Déficit esperado

Medida de riesgo financiero

El déficit esperado ( ES ) es una medida de riesgo , un concepto utilizado en el campo de la medición del riesgo financiero para evaluar el riesgo de mercado o el riesgo crediticio de una cartera. El "déficit esperado al nivel q%" es el rendimiento esperado de la cartera en el peor de los casos. ES es una alternativa al valor en riesgo que es más sensible a la forma de la cola de la distribución de pérdidas. ${\displaystyle q\%}$

El déficit esperado también se denomina valor en riesgo condicional ( CVAR ), ^[1] valor promedio en riesgo ( AVaR ), pérdida de cola esperada ( ETL ) y supercuantil . ^[2]

ES estima el riesgo de una inversión de forma conservadora, centrándose en los resultados menos rentables. Para valores elevados se ignoran las posibilidades más rentables pero improbables, mientras que para valores pequeños se centra en las peores pérdidas. Por otro lado, a diferencia de la pérdida máxima descontada , incluso para valores más bajos del déficit esperado no se considera únicamente el resultado más catastrófico. Un valor de uso frecuente en la práctica es el 5%. ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q}$

El déficit esperado se considera una medida de riesgo más útil que el VaR porque es una medida espectral coherente del riesgo de la cartera financiera. Se calcula para un nivel de cuantil determinado y se define como la pérdida media del valor de la cartera dado que se produce una pérdida en el cuantil o por debajo de él. ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q}$

Definicion formal

Si (an L p ) es el pago de una cartera en algún momento futuro y entonces definimos el déficit esperado como ${\displaystyle X\in L^{p}({\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle 0<\alpha <1}$

${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)=-{\frac {1}{\alpha }}\int _{0}^{\alpha }\operatorname {VaR} _{\gamma }(X)\,d\gamma }$

¿Dónde está el valor en riesgo ? Esto se puede escribir de manera equivalente como ${\displaystyle \operatorname {VaR} _{\gamma }}$

${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)=-{\frac {1}{\alpha }}\left(\operatorname {E} [X\ 1_{\{X\leq x_{\alpha }\}}]+x_{\alpha }(\alpha -P[X\leq x_{\alpha }])\right)}$

donde es el cuantil inferior y es la función indicadora . ^[3] Tenga en cuenta que el segundo término desaparece para variables aleatorias con funciones de distribución continua. ${\displaystyle x_{\alpha }=\inf\{x\in \mathbb {R} :P(X\leq x)\geq \alpha \}=-\operatorname {VaR} _{\alpha }(X)}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle 1_{A}(x)={\begin{cases}1&{\text{if }}x\in A\\0&{\text{else}}\end{cases}}}$

La representación dual es

${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)=\inf _{Q\in {\mathcal {Q}}_{\alpha }}E^{Q}[X]}$

¿Dónde está el conjunto de medidas de probabilidad que son absolutamente continuas a la medida física de modo que casi con seguridad ? ^[4] Tenga en cuenta que es el derivado de Radon-Nikodym con respecto a . ${\displaystyle {\mathcal {Q}}_{\alpha }}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle {\frac {dQ}{dP}}\leq \alpha ^{-1}}$ ${\displaystyle {\frac {dQ}{dP}}}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P}$

El déficit esperado se puede generalizar a una clase general de medidas de riesgo coherentes en espacios ( espacio Lp ) con una caracterización dual correspondiente en el espacio dual correspondiente . El dominio se puede ampliar para Corazones Orlicz más generales. ^[5] ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle L^{q}}$

Si la distribución subyacente es una distribución continua, entonces el déficit esperado es equivalente a la expectativa condicional de cola definida por . ^[6] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {TCE} _{\alpha }(X)=E[-X\mid X\leq -\operatorname {VaR} _{\alpha }(X)]}$

De manera informal y no rigurosa, esta ecuación equivale a decir "en caso de pérdidas tan graves que ocurren sólo al alfa por ciento de las veces, ¿cuál es nuestra pérdida promedio?".

El déficit esperado también se puede expresar como una medida del riesgo de distorsión dada por la función de distorsión.

