En geometría , un mosaico pentagonal de El Cairo es una teselación del plano euclidiano por pentágonos convexos congruentes , formada por la superposición de dos teselaciones del plano por hexágonos y llamada así por su uso como diseño de pavimento en El Cairo . También se llama red de MacMahon [1] en honor a Percy Alexander MacMahon , quien la representó en su publicación de 1921 New Mathematical Pastimes . [2] John Horton Conway la llamó pentille cuádruple . [3]
Este patrón puede ser formado por una cantidad infinita de pentágonos diferentes, pertenecientes a dos de las 15 familias de pentágonos convexos que pueden formar mosaicos en el plano . Sus mosaicos tienen simetrías variables; todos son simétricos respecto de las caras. Una forma particular de mosaico, dual al mosaico de cuadrados romos , tiene mosaicos con el perímetro mínimo posible entre todos los mosaicos pentagonales. Otra forma, que superpone dos mosaicos aplanados con hexágonos regulares, es la forma utilizada en El Cairo y tiene la propiedad de que cada arista es colineal con una cantidad infinita de otras aristas.
En arquitectura, más allá de El Cairo, el mosaico de El Cairo se ha utilizado en la arquitectura mogol de la India del siglo XVIII, en la Laeiszhalle de principios del siglo XX en Alemania y en muchos edificios e instalaciones modernas. También se ha estudiado como estructura cristalina y aparece en el arte de MC Escher .
La unión de todos los bordes de un mosaico de El Cairo es la misma que la unión de dos mosaicos del plano por hexágonos . Cada hexágono de un mosaico rodea dos vértices del otro mosaico, y está dividido por los hexágonos del otro mosaico en cuatro de los pentágonos en el mosaico de El Cairo. [4] Infinitos pentágonos diferentes pueden formar mosaicos de El Cairo, todos con el mismo patrón de adyacencias entre mosaicos y con la misma descomposición en hexágonos, pero con longitudes de borde, ángulos y simetrías variables. Los pentágonos que forman estos mosaicos se pueden agrupar en dos familias infinitas diferentes, extraídas de las 15 familias de pentágonos convexos que pueden teselar el plano , [5] y las cinco familias de pentágonos encontradas por Karl Reinhardt en 1918 que pueden teselar el plano isoédricamente (todos los mosaicos simétricos entre sí). [6]
Una de estas dos familias está formada por pentágonos que tienen dos ángulos rectos no adyacentes , con un par de lados de igual longitud que se encuentran en cada uno de estos ángulos rectos. Cualquier pentágono que cumpla estos requisitos tesela el plano con copias que, en los ángulos rectos elegidos, están rotadas un ángulo recto entre sí. En los lados del pentágono que no son adyacentes a uno de estos dos ángulos rectos, se encuentran dos teselas, rotadas un ángulo de 180° entre sí. El resultado es un teselado isoédrico, lo que significa que cualquier pentágono del teselado puede transformarse en cualquier otro pentágono mediante una simetría del teselado. Estos pentágonos y su teselado a menudo se enumeran como "tipo 4" en la lista de tipos de pentágonos que pueden teselar. [4] Para cualquier mosaico tipo 4 de El Cairo, doce de los mismos mosaicos también pueden cubrir la superficie de un cubo, con un mosaico doblado sobre cada borde del cubo y tres ángulos rectos de mosaicos que se encuentran en cada vértice del cubo, para formar la misma estructura combinatoria que un dodecaedro regular . [7] [8]
La otra familia de pentágonos que forman el mosaico de El Cairo son pentágonos que tienen dos ángulos complementarios en vértices no adyacentes, cada uno con las mismas longitudes de los dos lados incidentes a él. En sus mosaicos, los vértices con ángulos complementarios se alternan alrededor de cada vértice de grado cuatro. Los pentágonos que cumplen estas restricciones no suelen figurar como una de las 15 familias de pentágonos que forman mosaicos; más bien, forman parte de una familia más grande de pentágonos (los pentágonos de "tipo 2") que forman mosaicos isoédricos en el plano de una manera diferente. [4]
Los mosaicos de El Cairo bilateralmente simétricos están formados por pentágonos que pertenecen a las familias de tipo 2 y tipo 4. [4] El patrón de pavimento de ladrillos de tejido de canasta puede verse como un caso degenerado de los mosaicos de El Cairo bilateralmente simétricos, con cada ladrillo (un rectángulo) interpretado como un pentágono con cuatro ángulos rectos y un ángulo de 180°. [9]
Es posible asignar coordenadas hexadimensionales de semienteros a los pentágonos del mosaico, de tal manera que el número de pasos de borde a borde entre dos pentágonos cualesquiera sea igual a la distancia L 1 entre sus coordenadas. Las seis coordenadas de cada pentágono se pueden agrupar en dos triples de coordenadas, en los que cada triple da las coordenadas de un hexágono en un sistema de coordenadas tridimensional análogo para cada uno de los dos mosaicos hexagonales superpuestos. [10] El número de mosaicos que están a pasos de cualquier mosaico dado, para , viene dado por la secuencia de coordinación en la que, después de los tres primeros términos, cada término difiere en 16 del término tres pasos atrás en la secuencia. También se pueden definir secuencias de coordinación análogas para los vértices del mosaico en lugar de para sus mosaicos, pero como hay dos tipos de vértices (de grado tres y de grado cuatro), surgen de esta manera dos secuencias de coordinación diferentes. La secuencia de grado cuatro es la misma que para la cuadrícula cuadrada . [11] [12]
