p-derivación

En matemáticas , más específicamente en álgebra diferencial , una p -derivación (para p un número primo ) en un anillo R , es una aplicación de R a R que satisface ciertas condiciones que se describen directamente a continuación. La noción de p -derivación está relacionada con la de derivación en álgebra diferencial.

Definición

Sea p un número primo. Una p -derivada o derivada de Buium en un anillo es una función que satisface la siguiente " regla del producto ": ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \delta :R\to R}$

${\displaystyle \delta _{p}(ab)=\delta _{p}(a)b^{p}+a^{p}\delta _{p}(b)+p\delta _{p}(a)\delta _{p}(b)}$

y la "regla de la suma":

${\displaystyle \delta _{p}(a+b)=\delta _{p}(a)+\delta _{p}(b)+{\frac {a^{p}+b^{p}-(a+b)^{p}}{p}},}$

así como

${\displaystyle \delta _{p}(1)=0.}$

Nótese que en la "regla de la suma" en realidad no estamos dividiendo por p , ya que todos los coeficientes binomiales relevantes en el numerador son divisibles por p , por lo que esta definición se aplica en el caso cuando tiene p - torsión . ${\displaystyle R}$

Relación con los endomorfismos de Frobenius

Un mapa es una elevación del endomorfismo de Frobenius proporcionado . Un ejemplo de una elevación de este tipo podría provenir del mapa de Artin . ${\displaystyle \sigma :R\to R}$ ${\displaystyle \sigma (x)=x^{p}{\pmod {pR}}}$

Si es un anillo con una p -derivación, entonces la función define un endomorfismo de anillo que es una elevación del endomorfismo de Frobenius. Cuando el anillo R está libre de p -torsión , la correspondencia es una biyección . ${\displaystyle (R,\delta )}$ ${\displaystyle \sigma (x):=x^{p}+p\delta (x)}$

Ejemplos

• Para la única p -derivación es el mapa ${\displaystyle R=\mathbb {Z} }$

${\displaystyle \delta (x)={\frac {x-x^{p}}{p}}.}$

El cociente está bien definido gracias al pequeño teorema de Fermat .

• Si R es cualquier anillo libre de p -torsión y es una elevación del endomorfismo de Frobenius entonces ${\displaystyle \sigma :R\to R}$

${\displaystyle \delta (x)={\frac {\sigma (x)-x^{p}}{p}}}$

define una p -derivación.

Véase también

• Vector de Witt
• Derivada aritmética
• Derivación
• Cociente de Fermat

Referencias

• Buium, Alex (1989), Ecuaciones diferenciales aritméticas , Encuestas y monografías matemáticas, Springer-Verlag, ISBN 0-8218-3862-8.

Enlaces externos

• Proyecto Euclides