${\displaystyle g(x)={\begin{cases}{\frac {x}{1-\alpha }}&{\text{if }}0\leq x<1-\alpha ,\\1&{\text{if }}1-\alpha \leq x\leq 1.\end{cases}}\quad }$^{[7] [8]}

Ejemplos

Ejemplo 1. Si creemos que nuestra pérdida promedio en el peor 5% de los resultados posibles para nuestra cartera es de 1000 EUR, entonces podríamos decir que nuestro déficit esperado es de 1000 EUR para la cola del 5%.

Ejemplo 2. Considere una cartera que tendrá los siguientes valores posibles al final del período:

Ahora supongamos que pagamos 100 al comienzo del período por esta cartera. Entonces el beneficio en cada caso es ( valor final −100) o:

A partir de esta tabla, calculemos el déficit esperado para algunos valores de : ${\displaystyle \operatorname {ES} _{q}}$ ${\displaystyle q}$

Para ver cómo se calcularon estos valores, considere el cálculo de , la expectativa en el peor 5% de los casos. Estos casos pertenecen (son un subconjunto de) la fila 1 de la tabla de ganancias, que tiene una ganancia de −100 (pérdida total de los 100 invertidos). La ganancia esperada para estos casos es −100. ${\displaystyle \operatorname {ES} _{0.05}}$

Consideremos ahora el cálculo de , la expectativa en los peores 20 de 100 casos. Estos casos son los siguientes: 10 casos de la fila uno y 10 casos de la fila dos (tenga en cuenta que 10+10 equivale a los 20 casos deseados). Para la fila 1 hay una ganancia de −100, mientras que para la fila 2 una ganancia de −20. Usando la fórmula del valor esperado obtenemos ${\displaystyle \operatorname {ES} _{0.20}}$

${\displaystyle {\frac {{\frac {10}{100}}(-100)+{\frac {10}{100}}(-20)}{\frac {20}{100}}}=-60.}$

Lo mismo ocurre con cualquier valor de . Seleccionamos tantas filas comenzando desde arriba como sean necesarias para dar una probabilidad acumulativa y luego calculamos una expectativa sobre esos casos. En general, es posible que la última fila seleccionada no se utilice en su totalidad (por ejemplo, en el cálculo utilizamos solo 10 de los 30 casos por 100 proporcionados por la fila 2). ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle -\operatorname {ES} _{0.20}}$

Como ejemplo final, calcule . Esta es la expectativa en todos los casos, o ${\displaystyle -\operatorname {ES} _{1}}$

${\displaystyle 0.1(-100)+0.3(-20)+0.4\cdot 0+0.2\cdot 50=-6.\,}$

El valor en riesgo (VaR) se proporciona a continuación para comparar.

Propiedades

El déficit esperado aumenta a medida que disminuye. ${\displaystyle \operatorname {ES} _{q}}$ ${\displaystyle q}$

El déficit esperado del 100% del cuantil es igual a negativo del valor esperado de la cartera. ${\displaystyle \operatorname {ES} _{1}}$

Para una cartera determinada, el déficit esperado es mayor o igual al Valor en Riesgo en el mismo nivel. ${\displaystyle \operatorname {ES} _{q}}$ ${\displaystyle \operatorname {VaR} _{q}}$ ${\displaystyle q}$

Optimización del déficit esperado

Se sabe que el déficit esperado, en su forma estándar, conduce a un problema de optimización generalmente no convexo. Sin embargo, es posible transformar el problema en un programa lineal y encontrar la solución global. ^[9] Esta propiedad hace que el déficit esperado sea la piedra angular de las alternativas a la optimización de cartera de media-varianza , que explica los momentos más altos (por ejemplo, asimetría y curtosis) de una distribución de rendimiento.

