Transformación galileana

Concepto en física y matemáticas

En física , una transformación galileana se utiliza para transformar entre las coordenadas de dos marcos de referencia que difieren solo por el movimiento relativo constante dentro de los constructos de la física newtoniana . Estas transformaciones junto con las rotaciones espaciales y las traslaciones en el espacio y el tiempo forman el grupo galileano no homogéneo (supuesto a lo largo de lo siguiente). Sin las traslaciones en el espacio y el tiempo, el grupo es el grupo galileano homogéneo . El grupo galileano es el grupo de movimientos de la relatividad galileana que actúa sobre las cuatro dimensiones del espacio y el tiempo, formando la geometría galileana . Este es el punto de vista de la transformación pasiva . En la relatividad especial, las transformaciones galileanas homogéneas y no homogéneas son, respectivamente, reemplazadas por las transformaciones de Lorentz y las transformaciones de Poincaré ; por el contrario, la contracción del grupo en el límite clásico c → ∞ de las transformaciones de Poincaré produce transformaciones galileanas.

Las ecuaciones siguientes sólo son físicamente válidas en un marco newtoniano y no son aplicables a sistemas de coordenadas que se mueven entre sí a velocidades cercanas a la velocidad de la luz .

Galileo formuló estos conceptos en su descripción del movimiento uniforme . ^[1] El tema fue motivado por su descripción del movimiento de una pelota rodando por una rampa , mediante la cual midió el valor numérico de la aceleración de la gravedad cerca de la superficie de la Tierra .

Traducción

Configuración estándar de sistemas de coordenadas para transformaciones galileanas.

Aunque las transformaciones reciben su nombre de Galileo, son el tiempo y el espacio absolutos tal como los concibió Isaac Newton los que proporcionan su dominio de definición. En esencia, las transformaciones galileanas encarnan la noción intuitiva de adición y sustracción de velocidades como vectores .

La notación siguiente describe la relación bajo la transformación galileana entre las coordenadas ( x , y , z , t ) y ( x ′, y ′, z ′, t ′) de un único evento arbitrario, medido en dos sistemas de coordenadas S y S′ , en movimiento relativo uniforme ( velocidad v ) en sus direcciones comunes x y x ′ , con sus orígenes espaciales coincidiendo en el tiempo t = t ′ = 0 : ^{[2] [3] [4] [5]}

${\displaystyle x'=x-vt}$

${\displaystyle y'=y}$

${\displaystyle z'=z}$

${\displaystyle t'=t.}$

Nótese que la última ecuación es válida para todas las transformaciones galileanas hasta la adición de una constante, y expresa el supuesto de un tiempo universal independiente del movimiento relativo de diferentes observadores.

En el lenguaje del álgebra lineal , esta transformación se considera una función de corte y se describe con una matriz que actúa sobre un vector. Con un movimiento paralelo al eje x , la transformación actúa solo sobre dos componentes:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x'\\t'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&-v\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\t\end{pmatrix}}}$

Aunque las representaciones matriciales no son estrictamente necesarias para la transformación galileana, proporcionan los medios para la comparación directa con los métodos de transformación en relatividad especial.

Transformaciones galileanas

Las simetrías galileanas se pueden escribir de forma única como la composición de una rotación , una traslación y un movimiento uniforme del espacio-tiempo. ^[6] Sea x un punto en el espacio tridimensional y t un punto en el tiempo unidimensional. Un punto general en el espacio-tiempo viene dado por un par ordenado ( x , t ) .

Un movimiento uniforme, con velocidad v , está dado por

${\displaystyle (\mathbf {x} ,t)\mapsto (\mathbf {x} +t\mathbf {v} ,t),}$

donde v ∈ R ³ . Una traslación está dada por

${\displaystyle (\mathbf {x} ,t)\mapsto (\mathbf {x} +\mathbf {a} ,t+s),}$

donde a ∈ R ³ y s ∈ R . Una rotación está dada por

${\displaystyle (\mathbf {x} ,t)\mapsto (R\mathbf {x} ,t),}$

donde R  : R ³ → R ³ es una transformación ortogonal . ^[6]

Como grupo de Lie , el grupo de transformaciones galileanas tiene dimensión 10. ^[6]

Grupo galileano

Dos transformaciones galileanas G ( R , v , a , s ) y G ( R' , v ′, a ′, s ′) se componen para formar una tercera transformación galileana,

G ( R ′, v ′, a ′, s ′) ⋅ G ( R , v , a , s ) = G ( R′ R , R ′ v + v ′, R ′ a + a ′ + v ′ s , s ′ + s ) .

