Shearlet

En el análisis matemático aplicado, los shearlets son un marco multiescala que permite la codificación eficiente de características anisotrópicas en clases de problemas multivariados . Originalmente, los shearlets se introdujeron en 2006 ^[1] para el análisis y la aproximación dispersa de funciones . Son una extensión natural de los wavelets , para adaptarse al hecho de que las funciones multivariadas suelen estar regidas por características anisotrópicas como los bordes de las imágenes, ya que los wavelets, como objetos isotrópicos, no son capaces de capturar tales fenómenos. ${\displaystyle f\in L^{2}(\mathbb {R} ^{2})}$

Las shearlets se construyen mediante escalamiento parabólico , cizallamiento y traslación aplicados a unas pocas funciones generadoras . En escalas finas, se sustentan esencialmente dentro de crestas delgadas y direccionales siguiendo la ley de escalamiento parabólico, que dice length² ≈ width . De manera similar a las wavelets, las shearlets surgen del grupo afín y permiten un tratamiento unificado de la situación digital y continua que conduce a implementaciones fieles. Aunque no constituyen una base ortonormal para , aún forman un marco que permite expansiones estables de funciones arbitrarias . ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{2})}$ ${\displaystyle f\in L^{2}(\mathbb {R} ^{2})}$

Una de las propiedades más importantes de los shearlets es su capacidad de proporcionar aproximaciones óptimamente dispersas (en el sentido de optimalidad en ^[2] ) para funciones similares a dibujos animados . En las ciencias de la imagen, las funciones similares a dibujos animados sirven como modelo para características anisotrópicas y están soportadas de forma compacta en mientras están separadas de una curva de singularidad por partes cerrada con curvatura acotada. La tasa de decaimiento del error de la aproximación de shearlet de término obtenida al tomar los coeficientes más grandes de la expansión de shearlet es de hecho óptima hasta un factor logarítmico: ^{[3] [4]} ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [0,1]^{2}}$ ${\displaystyle C^{2}}$ ${\displaystyle C^{2}}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle \|f-f_{N}\|_{L^{2}}^{2}\leq CN^{-2}(\log N)^{3},\quad N\to \infty ,}$

donde la constante depende únicamente de la curvatura máxima de la curva de singularidad y de las magnitudes máximas de , y . Esta tasa de aproximación mejora significativamente la tasa de aproximación de mejor término de wavelets que solo proporciona esa clase de funciones. ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f'}$ ${\displaystyle f''}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle O(N^{-1})}$

Los shearlets son hasta la fecha el único sistema de representación direccional que proporciona una aproximación dispersa de características anisotrópicas, al tiempo que proporciona un tratamiento unificado del ámbito digital y continuo que permite una implementación fiel. También hay disponibles extensiones de sistemas shearlets. Se puede encontrar una presentación completa de la teoría y las aplicaciones de los shearlets en ^{[5] .} ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{d}),d\geq 2}$

Definición

Sistemas de corte continuo

Efectos geométricos del escalamiento parabólico y del cizallamiento con varios parámetros a y s.

La construcción de sistemas de shearlet continuos se basa en matrices de escala parabólicas.

${\displaystyle A_{a}={\begin{bmatrix}a&0\\0&a^{1/2}\end{bmatrix}},\quad a>0}$

como un medio para cambiar la resolución, en matrices de corte

${\displaystyle S_{s}={\begin{bmatrix}1&s\\0&1\end{bmatrix}},\quad s\in \mathbb {R} }$

como un medio para cambiar la orientación y, finalmente, en las traslaciones para cambiar el posicionamiento. En comparación con los curvelets , los shearlets utilizan cortes en lugar de rotaciones, la ventaja es que el operador de corte deja la red entera invariante en el caso , es decir, Esto de hecho permite un tratamiento unificado del ámbito continuo y digital, garantizando así una implementación digital fiel. ${\displaystyle S_{s}}$ ${\displaystyle s\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle S_{s}\mathbb {Z} ^{2}\subseteq \mathbb {Z} ^{2}.}$

Para el sistema de cizalladura continua generado por se define entonces como ${\displaystyle \psi \in L^{2}(\mathbb {R} ^{2})}$ ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle \operatorname {SH} _{\mathrm {cont} }(\psi )=\{\psi _{a,s,t}=a^{3/4}\psi (S_{s}A_{a}(\cdot -t))\mid a>0,s\in \mathbb {R} ,t\in \mathbb {R} ^{2}\},}$

y la transformada shearlet continua correspondiente viene dada por el mapa

${\displaystyle f\mapsto {\mathcal {SH}}_{\psi }f(a,s,t)=\langle f,\psi _{a,s,t}\rangle ,\quad f\in L^{2}(\mathbb {R} ^{2}),\quad (a,s,t)\in \mathbb {R} _{>0}\times \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{2}.}$