Supongamos que queremos minimizar el déficit esperado de una cartera. La contribución clave de Rockafellar y Uryasev en su artículo de 2000 es introducir la función auxiliar para el déficit esperado: donde y es una función de pérdida para un conjunto de ponderaciones de cartera que se aplicarán a los rendimientos. Rockafellar/Uryasev demostraron que es convexo con respecto al déficit esperado en el punto mínimo y es equivalente a él. Para calcular numéricamente el déficit esperado para un conjunto de rendimientos de la cartera, es necesario generar simulaciones de los componentes de la cartera; Esto se hace a menudo mediante cópulas . Con estas simulaciones en mano, la función auxiliar se puede aproximar mediante: Esto es equivalente a la formulación: Finalmente, elegir una función de pérdida lineal convierte el problema de optimización en un programa lineal. Utilizando métodos estándar, es fácil encontrar la cartera que minimice el déficit esperado. ${\displaystyle F_{\alpha }(w,\gamma )}$ $${\displaystyle F_{\alpha }(w,\gamma )=\gamma +{1 \over {1-\alpha }}\int _{\ell (w,x)\geq \gamma }\left[\ell (w,x)-\gamma \right]_{+}p(x)\,dx}$$ ${\displaystyle \gamma =\operatorname {VaR} _{\alpha }(X)}$ ${\displaystyle \ell (w,x)}$ ${\displaystyle w\in \mathbb {R} ^{p}}$ ${\displaystyle F_{\alpha }(w,\gamma )}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle J}$ $${\displaystyle {\widetilde {F}}_{\alpha }(w,\gamma )=\gamma +{1 \over {(1-\alpha )J}}\sum _{j=1}^{J}[\ell (w,x_{j})-\gamma ]_{+}}$$ $${\displaystyle \min _{\gamma ,z,w}\;\gamma +{1 \over {(1-\alpha )J}}\sum _{j=1}^{J}z_{j},\quad {\text{s.t. }}z_{j}\geq \ell (w,x_{j})-\gamma ,\;z_{j}\geq 0}$$ ${\displaystyle \ell (w,x_{j})=-w^{T}x_{j}}$

Fórmulas para distribuciones de probabilidad continuas.

Existen fórmulas cerradas para calcular el déficit esperado cuando el pago de una cartera o la pérdida correspondiente sigue una distribución continua específica. En el primer caso, el déficit esperado corresponde al número opuesto de la expectativa condicional de la cola izquierda a continuación : ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L=-X}$ ${\displaystyle -\operatorname {VaR} _{\alpha }(X)}$

${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)=E[-X\mid X\leq -\operatorname {VaR} _{\alpha }(X)]=-{\frac {1}{\alpha }}\int _{0}^{\alpha }\operatorname {VaR} _{\gamma }(X)\,d\gamma =-{\frac {1}{\alpha }}\int _{-\infty }^{-\operatorname {VaR} _{\alpha }(X)}xf(x)\,dx.}$

Los valores típicos de en este caso son 5% y 1%. ${\textstyle \alpha }$

Para aplicaciones de ingeniería o actuariales es más común considerar la distribución de pérdidas , el déficit esperado en este caso corresponde a la expectativa condicional de cola derecha anterior y los valores típicos de son 95% y 99%: ${\displaystyle L=-X}$ ${\displaystyle \operatorname {VaR} _{\alpha }(L)}$ ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(L)=\operatorname {E} [L\mid L\geq \operatorname {VaR} _{\alpha }(L)]={\frac {1}{1-\alpha }}\int _{\alpha }^{1}\operatorname {VaR} _{\gamma }(L)\,d\gamma ={\frac {1}{1-\alpha }}\int _{\operatorname {VaR} _{\alpha }(L)}^{+\infty }yf(y)\,dy.}$

Dado que algunas de las fórmulas siguientes se derivaron para el caso de la cola izquierda y otras para el caso de la cola derecha, las siguientes conciliaciones pueden resultar útiles:

${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)=-{\frac {1}{\alpha }}\operatorname {E} [X]+{\frac {1-\alpha }{\alpha }}\operatorname {ES} _{\alpha }(L){\text{ and }}\operatorname {ES} _{\alpha }(L)={\frac {1}{1-\alpha }}\operatorname {E} [L]+{\frac {\alpha }{1-\alpha }}\operatorname {ES} _{\alpha }(X).}$

Distribución normal

Si el pago de una cartera sigue la distribución normal (gaussiana) con pdf, entonces el déficit esperado es igual a , donde es la pdf normal estándar, es la cdf normal estándar y también lo es el cuantil normal estándar. ^[10] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}}$ ${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)=-\mu +\sigma {\frac {\varphi (\Phi ^{-1}(\alpha ))}{\alpha }}}$ ${\displaystyle \varphi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}}$ ${\displaystyle \Phi (x)}$ ${\displaystyle \Phi ^{-1}(\alpha )}$