El conjunto de todas las transformaciones galileanas Gal(3) forma un grupo con composición como operación de grupo.

El grupo se representa a veces como un grupo matricial con eventos espaciotemporales ( x , t , 1) como vectores donde t es real y x ∈ R ³ es una posición en el espacio. La acción está dada por ^[7]

${\displaystyle {\begin{pmatrix}R&v&a\\0&1&s\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\t\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}Rx+vt+a\\t+s\\1\end{pmatrix}},}$

donde s es real y v , x , a ∈ R ³ y R es una matriz de rotación . La composición de las transformaciones se logra entonces mediante la multiplicación de matrices . Se debe tener cuidado en la discusión si uno se restringe al grupo de componentes conectados de las transformaciones ortogonales.

Gal(3) tiene subgrupos con nombre. El componente identidad se denota SGal(3) .

Sea m la matriz de transformación con parámetros v , R , s , a :

• ${\displaystyle \{m:R=I_{3}\},}$transformaciones anisotrópicas.
• ${\displaystyle \{m:s=0\},}$transformaciones isócronas.
• ${\displaystyle \{m:s=0,v=0\},}$transformaciones euclidianas espaciales.
• ${\displaystyle G_{1}=\{m:s=0,a=0\},}$transformaciones uniformemente especiales / transformaciones homogéneas, isomorfas a las transformaciones euclidianas.
• ${\displaystyle G_{2}=\{m:v=0,R=I_{3}\}\cong \left(\mathbf {R} ^{4},+\right),}$desplazamientos de origen/traducción en el espacio-tiempo newtoniano.
• ${\displaystyle G_{3}=\{m:s=0,a=0,v=0\}\cong \mathrm {SO} (3),}$rotaciones (del marco de referencia) (ver SO(3) ), un grupo compacto.
• ${\displaystyle G_{4}=\{m:s=0,a=0,R=I_{3}\}\cong \left(\mathbf {R} ^{3},+\right),}$movimientos / impulsos del marco uniformes.

Los parámetros s , v , R , a abarcan diez dimensiones. Como las transformaciones dependen continuamente de s , v , R , a , Gal(3) es un grupo continuo , también llamado grupo topológico.

La estructura de Gal(3) se puede entender mediante la reconstrucción a partir de subgrupos. Se requiere la combinación de productos semidirectos ( ) de grupos. ${\displaystyle A\rtimes B}$

1. ${\displaystyle G_{2}\triangleleft \mathrm {SGal} (3)}$( G ₂ es un subgrupo normal )
2. ${\displaystyle \mathrm {SGal} (3)\cong G_{2}\rtimes G_{1}}$
3. ${\displaystyle G_{4}\trianglelefteq G_{1}}$
4. ${\displaystyle G_{1}\cong G_{4}\rtimes G_{3}}$
5. ${\displaystyle \mathrm {SGal} (3)\cong \mathbf {R} ^{4}\rtimes (\mathbf {R} ^{3}\rtimes \mathrm {SO} (3)).}$

Origen en la contracción grupal

El álgebra de Lie del grupo galileano está abarcada por H , P _i , C _i y L _ij (un tensor antisimétrico ), sujeto a relaciones de conmutación , donde

${\displaystyle [H,P_{i}]=0}$

${\displaystyle [P_{i},P_{j}]=0}$

${\displaystyle [L_{ij},H]=0}$

${\displaystyle [C_{i},C_{j}]=0}$

${\displaystyle [L_{ij},L_{kl}]=i[\delta _{ik}L_{jl}-\delta _{il}L_{jk}-\delta _{jk}L_{il}+\delta _{jl}L_{ik}]}$

${\displaystyle [L_{ij},P_{k}]=i[\delta _{ik}P_{j}-\delta _{jk}P_{i}]}$

${\displaystyle [L_{ij},C_{k}]=i[\delta _{ik}C_{j}-\delta _{jk}C_{i}]}$

${\displaystyle [C_{i},H]=iP_{i}\,\!}$

${\displaystyle [C_{i},P_{j}]=0~.}$

H es el generador de traslaciones de tiempo ( hamiltoniano ), P _i es el generador de traslaciones ( operador de momento ), C _i es el generador de transformaciones galileanas sin rotación (impulsos galileanos), ^[8] y L _ij representa un generador de rotaciones ( operador de momento angular ).

