${\displaystyle x^{p}-x=0}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle a_{i}=a_{i}^{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$ ${\displaystyle q=p^{f}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle x^{q}-x=0}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}(\eta )}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle (q-1)^{\text{th}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \eta ^{i}}$ ${\displaystyle 0\leq i\leq q-2}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}(\eta )}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}^{\times }}$ ${\displaystyle \omega :\mathbb {F} _{q}^{\times }\to \mathbb {Z} _{p}(\eta )^{\times }}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}(\eta )}$ ${\displaystyle \omega (\mathbb {F} _{q}^{\times })\cup \{0\}}$

Tomando esos representantes, las expresiones para la adición y la multiplicación pueden escribirse en forma cerrada. Ahora tenemos el siguiente problema (enunciado para el caso más simple: ): dadas dos secuencias infinitas de elementos de describamos su suma y producto como números enteros p -ádicos explícitamente. Este problema fue resuelto por Witt usando vectores de Witt. ${\displaystyle q=p}$ ${\displaystyle \omega (\mathbb {F} _{p}^{\times })\cup \{0\},}$

Bosquejo motivacional detallado

Derivamos el anillo de enteros -ádicos del campo finito utilizando una construcción que se generaliza naturalmente a la construcción vectorial de Witt. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}=\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$

El anillo de los números enteros p -ádicos puede entenderse como el límite inverso de los anillos tomados a lo largo de las proyecciones obvias. En concreto, está formado por las sucesiones con tales que para Es decir, cada elemento sucesivo de la sucesión es igual a los elementos anteriores módulo una potencia inferior de p ; este es el límite inverso de las proyecciones ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{i}\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle (n_{0},n_{1},\ldots )}$ ${\displaystyle n_{i}\in \mathbb {Z} /p^{i+1}\mathbb {Z} ,}$ ${\displaystyle n_{j}\equiv n_{i}{\bmod {p}}^{i+1}}$ ${\displaystyle j\geq i.}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{i+1}\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /p^{i}\mathbb {Z} .}$

Los elementos de pueden expandirse como series de potencias (formales) en ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle a_{0}+a_{1}p^{1}+a_{2}p^{2}+\cdots ,}$

donde los coeficientes se toman del intervalo entero Por supuesto, esta serie de potencias normalmente no convergerá en el uso de la métrica estándar en los números reales , pero sí convergerá en con la métrica p -ádica . Esbozaremos un método para definir operaciones de anillo para tales series de potencias. ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle [0,p-1]=\{0,1,\ldots ,p-1\}.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p},}$

Si se denota por , se podría considerar la siguiente definición para la adición: ${\displaystyle a+b}$ ${\displaystyle c}$

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{0}&\equiv a_{0}+b_{0}&&{\bmod {p}}\\c_{0}+c_{1}p&\equiv (a_{0}+b_{0})+(a_{1}+b_{1})p&&{\bmod {p}}^{2}\\c_{0}+c_{1}p+c_{2}p^{2}&\equiv (a_{0}+b_{0})+(a_{1}+b_{1})p+(a_{2}+b_{2})p^{2}&&{\bmod {p}}^{3}\end{aligned}}}$

Se podría hacer una definición similar para la multiplicación. Sin embargo, no se trata de una fórmula cerrada, ya que los nuevos coeficientes no están en el conjunto permitido. ${\displaystyle [0,p-1].}$

Representación de elementos en F_pagcomo elementos en el anillo de vectores de Witt W(F_pag)

Hay un subconjunto de coeficientes mejor de los cuales sí produce fórmulas cerradas, los representantes de Teichmüller : cero junto con las raíces de la unidad. Se pueden calcular explícitamente (en términos de los representantes de coeficientes originales ) como raíces de mediante el levantamiento de Hensel , la versión p -ádica del método de Newton . Por ejemplo, en para calcular el representante de uno comienza por encontrar la solución única de en con ; se obtiene Repitiendo esto en con las condiciones y , se obtiene y así sucesivamente; el representante de Teichmüller resultante de , denotado , es la secuencia ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle (p-1)^{\text{th}}}$ ${\displaystyle [0,p-1]}$ ${\displaystyle x^{p-1}-1=0}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{5},}$ ${\displaystyle 2,}$ ${\displaystyle x^{4}-1=0}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /25\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle x\equiv 2{\bmod {5}}}$ ${\displaystyle 7.}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /125\mathbb {Z} ,}$ ${\displaystyle x^{4}-1=0}$ ${\displaystyle x\equiv 7{\bmod {2}}5}$ ${\displaystyle 57,}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \omega (2)}$