El mosaico cuadrado romo , formado por dos cuadrados y tres triángulos equiláteros alrededor de cada vértice, tiene un mosaico Cairo bilateralmente simétrico como su mosaico dual . [13] El mosaico Cairo se puede formar a partir del mosaico cuadrado romo colocando un vértice del mosaico Cairo en el centro de cada cuadrado o triángulo del mosaico cuadrado romo, y conectando estos vértices por aristas cuando provienen de mosaicos adyacentes. [14] Sus pentágonos se pueden circunscribir alrededor de un círculo . Tienen cuatro aristas largas y una corta con longitudes en la razón . Los ángulos de estos pentágonos forman la secuencia 120°, 120°, 90°, 120°, 90°. [15]
El mosaico de cuadrados romos es un mosaico arquimediano y, como dual de un mosaico arquimediano, esta forma del mosaico pentagonal de El Cairo es un mosaico catalán o mosaico de Laves. [14] Es uno de los dos mosaicos pentagonales monoédricos que, cuando las piezas tienen área unitaria, minimiza el perímetro de las piezas. El otro es también un mosaico de pentágonos circunscritos con dos ángulos rectos y tres ángulos de 120°, pero con los dos ángulos rectos adyacentes; también hay infinitos mosaicos formados combinando ambos tipos de pentágonos. [15]
Los pentágonos con coordenadas de vértice enteras , , y , con cuatro lados iguales más cortos que el lado restante, forman un mosaico de El Cairo cuyos dos mosaicos hexagonales pueden formarse aplanando dos mosaicos perpendiculares por hexágonos regulares en direcciones perpendiculares, en una proporción de . Esta forma del mosaico de El Cairo hereda la propiedad de los mosaicos por hexágonos regulares (que no cambia con el aplanamiento), de que cada arista es colineal con infinitas otras aristas. [9] [16]
El pentágono regular no puede formar teselas de El Cairo, ya que no tesela el plano sin dejar huecos. Existe un único pentágono equilátero que puede formar una teselación de El Cairo de tipo 4; tiene cinco lados iguales pero sus ángulos son desiguales y su teselación es bilateralmente simétrica. [4] [13] Una infinidad de otros pentágonos equiláteros pueden formar teselas de El Cairo de tipo 2. [4]
Varias calles de El Cairo han sido pavimentadas con la forma colineal del mosaico de El Cairo; [9] [17] esta aplicación es el origen del nombre del mosaico. [18] [19] A partir de 2019, este patrón todavía se puede ver como una decoración de superficie para mosaicos cuadrados cerca del puente Qasr El Nil y la estación de metro El Behoos ; otras versiones del mosaico son visibles en otras partes de la ciudad. [20] Algunos autores, incluido Martin Gardner, han escrito que este patrón se usa más ampliamente en la arquitectura islámica , y aunque esta afirmación parece haberse basado en un malentendido, los patrones que se asemejan al mosaico de El Cairo son visibles en la Tumba de I'timād-ud-Daulah del siglo XVII en la India, y el propio mosaico de El Cairo se ha encontrado en un jali mogol del siglo XVII . [16]
Una de las primeras publicaciones sobre el mosaico de El Cairo como patrón decorativo aparece en un libro sobre diseño textil de 1906. [21] El inventor HC Moore presentó una patente estadounidense sobre mosaicos que formaban este patrón en 1908. [22] Casi al mismo tiempo, Villeroy & Boch creó una línea de baldosas de cerámica para suelos con el patrón de mosaico de El Cairo, que se utilizó en el vestíbulo del Laeiszhalle de Hamburgo (Alemania). El mosaico de El Cairo se ha utilizado como patrón decorativo en muchos diseños arquitectónicos recientes; por ejemplo, el centro de la ciudad de Hørsholm (Dinamarca) está pavimentado con este patrón, y el Centar Zamet (un pabellón deportivo de Croacia) lo utiliza tanto para sus paredes exteriores como para sus baldosas de pavimento. [16]
En cristalografía , este mosaico se ha estudiado al menos desde 1911. [23] Se ha propuesto como la estructura de cristales de hidrato en capas, [24] ciertos compuestos de bismuto y hierro , [25] y penta-grafeno , un compuesto hipotético de carbono puro . En la estructura del penta-grafeno, los bordes del mosaico incidentes a los vértices de grado cuatro forman enlaces simples , mientras que los bordes restantes forman enlaces dobles . En su forma hidrogenada , penta-grafeno, todos los enlaces son enlaces simples y los átomos de carbono en los vértices de grado tres de la estructura tienen un cuarto enlace que los conecta a átomos de hidrógeno. [26]
El mosaico de El Cairo ha sido descrito como uno de los "patrones geométricos favoritos" de MC Escher . [7] Lo utilizó como base para su dibujo Conchas y estrellas de mar (1941), en el segmento de abejas sobre flores de su Metamorfosis III (1967-1968), y en varios otros dibujos de 1967-1968. Una imagen de este mosaico también se ha utilizado como portada de la primera edición de 1974 del libro Regular Complex Polytopes de HSM Coxeter . [4] [16]
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