Se considera que esta álgebra de Lie es un límite clásico especial del álgebra del grupo de Poincaré , en el límite c → ∞ . Técnicamente, el grupo galileano es una contracción de grupo celebrada del grupo de Poincaré (que, a su vez, es una contracción de grupo del grupo de De Sitter SO(1,4) ). ^[9] Formalmente, renombrando los generadores de momento y de impulso de este último como en

P ₀ ↦ H / c

Ki ↦ c ⋅ Ci ,_​​

donde c es la velocidad de la luz (o cualquier función no acotada de la misma), las relaciones de conmutación (constantes de estructura) en el límite c → ∞ adoptan las relaciones de las anteriores. Se identifican los generadores de traslaciones y rotaciones temporales. Nótese también los invariantes de grupo L _mn L ^mn y P _i P ⁱ .

En forma matricial, para d = 3 , se puede considerar la representación regular (integrada en GL(5; R ) , de la que podría derivarse mediante una única contracción de grupo, sin pasar por el grupo de Poincaré),

${\displaystyle iH=\left({\begin{array}{ccccc}0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&1\\0&0&0&0&0\\\end{array}}\right),\qquad }$ ${\displaystyle i{\vec {a}}\cdot {\vec {P}}=\left({\begin{array}{ccccc}0&0&0&0&a_{1}\\0&0&0&0&a_{2}\\0&0&0&0&a_{3}\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\\end{array}}\right),\qquad }$ ${\displaystyle i{\vec {v}}\cdot {\vec {C}}=\left({\begin{array}{ccccc}0&0&0&v_{1}&0\\0&0&0&v_{2}&0\\0&0&0&v_{3}&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\\end{array}}\right),\qquad }$ ${\displaystyle i\theta _{i}\epsilon ^{ijk}L_{jk}=\left({\begin{array}{ccccc}0&\theta _{3}&-\theta _{2}&0&0\\-\theta _{3}&0&\theta _{1}&0&0\\\theta _{2}&-\theta _{1}&0&0&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\\end{array}}\right)~.}$

El elemento del grupo infinitesimal es entonces

${\displaystyle G(R,{\vec {v}},{\vec {a}},s)=1\!\!1_{5}+\left({\begin{array}{ccccc}0&\theta _{3}&-\theta _{2}&v_{1}&a_{1}\\-\theta _{3}&0&\theta _{1}&v_{2}&a_{2}\\\theta _{2}&-\theta _{1}&0&v_{3}&a_{3}\\0&0&0&0&s\\0&0&0&0&0\\\end{array}}\right)+\ ...~.}$

Extensión central del grupo galileano

Se puede considerar ^[10] una extensión central del álgebra de Lie del grupo galileano, abarcado por H ′, P ′ _i , C ′ _i , L ′ _ij y un operador M : La llamada álgebra de Bargmann se obtiene imponiendo , tal que M se encuentra en el centro , es decir, conmuta con todos los demás operadores. ${\displaystyle [C'_{i},P'_{j}]=iM\delta _{ij}}$

En su totalidad, esta álgebra se da como

${\displaystyle [H',P'_{i}]=0\,\!}$

${\displaystyle [P'_{i},P'_{j}]=0\,\!}$

${\displaystyle [L'_{ij},H']=0\,\!}$

${\displaystyle [C'_{i},C'_{j}]=0\,\!}$

${\displaystyle [L'_{ij},L'_{kl}]=i[\delta _{ik}L'_{jl}-\delta _{il}L'_{jk}-\delta _{jk}L'_{il}+\delta _{jl}L'_{ik}]\,\!}$