${\displaystyle \omega (2)=(2,7,57,\ldots )\in W(\mathbb {F} _{5}).}$

La existencia de un ascensor en cada escalón está garantizada por el máximo común divisor en cada ${\displaystyle (x^{p-1}-1,(p-1)x^{p-2})=1}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} .}$

Este algoritmo muestra que para cada , hay exactamente un representante de Teichmüller con , que denotamos De hecho, esto define el carácter de Teichmüller como un homomorfismo de grupo (multiplicativo) , que además satisface si denotamos la proyección canónica. Sin embargo, tenga en cuenta que no es aditivo, ya que la suma no necesita ser un representante. A pesar de esto, si en entonces en ${\displaystyle j\in [0,p-1]}$ ${\displaystyle a_{0}=j}$ ${\displaystyle \omega (j).}$ ${\displaystyle \omega :\mathbb {F} _{p}^{*}\to \mathbb {Z} _{p}^{*}}$ ${\displaystyle m\circ \omega =\mathrm {id} _{\mathbb {F} _{p}}}$ ${\displaystyle m:\mathbb {Z} _{p}\to \mathbb {Z} _{p}/p\mathbb {Z} _{p}\cong \mathbb {F} _{p}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega (k)\equiv \omega (i)+\omega (j){\bmod {p}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p},}$ ${\displaystyle i+j=k}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}.}$

Representación de elementos en Z_pagcomo elementos en el anillo de vectores de Witt W(F_pag)

Debido a esta correspondencia uno a uno dada por , se puede desarrollar cada entero p -ádico como una serie de potencias en p con coeficientes tomados de los representantes de Teichmüller. Se puede dar un algoritmo explícito, como sigue. Escriba el representante de Teichmüller como Entonces, si uno tiene algún entero p -ádico arbitrario de la forma se toma la diferencia dejando un valor divisible por . Por lo tanto, . Luego se repite el proceso, restando y procediendo de la misma manera. Esto produce una secuencia de congruencias ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega (t_{0})=t_{0}+t_{1}p^{1}+t_{2}p^{2}+\cdots .}$ ${\displaystyle x=x_{0}+x_{1}p^{1}+x_{2}p^{2}+\cdots ,}$ ${\displaystyle x-\omega (x_{0})=x'_{1}p^{1}+x'_{2}p^{2}+\cdots ,}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x-\omega (x_{0})=0{\bmod {p}}}$ ${\displaystyle \omega (x'_{1})p}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x&\equiv \omega (x_{0})&&{\bmod {p}}\\x&\equiv \omega (x_{0})+\omega (x'_{1})p&&{\bmod {p}}^{2}\\&\cdots \end{aligned}}}$

De modo que

${\displaystyle x\equiv \sum _{j=0}^{i}\omega ({\bar {x}}_{j})p^{j}{\bmod {p}}^{i+1}}$

e implica: ${\displaystyle i'>i}$

${\displaystyle \sum _{j=0}^{i'}\omega ({\bar {x}}_{j})p^{j}\equiv \sum _{j=0}^{i}\omega ({\bar {x}}_{j})p^{j}{\bmod {p}}^{i+1}}$

para

${\displaystyle {\bar {x}}_{i}:=m\left({\frac {x-\sum _{j=0}^{i-1}\omega ({\bar {x}}_{j})p^{j}}{p^{i}}}\right).}$

Por lo tanto, tenemos una serie de potencias para cada residuo de x módulo potencias de p , pero con coeficientes en los representantes de Teichmüller en lugar de . Está claro que ${\displaystyle \{0,\ldots ,p-1\}}$

${\displaystyle \sum _{j=0}^{\infty }\omega ({\bar {x}}_{j})p^{j}=x,}$

desde

${\displaystyle p^{i+1}\mid x-\sum _{j=0}^{i}\omega ({\bar {x}}_{j})p^{j}}$

para todos , por lo que la diferencia tiende a 0 con respecto a la métrica p -ádica. Los coeficientes resultantes normalmente diferirán del módulo, excepto el primero. ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i\to \infty ,}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle p^{i}}$