Si la pérdida de una cartera sigue la distribución normal, el déficit esperado es igual a . ^[11] ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(L)=\mu +\sigma {\frac {\varphi (\Phi ^{-1}(\alpha ))}{1-\alpha }}}$

Distribución t de Student generalizada

Si el pago de una cartera sigue la distribución t de Student generalizada con pdf, entonces el déficit esperado es igual a , donde es la pdf de la distribución t estándar, es la cdf de la distribución t estándar y también lo es el cuantil de la distribución t estándar. ^[10] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f(x)={\frac {\Gamma \left({\frac {\nu +1}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {\nu }{2}}\right){\sqrt {\pi \nu }}\sigma }}\left(1+{\frac {1}{\nu }}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}\right)^{-{\frac {\nu +1}{2}}}}$ ${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)=-\mu +\sigma {\frac {\nu +(\mathrm {T} ^{-1}(\alpha ))^{2}}{\nu -1}}{\frac {\tau (\mathrm {T} ^{-1}(\alpha ))}{\alpha }}}$ ${\displaystyle \tau (x)={\frac {\Gamma {\bigl (}{\frac {\nu +1}{2}}{\bigr )}}{\Gamma {\bigl (}{\frac {\nu }{2}}{\bigr )}{\sqrt {\pi \nu }}}}{\Bigl (}1+{\frac {x^{2}}{\nu }}{\Bigr )}^{-{\frac {\nu +1}{2}}}}$ ${\displaystyle \mathrm {T} (x)}$ ${\displaystyle \mathrm {T} ^{-1}(\alpha )}$

Si la pérdida de una cartera sigue la distribución t de Student generalizada, el déficit esperado es igual a . ^[11] ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(L)=\mu +\sigma {\frac {\nu +(\mathrm {T} ^{-1}(\alpha ))^{2}}{\nu -1}}{\frac {\tau (\mathrm {T} ^{-1}(\alpha ))}{1-\alpha }}}$

Distribución de Laplace

Si el pago de una cartera sigue la distribución de Laplace con el pdf ${\displaystyle X}$

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2b}}e^{-|x-\mu |/b}}$

y el cdf

${\displaystyle F(x)={\begin{cases}1-{\frac {1}{2}}e^{-(x-\mu )/b}&{\text{if }}x\geq \mu ,\\[4pt]{\frac {1}{2}}e^{(x-\mu )/b}&{\text{if }}x<\mu .\end{cases}}}$

entonces el déficit esperado es igual a for . ^[10] ${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)=-\mu +b(1-\ln 2\alpha )}$ ${\displaystyle \alpha \leq 0.5}$

Si la pérdida de una cartera sigue la distribución de Laplace, el déficit esperado es igual a ^[11] ${\displaystyle L}$

${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(L)={\begin{cases}\mu +b{\frac {\alpha }{1-\alpha }}(1-\ln 2\alpha )&{\text{if }}\alpha <0.5,\\[4pt]\mu +b[1-\ln(2(1-\alpha ))]&{\text{if }}\alpha \geq 0.5.\end{cases}}}$

Distribución logística

Si el pago de una cartera sigue la distribución logística con pdf y cdf, entonces el déficit esperado es igual a . ^[10] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{s}}e^{-{\frac {x-\mu }{s}}}\left(1+e^{-{\frac {x-\mu }{s}}}\right)^{-2}}$ ${\displaystyle F(x)=\left(1+e^{-{\frac {x-\mu }{s}}}\right)^{-1}}$ ${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)=-\mu +s\ln {\frac {(1-\alpha )^{1-{\frac {1}{\alpha }}}}{\alpha }}}$

Si la pérdida de una cartera sigue la distribución logística , el déficit esperado es igual a . ^[11] ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(L)=\mu +s{\frac {-\alpha \ln \alpha -(1-\alpha )\ln(1-\alpha )}{1-\alpha }}}$

