En teoría de categorías , un funtor fiel es un funtor que es inyectivo en conjuntos hom , y un funtor completo es sobreyectivo en conjuntos hom. Un funtor que tiene ambas propiedades se denomina funtor completamente fiel .
Explícitamente, sean C y D categorías ( localmente pequeñas ) y sea F : C → D un funtor de C a D . El funtor F induce una función
para cada par de objetos X e Y en C. Se dice que el funtor F es
para cada X e Y en C.
Un funtor fiel no necesita ser inyectivo sobre objetos o morfismos. Es decir, dos objetos X y X ′ pueden mapearse al mismo objeto en D (razón por la cual el rango de un funtor completo y fiel no es necesariamente isomorfo a C ), y dos morfismos f : X → Y y f ′ : X ′ → Y ′ (con diferentes dominios/codominios) pueden mapearse al mismo morfismo en D . De la misma manera, un funtor completo no necesita ser sobreyectivo sobre objetos o morfismos. Puede haber objetos en D que no sean de la forma FX para algún X en C . Los morfismos entre tales objetos claramente no pueden provenir de morfismos en C .
Un funtor completo y fiel es necesariamente inyectivo sobre objetos hasta el isomorfismo. Es decir, si F : C → D es un funtor completo y fiel y entonces .
La noción de que un funtor sea "completo" o "fiel" no se traduce a la noción de una (∞, 1)-categoría. En una (∞, 1)-categoría, las aplicaciones entre dos objetos cualesquiera están dadas por un espacio solo hasta la homotopía. Dado que la noción de inyección y sobreyección no son nociones invariantes de homotopía (consideremos una incrustación de intervalo en los números reales frente a una aplicación de intervalo a un punto), no tenemos la noción de que un funtor sea "completo" o "fiel". Sin embargo, podemos definir un funtor de cuasi-categorías como completamente fiel si para cada X e Y en C, la aplicación es una equivalencia débil .