Propiedades adicionales de los elementos en el anillo de vectores de Witt que motivan la definición general

Los coeficientes de Teichmüller tienen la propiedad adicional clave que falta para los números en . Esto se puede utilizar para describir la adición, como sigue. Considere la ecuación en y sean los coeficientes ahora como en la expansión de Teichmüller. Dado que el carácter de Teichmüller no es aditivo, no es cierto en . Pero se cumple en como implica la primera congruencia. En particular, ${\displaystyle \omega ({\bar {x}}_{i})^{p}=\omega ({\bar {x}}_{i}),}$ ${\displaystyle [0,p-1]}$ ${\textstyle c=a+b}$ ${\textstyle \mathbb {Z} _{p}}$ ${\textstyle a_{i},b_{i},c_{i}\in \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle c_{0}=a_{0}+b_{0}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{p},}$

${\displaystyle c_{0}^{p}\equiv (a_{0}+b_{0})^{p}{\bmod {p}}^{2},}$

y por lo tanto

${\displaystyle c_{0}-a_{0}-b_{0}\equiv (a_{0}+b_{0})^{p}-a_{0}-b_{0}\equiv {\binom {p}{1}}a_{0}^{p-1}b_{0}+\cdots +{\binom {p}{p-1}}a_{0}b_{0}^{p-1}{\bmod {p}}^{2}.}$

Como el coeficiente binomial es divisible por , esto da ${\displaystyle {\binom {p}{i}}}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle c_{1}\equiv a_{1}+b_{1}-a_{0}^{p-1}b_{0}-{\frac {p-1}{2}}a_{0}^{p-2}b_{0}^{2}-\cdots -a_{0}b_{0}^{p-1}{\bmod {p}}.}$

Esto está completamente determinado por la sustentación. Además, el módulo de congruencia indica que el cálculo puede realizarse realmente para satisfacer el objetivo básico de definir una estructura aditiva simple. ${\displaystyle c_{1}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{p},}$

Porque este paso ya es muy engorroso. Escribe ${\displaystyle c_{2}}$

${\displaystyle c_{1}=c_{1}^{p}\equiv \left(a_{1}+b_{1}-a_{0}^{p-1}b_{0}-{\frac {p-1}{2}}a_{0}^{p-2}b_{0}^{2}-\cdots -a_{0}b_{0}^{p-1}\right)^{p}{\bmod {p}}^{2}.}$

Así como para un solo poder no basta: hay que tomar ${\displaystyle c_{0},}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle c_{0}=c_{0}^{p^{2}}\equiv (a_{0}+b_{0})^{p^{2}}{\bmod {p}}^{3}.}$

Sin embargo, no es en general divisible por pero es divisible cuando en cuyo caso combinado con monomios similares en formará un múltiplo de . ${\displaystyle {\binom {p^{2}}{i}}}$ ${\displaystyle p^{2},}$ ${\displaystyle i=pd,}$ ${\displaystyle a^{i}b^{p^{2}-i}=a^{d}b^{p-d}}$ ${\displaystyle c_{1}^{p}}$ ${\displaystyle p^{2}}$

En este paso, queda claro que en realidad se está trabajando con la adición de la forma

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{0}&\equiv a_{0}+b_{0}&&{\bmod {p}}\\c_{0}^{p}+c_{1}p&\equiv a_{0}^{p}+a_{1}p+b_{0}^{p}+b_{1}p&&{\bmod {p}}^{2}\\c_{0}^{p^{2}}+c_{1}^{p}p+c_{2}p^{2}&\equiv a_{0}^{p^{2}}+a_{1}^{p}p+a_{2}p^{2}+b_{0}^{p^{2}}+b_{1}^{p}p+b_{2}p^{2}&&{\bmod {p}}^{3}\end{aligned}}}$

Esto motiva la definición de vectores de Witt.