Distribución exponencial

Si la pérdida de una cartera sigue la distribución exponencial con pdf y cdf, entonces el déficit esperado es igual a . ^[11] ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle f(x)={\begin{cases}\lambda e^{-\lambda x}&{\text{if }}x\geq 0,\\0&{\text{if }}x<0.\end{cases}}}$ ${\displaystyle F(x)={\begin{cases}1-e^{-\lambda x}&{\text{if }}x\geq 0,\\0&{\text{if }}x<0.\end{cases}}}$ ${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(L)={\frac {-\ln(1-\alpha )+1}{\lambda }}}$

distribución de Pareto

Si la pérdida de una cartera sigue la distribución de Pareto con pdf y cdf, entonces el déficit esperado es igual a . ^[11] ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {ax_{m}^{a}}{x^{a+1}}}&{\text{if }}x\geq x_{m},\\0&{\text{if }}x<x_{m}.\end{cases}}}$ ${\displaystyle F(x)={\begin{cases}1-(x_{m}/x)^{a}&{\text{if }}x\geq x_{m},\\0&{\text{if }}x<x_{m}.\end{cases}}}$ ${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(L)={\frac {x_{m}a}{(1-\alpha )^{1/a}(a-1)}}}$

Distribución de Pareto generalizada (GPD)

Si la pérdida de una cartera sigue el GPD con pdf ${\displaystyle L}$

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{s}}\left(1+{\frac {\xi (x-\mu )}{s}}\right)^{\left(-{\frac {1}{\xi }}-1\right)}}$

y el cdf

${\displaystyle F(x)={\begin{cases}1-\left(1+{\frac {\xi (x-\mu )}{s}}\right)^{-1/\xi }&{\text{if }}\xi \neq 0,\\1-\exp \left(-{\frac {x-\mu }{s}}\right)&{\text{if }}\xi =0.\end{cases}}}$

entonces el déficit esperado es igual a

${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(L)={\begin{cases}\mu +s\left[{\frac {(1-\alpha )^{-\xi }}{1-\xi }}+{\frac {(1-\alpha )^{-\xi }-1}{\xi }}\right]&{\text{if }}\xi \neq 0,\\\mu +s\left[1-\ln(1-\alpha )\right]&{\text{if }}\xi =0,\end{cases}}}$

y el VaR es igual a ^[11]

${\displaystyle \operatorname {VaR} _{\alpha }(L)={\begin{cases}\mu +s{\frac {(1-\alpha )^{-\xi }-1}{\xi }}&{\text{if }}\xi \neq 0,\\\mu -s\ln(1-\alpha )&{\text{if }}\xi =0.\end{cases}}}$

Distribución Weibull

Si la pérdida de una cartera sigue la distribución de Weibull con pdf y cdf, entonces el déficit esperado es igual a , donde es la función gamma incompleta superior . ^[11] ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {k}{\lambda }}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k-1}e^{-(x/\lambda )^{k}}&{\text{if }}x\geq 0,\\0&{\text{if }}x<0.\end{cases}}}$ ${\displaystyle F(x)={\begin{cases}1-e^{-(x/\lambda )^{k}}&{\text{if }}x\geq 0,\\0&{\text{if }}x<0.\end{cases}}}$ ${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(L)={\frac {\lambda }{1-\alpha }}\Gamma \left(1+{\frac {1}{k}},-\ln(1-\alpha )\right)}$ ${\displaystyle \Gamma (s,x)}$

Distribución generalizada de valores extremos (GEV)

Si el pago de una cartera sigue el GEV con pdf y cdf, entonces el déficit esperado es igual a y el VaR es igual a , donde es la función gamma incompleta superior , es la función integral logarítmica . ^[12] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{\sigma }}\left(1+\xi {\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{-{\frac {1}{\xi }}-1}\exp \left[-\left(1+\xi {\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{-{1}/{\xi }}\right]&{\text{if }}\xi \neq 0,\\{\frac {1}{\sigma }}e^{-{\frac {x-\mu }{\sigma }}}e^{-e^{-{\frac {x-\mu }{\sigma }}}}&{\text{if }}\xi =0.\end{cases}}}$ ${\displaystyle F(x)={\begin{cases}\exp \left(-\left(1+\xi {\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{-{1}/{\xi }}\right)&{\text{if }}\xi \neq 0,\\\exp \left(-e^{-{\frac {x-\mu }{\sigma }}}\right)&{\text{if }}\xi =0.\end{cases}}}$ ${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)={\begin{cases}-\mu -{\frac {\sigma }{\alpha \xi }}{\big [}\Gamma (1-\xi ,-\ln \alpha )-\alpha {\big ]}&{\text{if }}\xi \neq 0,\\-\mu -{\frac {\sigma }{\alpha }}{\big [}{\text{li}}(\alpha )-\alpha \ln(-\ln \alpha ){\big ]}&{\text{if }}\xi =0.\end{cases}}}$ ${\displaystyle \operatorname {VaR} _{\alpha }(X)={\begin{cases}-\mu -{\frac {\sigma }{\xi }}\left[(-\ln \alpha )^{-\xi }-1\right]&{\text{if }}\xi \neq 0,\\-\mu +\sigma \ln(-\ln \alpha )&{\text{if }}\xi =0.\end{cases}}}$ ${\displaystyle \Gamma (s,x)}$ ${\displaystyle \mathrm {li} (x)=\int {\frac {dx}{\ln x}}}$