Sistemas de shearlet discretos

Se puede obtener directamente una versión discreta de los sistemas shearlet discretizando el conjunto de parámetros. Hay numerosos enfoques para esto, pero el más popular es el que se proporciona a continuación. ${\displaystyle \operatorname {SH} _{\mathrm {cont} }(\psi )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{>0}\times \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{2}.}$

${\displaystyle \{(2^{j},k,A_{2^{j}}^{-1}S_{k}^{-1}m)\mid j\in \mathbb {Z} ,k\in \mathbb {Z} ,m\in \mathbb {Z} ^{2}\}\subseteq \mathbb {R} _{>0}\times \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{2}.}$

A partir de esto, el sistema de shearlet discreto asociado con el generador de shearlet se define por ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle \operatorname {SH} (\psi )=\{\psi _{j,k,m}=2^{3j/4}\psi (S_{k}A_{2^{j}}\cdot {}-m)\mid j\in \mathbb {Z} ,k\in \mathbb {Z} ,m\in \mathbb {Z} ^{2}\},}$

y la transformada shearlet discreta asociada se define por

${\displaystyle f\mapsto {\mathcal {SH}}_{\psi }f(j,k,m)=\langle f,\psi _{j,k,m}\rangle ,\quad f\in L^{2}(\mathbb {R} ^{2}),\quad (j,k,m)\in \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} ^{2}.}$

Ejemplos

Sea una función que satisface la condición discreta de Calderón , es decir, ${\displaystyle \psi _{1}\in L^{2}(\mathbb {R} )}$

${\displaystyle \sum _{j\in \mathbb {Z} }|{\hat {\psi }}_{1}(2^{-j}\xi )|^{2}=1,{\text{for a.e. }}\xi \in \mathbb {R} ,}$

con y donde denota la transformada de Fourier de Por ejemplo, se puede elegir que sea una wavelet de Meyer . Además, sea tal que y ${\displaystyle {\hat {\psi }}_{1}\in C^{\infty }(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \operatorname {supp} {\hat {\psi }}_{1}\subseteq [-{\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {1}{16}}]\cup [{\tfrac {1}{16}},{\tfrac {1}{2}}],}$ ${\displaystyle {\hat {\psi }}_{1}}$ ${\displaystyle \psi _{1}.}$ ${\displaystyle \psi _{1}}$ ${\displaystyle \psi _{2}\in L^{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle {\hat {\psi }}_{2}\in C^{\infty }(\mathbb {R} ),}$ ${\displaystyle \operatorname {supp} {\hat {\psi }}_{2}\subseteq [-1,1]}$

${\displaystyle \sum _{k=-1}^{1}|{\hat {\psi }}_{2}(\xi +k)|^{2}=1,{\text{for a.e. }}\xi \in \left[-1,1\right].}$

Normalmente se elige una función de protuberancia suave . Entonces, dada por ${\displaystyle {\hat {\psi }}_{2}}$ ${\displaystyle \psi \in L^{2}(\mathbb {R} ^{2})}$

${\displaystyle {\hat {\psi }}(\xi )={\hat {\psi }}_{1}(\xi _{1}){\hat {\psi }}_{2}\left({\tfrac {\xi _{2}}{\xi _{1}}}\right),\quad \xi =(\xi _{1},\xi _{2})\in \mathbb {R} ^{2},}$

se denomina shearlet clásico . Se puede demostrar que el sistema shearlet discreto correspondiente constituye un marco de Parseval que consiste en funciones limitadas en banda . ^[5] ${\displaystyle \operatorname {SH} (\psi )}$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{2})}$

Otro ejemplo son los sistemas de shearlet con soporte compacto , donde se puede elegir una función con soporte compacto de modo que forme un marco para . ^{[4] [6] [7] [8]} En este caso, todos los elementos de shearlet en tienen un soporte compacto, lo que proporciona una localización espacial superior en comparación con los shearlets clásicos, que están limitados por banda. Aunque un sistema de shearlet con soporte compacto generalmente no forma un marco de Parseval, cualquier función puede representarse mediante la expansión de shearlet debido a su propiedad de marco. ${\displaystyle \psi \in L^{2}(\mathbb {R} ^{2})}$ ${\displaystyle \operatorname {SH} (\psi )}$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{2})}$ ${\displaystyle \operatorname {SH} (\psi )}$ ${\displaystyle f\in L^{2}(\mathbb {R} ^{2})}$