Construcción de anillos de Witt

Fije un número primo p . Un vector de Witt ^[5] sobre un anillo conmutativo (relativo al primo ) es una secuencia de elementos de . Defina los polinomios de Witt mediante ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle (X_{0},X_{1},X_{2},\ldots )}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle W_{i}}$

1. ${\displaystyle W_{0}=X_{0}}$
2. ${\displaystyle W_{1}=X_{0}^{p}+pX_{1}}$
3. ${\displaystyle W_{2}=X_{0}^{p^{2}}+pX_{1}^{p}+p^{2}X_{2}}$

y en general

${\displaystyle W_{n}=\sum _{i=0}^{n}p^{i}X_{i}^{p^{n-i}}.}$

Los se denominan componentes fantasma del vector de Witt y, por lo general, se denotan por ; tomados en conjunto, definen el mapa fantasma como . Si es p -libre de torsión, entonces el mapa fantasma es inyectivo y los componentes fantasma pueden considerarse como un sistema de coordenadas alternativo para el módulo - de secuencias (aunque tenga en cuenta que el mapa fantasma no es sobreyectivo a menos que sea p -divisible). ${\displaystyle W_{n}}$ ${\displaystyle (X_{0},X_{1},X_{2},\ldots )}$ ${\displaystyle X^{(n)}}$ ${\displaystyle W_{n}}$ ${\textstyle \prod _{i=0}^{\infty }R}$ ${\textstyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\textstyle R}$

El anillo de vectores de Witt ( p -típicos) se define mediante la suma y multiplicación de los componentes fantasma. Es decir, existe una única forma de convertir el conjunto de vectores de Witt sobre cualquier anillo conmutativo en un anillo tal que: ${\displaystyle W(R)}$ ${\displaystyle R}$

1. La suma y el producto están dados por polinomios con coeficientes enteros que no dependen de , y ${\displaystyle R}$
2. La proyección a cada componente fantasma es un homomorfismo de anillo de los vectores de Witt sobre , hasta . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$

En otras palabras,

• ${\displaystyle (X+Y)_{i}}$y están dados por polinomios con coeficientes enteros que no dependen de R , y ${\displaystyle (XY)_{i}}$

• ${\displaystyle X^{(i)}+Y^{(i)}=(X+Y)^{(i)}}$y ${\displaystyle X^{(i)}Y^{(i)}=(XY)^{(i)}.}$

Los primeros polinomios que dan la suma y el producto de los vectores de Witt se pueden escribir explícitamente. Por ejemplo,

${\displaystyle (X_{0},X_{1},\ldots )+(Y_{0},Y_{1},\ldots )=(X_{0}+Y_{0},X_{1}+Y_{1}-((X_{0}+Y_{0})^{p}-X_{0}^{p}-Y_{0}^{p})/p,\ldots )}$

${\displaystyle (X_{0},X_{1},\ldots )\times (Y_{0},Y_{1},\ldots )=(X_{0}Y_{0},X_{0}^{p}Y_{1}+X_{1}Y_{0}^{p}+pX_{1}Y_{1},\ldots )}$

Estos deben entenderse como atajos para las fórmulas reales: si, por ejemplo, el anillo tiene la característica , la división por en la primera fórmula anterior, la por la que aparecería en el siguiente componente y así sucesivamente, no tienen sentido. Sin embargo, si se desarrolla la potencia de la suma, los términos se cancelan con los anteriores y los restantes se simplifican por , no queda ninguna división por y la fórmula tiene sentido. La misma consideración se aplica a los componentes siguientes. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p^{2}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X_{0}^{p}+Y_{0}^{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$

Ejemplos de suma y multiplicación

Como era de esperar, el elemento identidad en el anillo de vectores de Witt es el elemento ${\displaystyle W(A)}$

${\displaystyle {\underline {1}}=(1,0,0,\ldots )}$

Añadir este elemento a sí mismo da una secuencia no trivial, por ejemplo en , ${\displaystyle W(\mathbb {F} _{5})}$

${\displaystyle {\underline {1}}+{\underline {1}}=(2,4,\ldots )}$

desde

${\displaystyle {\begin{aligned}2&=1+1\\4&=-{\frac {32-1-1}{5}}\mod 5\\&\cdots \end{aligned}}}$

que no es el comportamiento esperado, ya que no es igual a . Pero, cuando reducimos con el mapa , obtenemos . Observe que si tenemos un elemento y un elemento entonces ${\displaystyle {\underline {2}}}$ ${\displaystyle m:W(\mathbb {F} _{5})\to \mathbb {F} _{5}}$ ${\displaystyle m(\omega (1)+\omega (1))=m(\omega (2))}$ ${\displaystyle x\in A}$ ${\displaystyle a\in W(A)}$

${\displaystyle {\underline {x}}a=(xa_{0},x^{p}a_{1},\ldots ,x^{p^{n}}a_{n},\ldots )}$

Mostrar que la multiplicación también se comporta de una manera muy no trivial.