Si la pérdida de una cartera sigue el GEV , entonces el déficit esperado es igual a , donde es la función gamma incompleta inferior , es la constante de Euler-Mascheroni . ^[11] ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)={\begin{cases}\mu +{\frac {\sigma }{(1-\alpha )\xi }}{\bigl [}\gamma (1-\xi ,-\ln \alpha )-(1-\alpha ){\bigr ]}&{\text{if }}\xi \neq 0,\\\mu +{\frac {\sigma }{1-\alpha }}{\bigl [}y-{\text{li}}(\alpha )+\alpha \ln(-\ln \alpha ){\bigr ]}&{\text{if }}\xi =0.\end{cases}}}$ ${\displaystyle \gamma (s,x)}$ ${\displaystyle y}$

Distribución secante hiperbólica generalizada (GHS)

Si el pago de una cartera sigue la distribución GHS con pdf y cdf, entonces el déficit esperado es igual a , donde es el dilogaritmo y es la unidad imaginaria. ^[12] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2\sigma }}\operatorname {sech} \left({\frac {\pi }{2}}{\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)}$ ${\displaystyle F(x)={\frac {2}{\pi }}\arctan \left[\exp \left({\frac {\pi }{2}}{\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)\right]}$ ${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)=-\mu -{\frac {2\sigma }{\pi }}\ln \left(\tan {\frac {\pi \alpha }{2}}\right)-{\frac {2\sigma }{\pi ^{2}\alpha }}i\left[\operatorname {Li} _{2}\left(-i\tan {\frac {\pi \alpha }{2}}\right)-\operatorname {Li} _{2}\left(i\tan {\frac {\pi \alpha }{2}}\right)\right]}$ ${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}}$ ${\displaystyle i={\sqrt {-1}}}$

Distribución SU de Johnson

Si el pago de una cartera sigue la distribución SU de Johnson con la CDF, entonces el déficit esperado es igual a , donde es la CDF de la distribución normal estándar. ^[13] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F(x)=\Phi \left[\gamma +\delta \sinh ^{-1}\left({\frac {x-\xi }{\lambda }}\right)\right]}$ ${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)=-\xi -{\frac {\lambda }{2\alpha }}\left[\exp \left({\frac {1-2\gamma \delta }{2\delta ^{2}}}\right)\;\Phi \left(\Phi ^{-1}(\alpha )-{\frac {1}{\delta }}\right)-\exp \left({\frac {1+2\gamma \delta }{2\delta ^{2}}}\right)\;\Phi \left(\Phi ^{-1}(\alpha )+{\frac {1}{\delta }}\right)\right]}$ ${\displaystyle \Phi }$

Distribución de fresa tipo XII

Si el pago de una cartera sigue la distribución Burr tipo XII, la fdp y la fdd , el déficit esperado es igual a , donde está la función hipergeométrica . Alternativamente ,. ^[12] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f(x)={\frac {ck}{\beta }}\left({\frac {x-\gamma }{\beta }}\right)^{c-1}\left[1+\left({\frac {x-\gamma }{\beta }}\right)^{c}\right]^{-k-1}}$ ${\displaystyle F(x)=1-\left[1+\left({\frac {x-\gamma }{\beta }}\right)^{c}\right]^{-k}}$ ${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)=-\gamma -{\frac {\beta }{\alpha }}\left((1-\alpha )^{-1/k}-1\right)^{1/c}\left[\alpha -1+{_{2}F_{1}}\left({\frac {1}{c}},k;1+{\frac {1}{c}};1-(1-\alpha )^{-1/k}\right)\right]}$ ${\displaystyle _{2}F_{1}}$ ${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)=-\gamma -{\frac {\beta }{\alpha }}{\frac {ck}{c+1}}\left((1-\alpha )^{-1/k}-1\right)^{1+{\frac {1}{c}}}{_{2}F_{1}}\left(1+{\frac {1}{c}},k+1;2+{\frac {1}{c}};1-(1-\alpha )^{-1/k}\right)}$