${\displaystyle [L'_{ij},P'_{k}]=i[\delta _{ik}P'_{j}-\delta _{jk}P'_{i}]\,\!}$

${\displaystyle [L'_{ij},C'_{k}]=i[\delta _{ik}C'_{j}-\delta _{jk}C'_{i}]\,\!}$

${\displaystyle [C'_{i},H']=iP'_{i}\,\!}$

Y finalmente

${\displaystyle [C'_{i},P'_{j}]=iM\delta _{ij}~.}$

donde aparece el nuevo parámetro . Esta extensión y las representaciones proyectivas que esto permite están determinadas por su cohomología de grupo . ${\displaystyle M}$

Véase también

• Invariancia galileana
• Teoría de la representación del grupo galileano
• Formulación del tensor covariante de Galileo
• Grupo de Poincaré
• Grupo de Lorentz
• Coordenadas lagrangianas y eulerianas

Notas

1. Galileo, 1638i, 191-196 (en italiano)
   Galileo, 1638e, (en inglés)
   Copérnico et al., 2002, pp. 515-520
2. Mould 2002, Capítulo 2 §2.6, pág. 42
3. Lerner 1996, Capítulo 38 §38.2, pág. 1046,1047
4. Serway y Jewett 2006, Capítulo 9 §9.1, pág. 261
5. Hoffmann 1983, Capítulo 5, pág. 83
6. Arnold 1989, pág. 6
7. [1]Nadjafikhah y Forough 2009
8. Ungar, AA (2006). Más allá de la ley de adición de Einstein y su precesión giroscópica de Thomas: la teoría de los girogrupos y los espacios girovectoriales (edición ilustrada). Springer Science & Business Media. pág. 336. ISBN 978-0-306-47134-6.Extracto de la página 336
9. Gilmore 2006
10. Bargman 1954

Referencias

• Arnold, VI (1989). Métodos matemáticos de la mecánica clásica (2.ª edición). Springer-Verlag. pág. 6. ISBN 0-387-96890-3.
• Bargmann, V. (1954). "Sobre representaciones de rayos unitarios de grupos continuos". Anales de Matemáticas . 2. 59 (1): 1–46. doi :10.2307/1969831. JSTOR  1969831.
• Copérnico, Nicolás ; Kepler, Johannes ; Galileo, Galileo ; Newton, Isaac ; Einstein, Albert (2002). Hawking, Stephen (ed.). Sobre los hombros de gigantes: las grandes obras de física y astronomía . Filadelfia, Londres: Running Press . pp. 515–520. ISBN. 0-7624-1348-4.
• Galilei, Galileo (1638i). Discorsi e Dimostrazioni Matematiche, intorno á due nuoue scienze (en italiano). Leiden: Elsevier . págs. 191-196.
• Galilei, Galileo (1638e). Discursos y demostraciones matemáticas relativas a dos nuevas ciencias [ Discorsi e Dimostrazioni Matematiche Intorno a Due Nuove Scienze ]. Traducido al inglés en 1914 por Henry Crew y Alfonso de Salvio.
• Gilmore, Robert (2006). Grupos de Lie, álgebras de Lie y algunas de sus aplicaciones . Dover Books on Mathematics. Dover Publications . ISBN 0486445291.
• Hoffmann, Banesh (1983), La relatividad y sus raíces, Scientific American Books, ISBN 0-486-40676-8, Capítulo 5, pág. 83
• Lerner, Lawrence S. (1996), Física para científicos e ingenieros, vol. 2, Jones and Bertlett Publishers, Inc., ISBN 0-7637-0460-1, Capítulo 38 §38.2, pág. 1046,1047
• Mould, Richard A. (2002), Relatividad básica, Springer-Verlag, ISBN 0-387-95210-1, Capítulo 2 §2.6, pág. 42
• Nadjafikhah, Mehdi; Forough, Ahmad-Reza (2009). "Geometría galileana de los movimientos" (PDF) . Applied Sciences . 11 : 91–105.
• Serway, Raymond A.; Jewett, John W. (2006), Principios de física: un texto basado en cálculo (4.ª ed.), Brooks/Cole - Thomson Learning, Bibcode :2006ppcb.book.....J, ISBN 0-534-49143-X, Capítulo 9 §9.1, pág. 261