Ejemplos

• El anillo de Witt de cualquier anillo conmutativo en el que es invertible es simplemente isomorfo a (el producto de un número contable de copias de ). De hecho, los polinomios de Witt siempre dan un homomorfismo del anillo de vectores de Witt a , y si es invertible este homomorfismo es un isomorfismo. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle R^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle p}$

• El anillo de Witt del cuerpo finito de orden es el anillo de los enteros -ádicos escritos en términos de los representantes de Teichmüller, como se demostró anteriormente. ${\displaystyle W(\mathbb {F} _{p})\cong \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$

• El anillo de Witt de un cuerpo finito de orden es el anillo de los números enteros de la única extensión no ramificada de grado del anillo de los números -ádicos . Nótese que para la raíz -ésima de la unidad, por lo tanto . ${\displaystyle W(\mathbb {F} _{q})\cong {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle p^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle K/\mathbb {Q} _{p}}$ ${\displaystyle K\cong \mathbb {Q} _{p}(\mu _{q-1})}$ ${\displaystyle \mu _{q-1}}$ ${\displaystyle (q-1)}$ ${\displaystyle W(\mathbb {F} _{q})\cong \mathbb {Z} _{p}[\mu _{q-1}]}$

Vectores de Witt universal

Los polinomios de Witt para diferentes primos son casos especiales de polinomios de Witt universales, que se pueden utilizar para formar un anillo de Witt universal (que no depende de la elección del primo ) . Defina los polinomios de Witt universales para ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle W_{n}}$ ${\displaystyle n\geq 1}$

1. ${\displaystyle W_{1}=X_{1}}$
2. ${\displaystyle W_{2}=X_{1}^{2}+2X_{2}}$
3. ${\displaystyle W_{3}=X_{1}^{3}+3X_{3}}$
4. ${\displaystyle W_{4}=X_{1}^{4}+2X_{2}^{2}+4X_{4}}$

y en general

${\displaystyle W_{n}=\sum _{d|n}dX_{d}^{n/d}.}$

Nuevamente, se llama vector de componentes fantasma del vector de Witt , y usualmente se denota por . ${\displaystyle (W_{1},W_{2},W_{3},\ldots )}$ ${\displaystyle (X_{1},X_{2},X_{3},\ldots )}$ ${\displaystyle (X^{(1)},X^{(2)},X^{(3)},\ldots )}$

Podemos utilizar estos polinomios para definir el anillo de vectores de Witt universales o el gran anillo de Witt de cualquier anillo conmutativo de forma muy similar a la anterior (por lo que los polinomios de Witt universales son todos homomorfismos del anillo ). ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$

Funciones generadoras

Witt también proporcionó otro enfoque utilizando funciones generadoras . ^[6]

Definición

Sea un vector de Witt y definamos ${\displaystyle X}$

${\displaystyle f_{X}(t)=\prod _{n\geq 1}(1-X_{n}t^{n})=\sum _{n\geq 0}A_{n}t^{n}}$

Para denotar la colección de subconjuntos cuyos elementos suman . Entonces ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{n}}$ ${\displaystyle \{1,2,\ldots ,n\}}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle A_{n}=\sum _{I\in {\mathcal {I}}_{n}}(-1)^{|I|}\prod _{i\in I}{X_{i}}.}$

Podemos obtener los componentes fantasma tomando la derivada logarítmica :