Distribución de Dagum

Si el pago de una cartera sigue la distribución de Dagum con pdf y cdf , el déficit esperado es igual a , donde está la función hipergeométrica . ^[12] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f(x)={\frac {ck}{\beta }}\left({\frac {x-\gamma }{\beta }}\right)^{ck-1}\left[1+\left({\frac {x-\gamma }{\beta }}\right)^{c}\right]^{-k-1}}$ ${\displaystyle F(x)=\left[1+\left({\frac {x-\gamma }{\beta }}\right)^{-c}\right]^{-k}}$ ${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)=-\gamma -{\frac {\beta }{\alpha }}{\frac {ck}{ck+1}}\left(\alpha ^{-1/k}-1\right)^{-k-{\frac {1}{c}}}{_{2}F_{1}}\left(k+1,k+{\frac {1}{c}};k+1+{\frac {1}{c}};-{\frac {1}{\alpha ^{-1/k}-1}}\right)}$ ${\displaystyle _{2}F_{1}}$

Distribución lognormal

Si el pago de una cartera sigue una distribución lognormal , es decir, la variable aleatoria sigue la distribución normal con pdf , entonces el déficit esperado es igual a , donde es la cdf normal estándar y también lo es el cuantil normal estándar. ^[14] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \ln(1+X)}$ ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}}$ ${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)=1-\exp \left(\mu +{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right){\frac {\Phi \left(\Phi ^{-1}(\alpha )-\sigma \right)}{\alpha }}}$ ${\displaystyle \Phi (x)}$ ${\displaystyle \Phi ^{-1}(\alpha )}$

Distribución logística-logística

Si el pago de una cartera sigue una distribución log-logística , es decir , la variable aleatoria sigue la distribución logística con pdf , entonces el déficit esperado es igual a , donde está la función beta incompleta regularizada ,. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \ln(1+X)}$ ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{s}}e^{-{\frac {x-\mu }{s}}}\left(1+e^{-{\frac {x-\mu }{s}}}\right)^{-2}}$ ${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)=1-{\frac {e^{\mu }}{\alpha }}I_{\alpha }(1+s,1-s){\frac {\pi s}{\sin \pi s}}}$ ${\displaystyle I_{\alpha }}$ ${\displaystyle I_{\alpha }(a,b)={\frac {\mathrm {B} _{\alpha }(a,b)}{\mathrm {B} (a,b)}}}$

Como la función beta incompleta se define sólo para argumentos positivos, para un caso más genérico el déficit esperado se puede expresar con la función hipergeométrica : . ^[14] ${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)=1-{\frac {e^{\mu }\alpha ^{s}}{s+1}}{_{2}F_{1}}(s,s+1;s+2;\alpha )}$

Si la pérdida de una cartera sigue una distribución log-logística con pdf y cdf , entonces el déficit esperado es igual a , donde es la función beta incompleta . ^[11] ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle f(x)={\frac {{\frac {b}{a}}(x/a)^{b-1}}{(1+(x/a)^{b})^{2}}}}$ ${\displaystyle F(x)={\frac {1}{1+(x/a)^{-b}}}}$ ${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(L)={\frac {a}{1-\alpha }}\left[{\frac {\pi }{b}}\csc \left({\frac {\pi }{b}}\right)-\mathrm {B} _{\alpha }\left({\frac {1}{b}}+1,1-{\frac {1}{b}}\right)\right]}$ ${\displaystyle B_{\alpha }}$

Distribución Log-Laplace

Si el pago de una cartera sigue la distribución log-Laplace , es decir, la variable aleatoria sigue la distribución Laplace, la fdp , entonces el déficit esperado es igual a ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \ln(1+X)}$ ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2b}}e^{-{\frac {|x-\mu |}{b}}}}$