${\displaystyle {\begin{aligned}-t{\frac {d}{dt}}\log f_{X}(t)&=-t{\frac {d}{dt}}\sum _{n\geq 1}\log(1-X_{n}t^{n})\\&=t{\frac {d}{dt}}\sum _{n\geq 1}\sum _{d\geq 1}{\frac {X_{n}^{d}t^{nd}}{d}}\\&=\sum _{n\geq 1}\sum _{d\geq 1}nX_{n}^{d}t^{nd}\\&=\sum _{m\geq 1}\sum _{d|m}dX_{d}^{m/d}t^{m}\\&=\sum _{m\geq 1}X^{(m)}t^{m}\end{aligned}}}$

Suma

Ahora podemos ver si . De modo que ${\displaystyle f_{Z}(t)=f_{X}(t)f_{Y}(t)}$ ${\displaystyle Z=X+Y}$

${\displaystyle C_{n}=\sum _{0\leq i\leq n}A_{n}B_{n-i},}$

Si son los coeficientes respectivos en la serie de potencias . Entonces ${\displaystyle A_{n},B_{n},C_{n}}$ ${\displaystyle f_{X}(t),f_{Y}(t),f_{Z}(t)}$

${\displaystyle Z_{n}=\sum _{0\leq i\leq n}A_{n}B_{n-i}-\sum _{I\in {\mathcal {I}}_{n},I\neq \{n\}}(-1)^{|I|}\prod _{i\in I}{Z_{i}}.}$

Como es un polinomio en y también para , podemos demostrar por inducción que es un polinomio en ${\displaystyle A_{n}}$ ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ ${\displaystyle B_{n}}$ ${\displaystyle Z_{n}}$ ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n},Y_{1},\ldots ,Y_{n}.}$

Producto

Si establecemos entonces ${\displaystyle W=XY}$

${\displaystyle -t{\frac {d}{dt}}\log f_{W}(t)=-\sum _{m\geq 1}X^{(m)}Y^{(m)}t^{m}.}$

Pero

${\displaystyle \sum _{m\geq 1}X^{(m)}Y^{(m)}t^{m}=\sum _{m\geq 1}\sum _{d|m}dX_{d}^{m/d}\sum _{e|m}eY_{e}^{m/e}t^{m}}$.

Ahora las 3-tuplas con están en biyección con las 3-tuplas con , mediante ( es el mínimo común múltiplo ), nuestra serie se convierte en ${\displaystyle {m,d,e}}$ ${\displaystyle m\in \mathbb {Z} ^{+},d\,|\,m,e\,|\,m}$ ${\displaystyle {d,e,n}}$ ${\displaystyle d,e,n\in \mathbb {Z} ^{+}}$ ${\displaystyle n=m/[d,e]}$ ${\displaystyle [d,e]}$

${\displaystyle \sum _{d,e\geq 1}de\sum _{n\geq 1}\left(X_{d}^{\frac {[d,e]}{d}}Y_{e}^{\frac {[d,e]}{e}}t^{[d,e]}\right)^{n}=-t{\frac {d}{dt}}\log \prod _{d,e\geq 1}\left(1-X_{d}^{\frac {[d,e]}{d}}Y_{e}^{\frac {[d,e]}{e}}t^{[d,e]}\right)^{\frac {de}{[d,e]}}}$

De modo que

${\displaystyle f_{W}(t)=\prod _{d,e\geq 1}\left(1-X_{d}^{\frac {[d,e]}{d}}Y_{e}^{\frac {[d,e]}{e}}t^{[d,e]}\right)^{\frac {de}{[d,e]}}=\sum _{n\geq 0}D_{n}t^{n},}$

¿Dónde están los polinomios de ? Por inducción similar, supongamos ${\displaystyle D_{n}}$ ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n},Y_{1},\ldots ,Y_{n}.}$

${\displaystyle f_{W}(t)=\prod _{n\geq 1}(1-W_{n}t^{n}),}$

entonces se pueden resolver como polinomios de ${\displaystyle W_{n}}$ ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n},Y_{1},\ldots ,Y_{n}.}$

Esquemas de anillos

La función que toma un anillo conmutativo al anillo de vectores de Witt sobre (para un primo fijo ) es un funtor de anillos conmutativos a anillos conmutativos, y también es representable , por lo que puede considerarse como un esquema de anillo , llamado esquema de Witt , sobre El esquema de Witt puede identificarse canónicamente con el espectro del anillo de funciones simétricas . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} (\mathbb {Z} ).}$

De manera similar, los anillos de vectores de Witt truncados y los anillos de vectores de Witt universales corresponden a esquemas de anillo, llamados esquemas de Witt truncados y esquema de Witt universal .

Además, el funtor que toma el anillo conmutativo al conjunto está representado por el espacio afín , y la estructura de anillo en se convierte en un esquema de anillo denotado . A partir de la construcción de vectores de Witt truncados, se deduce que su esquema de anillo asociado es el esquema con la estructura de anillo única tal que el morfismo dado por los polinomios de Witt es un morfismo de esquemas de anillo. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Z} }^{n}}$ ${\displaystyle R^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Z} }^{n}}$ ${\displaystyle {\underline {\mathcal {O}}}^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {W} _{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Z} }^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {W} _{n}\to {\underline {\mathcal {O}}}^{n}}$

Grupos algebraicos unipotentes conmutativos

Sobre un cuerpo algebraicamente cerrado de característica 0, cualquier grupo algebraico abeliano conexo unipotente es isomorfo a un producto de copias del grupo aditivo . El análogo de esto para cuerpos de característica es falso: los esquemas de Witt truncados son contraejemplos . (Los convertimos en grupos algebraicos olvidando la multiplicación y solo usando la estructura aditiva). Sin embargo, estos son esencialmente los únicos contraejemplos: sobre un cuerpo algebraicamente cerrado de característica , cualquier grupo algebraico abeliano conexo unipotente es isógeno a un producto de esquemas de grupos de Witt truncados. ${\displaystyle G_{a}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$

Propiedad universal

André Joyal explicó la propiedad universal de los vectores de Witt ( p -típicos). ^[7] La ​​intuición básica es que la formación de vectores de Witt es la forma universal de deformar un anillo p característico a característico 0 junto con una elevación de su endomorfismo de Frobenius. ^[8] Para hacer esto preciso, defina un anillo como si consistiera en un anillo conmutativo junto con un mapa de conjuntos que es una p -derivación , de modo que satisface las relaciones ${\displaystyle \delta }$ ${\textstyle (R,\delta )}$ ${\textstyle R}$ ${\textstyle \delta :R\to R}$ ${\textstyle \delta }$

• ${\displaystyle \delta (0)=\delta (1)=0}$;
• ${\displaystyle \delta (xy)=x^{p}\delta (y)+y^{p}\delta (x)+p\delta (x)\delta (y)}$;
• ${\displaystyle \delta (x+y)=\delta (x)+\delta (y)+{\frac {x^{p}+y^{p}-(x+y)^{p}}{p}}}$.

La definición es tal que dado un -anillo , si se define la función por la fórmula , entonces es un homomorfismo de anillo que eleva a Frobenius sobre . Por el contrario, si es p -libre de torsión, entonces esta fórmula define de forma única la estructura de un -anillo sobre a partir de la de un levantamiento de Frobenius. Por lo tanto, se puede considerar la noción de -anillo como un reemplazo adecuado para un levantamiento de Frobenius en el caso no p -libre de torsión. ${\displaystyle \delta }$ ${\textstyle (R,\delta )}$ ${\textstyle \phi :R\to R}$ ${\textstyle \phi (x)=x^{p}+p\delta (x)}$ ${\textstyle \phi }$ ${\displaystyle R/p}$ ${\textstyle R}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\textstyle R}$ ${\displaystyle \delta }$

La colección de -rings y homomorfismos de anillos de los mismos respecto de la -estructura se ensambla en una categoría . Entonces se tiene un funtor olvidadizo cuyo adjunto derecho se identifica con el funtor de los vectores de Witt. De hecho, el funtor crea límites y colimites y admite un adjunto izquierdo explícitamente descriptible como un tipo de funtor libre ; a partir de esto, no es difícil demostrar que hereda la presentabilidad local de de modo que se puede construir el funtor apelando al teorema del funtor adjunto . ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \delta }$ ${\textstyle \mathrm {CRing} _{\delta }}$ $${\displaystyle U:\mathrm {CRing} _{\delta }\to \mathrm {CRing} }$$ ${\textstyle W}$ ${\textstyle U}$ ${\textstyle \mathrm {CRing} _{\delta }}$ ${\displaystyle \mathrm {CRing} }$ ${\textstyle W}$