${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)={\begin{cases}1-{\frac {e^{\mu }(2\alpha )^{b}}{b+1}}&{\text{if }}\alpha \leq 0.5,\\1-{\frac {e^{\mu }2^{-b}}{\alpha (b-1)}}\left[(1-\alpha )^{(1-b)}-1\right]&{\text{if }}\alpha >0.5.\end{cases}}}$^[14]

Distribución secante hiperbólica log-generalizada (log-GHS)

Si el pago de una cartera sigue una distribución log-GHS, es decir, la variable aleatoria sigue la distribución GHS con pdf , entonces el déficit esperado es igual a ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \ln(1+X)}$ ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2\sigma }}\operatorname {sech} \left({\frac {\pi }{2}}{\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)}$

${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)=1-{\frac {1}{\alpha (\sigma +{\pi /2})}}\left(\tan {\frac {\pi \alpha }{2}}\exp {\frac {\pi \mu }{2\sigma }}\right)^{2\sigma /\pi }\tan {\frac {\pi \alpha }{2}}{_{2}F_{1}}\left(1,{\frac {1}{2}}+{\frac {\sigma }{\pi }};{\frac {3}{2}}+{\frac {\sigma }{\pi }};-\tan \left({\frac {\pi \alpha }{2}}\right)^{2}\right),}$

¿Dónde está la función hipergeométrica ? ^[14] ${\displaystyle _{2}F_{1}}$

Déficit esperado dinámico

La versión condicional del déficit esperado en el momento t se define por

${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }^{t}(X)=\operatorname {ess\sup } _{Q\in {\mathcal {Q}}_{\alpha }^{t}}E^{Q}[-X\mid {\mathcal {F}}_{t}]}$

dónde . ^{[15] [16]} ${\displaystyle {\mathcal {Q}}_{\alpha }^{t}=\left\{Q=P\,\vert _{{\mathcal {F}}_{t}}:{\frac {dQ}{dP}}\leq \alpha _{t}^{-1}{\text{ a.s.}}\right\}}$

Esta no es una medida de riesgo consistente en el tiempo . La versión consistente en el tiempo está dada por

${\displaystyle \rho _{\alpha }^{t}(X)=\operatorname {ess\sup } _{Q\in {\tilde {\mathcal {Q}}}_{\alpha }^{t}}E^{Q}[-X\mid {\mathcal {F}}_{t}]}$

tal que ^[17]

${\displaystyle {\tilde {\mathcal {Q}}}_{\alpha }^{t}=\left\{Q\ll P:\operatorname {E} \left[{\frac {dQ}{dP}}\mid {\mathcal {F}}_{\tau +1}\right]\leq \alpha _{t}^{-1}\operatorname {E} \left[{\frac {dQ}{dP}}\mid {\mathcal {F}}_{\tau }\right]\;\forall \tau \geq t{\text{ a.s.}}\right\}.}$

Ver también

• Medida de riesgo coherente
• EMP para programación estocástica : tecnología de solución para problemas de optimización que involucran ES y VaR
• Valor entrópico en riesgo
• Valor en riesgo

Los métodos de estimación estadística de VaR y ES se pueden encontrar en Embrechts et al. ^[18] y Novak. ^[19] Al pronosticar el VaR y el ES, o al optimizar las carteras para minimizar el riesgo de cola, es importante tener en cuenta la dependencia asimétrica y las no normalidades en la distribución de los rendimientos de las acciones, como la autorregresión, la volatilidad asimétrica, la asimetría y la curtosis. ^[20]

Referencias

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enlaces externos

• Rockafellar, Uryasev: Optimización del valor en riesgo condicional, 2000.
• C. Acerbi y D. Tasche: Sobre la coherencia del déficit esperado, 2002.
• Rockafellar, Uryasev: Valor en riesgo condicional para distribuciones de pérdidas generales, 2002.
• Acerbi: Medidas espectrales de riesgo, 2005
• Carteras óptimas Phi-Alpha y gestión de riesgos extremos, Best of Wilmott, 2003
• "Medidas coherentes de riesgo", Philippe Artzner, Freddy Delbaen, Jean-Marc Eber y David Heath