Otro tiene que restringe a un funtor completamente fiel en la subcategoría completa de anillos perfectos de característica p . Su imagen esencial consiste entonces en aquellos anillos que son perfectos (en el sentido de que la función asociada es un isomorfismo) y cuyo anillo subyacente es p -ádicamente completo. ^[9] ${\textstyle W}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\textstyle \phi }$

Véase también

• p -derivación
• Grupo formal
• Artin-Hasse exponencial
• Anillo de collar

Referencias

1. Fisher, Benji (1999). "Notas sobre los vectores de Witt: un enfoque motivado" (PDF) . Archivado (PDF) desde el original el 12 de enero de 2019.
2. Artin, Emil y Schreier, Otto, Über eine Kennzeichnung der reell abgeschlossenen Körper , Abh. Matemáticas. Sem. Hamburgo 3 (1924).
3. AA Albert, Campos cíclicos de grado sobre característica , Bull. Amer. Math. Soc. 40 (1934). ${\displaystyle p^{n}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle p}$
4. Schmid, HL, Zyklische algebraische Funktionenkörper vom Grad p ⁿ über endlichen Konstantenkörper der Charakteristik p , Crelle 175 (1936).
5. Illusion, Luc (1979). "Complexe de de Rham-Witt et cohomologie cristalline". Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure (en francés). 12 (4): 501–661. doi : 10.24033/asens.1374 .
6. Lang, Serge (19 de septiembre de 2005). "Capítulo VI: Teoría de Galois". Álgebra (3ª ed.). Saltador. págs.330. ISBN 978-0-387-95385-4.
7. Joyal, André (1985). "δ-anneaux et vecteurs de Witt". CR Matemáticas. Representante Académico. Ciencia. Canadá . 7 (3): 177–182.
8. "¿Existe una propiedad universal para los vectores de Witt?". MathOverflow . Consultado el 6 de septiembre de 2022 .
9. Bhatt, Bhargav (8 de octubre de 2018). "Conferencia II: Anillos delta" (PDF) . Archivado (PDF) del original el 6 de septiembre de 2022.

Introductorio

• Notas sobre los vectores de Witt: un enfoque motivador - Notas básicas que ofrecen las ideas principales y la intuición. ¡Lo mejor es empezar por aquí!
• La teoría de los vectores de Witt - Introducción elemental a la teoría.
• Complejo de Rham-Witt y cohomología cristalina: Nótese que utiliza una convención diferente pero equivalente a la de este artículo. Además, los puntos principales de la introducción siguen siendo válidos.

Aplicaciones

• Mumford, David (21 de agosto de 1966), Lecciones sobre curvas en una superficie algebraica , Anales de estudios matemáticos, vol. 59, Princeton, NJ: Princeton University Press , ISBN 978-0-691-07993-6
• Serre, Jean-Pierre (1979), Campos locales , Textos de Licenciatura en Matemáticas, vol. 67, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90424-5, Sr.  0554237, sección II.6
• Serre, Jean-Pierre (1988), Grupos algebraicos y campos de clases , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 117, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi :10.1007/978-1-4612-1035-1, ISBN 978-0-387-96648-9, Sr.  0918564
• Greenberg, Marvin J. (1969). Lecciones sobre formas en muchas variables . Nueva York y Ámsterdam: Benjamin. ASIN  B0006BX17M. MR  0241358.

Referencias

• Dolgachev, Igor V. (2001) [1994], "Vector de Witt", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Hazewinkel, Michiel (2009), "Vectores de Witt. I.", Manual de álgebra. vol. 6 , Ámsterdam: Elsevier/Holanda Septentrional, págs. 319–472, arXiv : 0804.3888 , doi : 10.1016/S1570-7954(08)00207-6, ISBN 978-0-444-53257-2, Sr.  2553661
• Witt, Ernst (1936), "Zyklische Körper und Algebren der Characteristik p vom Grad pn. Struktur diskret bewerteter perfekter Körper mit vollkommenem Restklassenkörper der Charakteristik pn", Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (en alemán), 1937 (176): 126 –140, doi :10.1515/crll.1937.176.126