Shearlets adaptados a conos

Una desventaja de los shearlets definidos como se ha indicado anteriormente es el sesgo direccional de los elementos shearlet asociados con parámetros de corte grandes. Este efecto ya es reconocible en el teselado de frecuencia de los shearlets clásicos (véase la Figura en la Sección #Ejemplos), donde el soporte de frecuencia de un shearlet se alinea cada vez más a lo largo del eje a medida que el parámetro de corte tiende al infinito. Esto causa serios problemas al analizar una función cuya transformada de Fourier se concentra alrededor del eje . ${\displaystyle \xi _{2}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \xi _{2}}$

Descomposición del dominio de la frecuencia en conos.

Para abordar este problema, el dominio de frecuencia se divide en una parte de baja frecuencia y dos regiones cónicas (ver Figura):

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {R}}&=\left\{(\xi _{1},\xi _{2})\in \mathbb {R} ^{2}\mid |\xi _{1}|,|\xi _{2}|\leq 1\right\},\\{\mathcal {C}}_{\mathrm {h} }&=\left\{(\xi _{1},\xi _{2})\in \mathbb {R} ^{2}\mid |\xi _{2}/\xi _{1}|\leq 1,|\xi _{1}|>1\right\},\\{\mathcal {C}}_{\mathrm {v} }&=\left\{(\xi _{1},\xi _{2})\in \mathbb {R} ^{2}\mid |\xi _{1}/\xi _{2}|\leq 1,|\xi _{2}|>1\right\}.\end{aligned}}}$

Mosaico de frecuencia del sistema de shearlet adaptado al cono generado por el shearlet clásico.

El sistema de shearlet discreto adaptado al cono asociado consta de tres partes, cada una de las cuales corresponde a uno de estos dominios de frecuencia. Se genera mediante tres funciones y un factor de muestreo reticular . ${\displaystyle \phi ,\psi ,{\tilde {\psi }}\in L^{2}(\mathbb {R} ^{2})}$ ${\displaystyle c=(c_{1},c_{2})\in (\mathbb {R} _{>0})^{2}:}$

${\displaystyle \operatorname {SH} (\phi ,\psi ,{\tilde {\psi }};c)=\Phi (\phi ;c_{1})\cup \Psi (\psi ;c)\cup {\tilde {\Psi }}({\tilde {\psi }};c),}$

dónde

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi (\phi ;c_{1})&=\{\phi _{m}=\phi (\cdot {}-c_{1}m)\mid m\in \mathbb {Z} ^{2}\},\\\Psi (\psi ;c)&=\{\psi _{j,k,m}=2^{3j/4}\psi (S_{k}A_{2^{j}}\cdot {}-M_{c}m)\mid j\geq 0,|k|\leq \lceil 2^{j/2}\rceil ,m\in \mathbb {Z} ^{2}\},\\{\tilde {\Psi }}({\tilde {\psi }};c)&=\{{\tilde {\psi }}_{j,k,m}=2^{3j/4}\psi ({\tilde {S}}_{k}{\tilde {A}}_{2^{j}}\cdot {}-{\tilde {M}}_{c}m)\mid j\geq 0,|k|\leq \lceil 2^{j/2}\rceil ,m\in \mathbb {Z} ^{2}\},\end{aligned}}}$

con

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\tilde {A}}_{a}={\begin{bmatrix}a^{1/2}&0\\0&a\end{bmatrix}},\;a>0,\quad {\tilde {S}}_{s}={\begin{bmatrix}1&0\\s&1\end{bmatrix}},\;s\in \mathbb {R} ,\quad M_{c}={\begin{bmatrix}c_{1}&0\\0&c_{2}\end{bmatrix}},\quad {\text{and}}\quad {\tilde {M}}_{c}={\begin{bmatrix}c_{2}&0\\0&c_{1}\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$

Los sistemas y difieren básicamente en los roles invertidos de y . Por lo tanto, corresponden a las regiones cónicas y , respectivamente. Finalmente, la función de escala está asociada con la parte de baja frecuencia . ${\displaystyle \Psi (\psi )}$ ${\displaystyle {\tilde {\Psi }}({\tilde {\psi }})}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{\mathrm {h} }}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{\mathrm {v} }}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$

Aplicaciones

• Procesamiento de imágenes y ciencias de la computación ^[5]
  • Eliminación de ruido
  • Problemas inversos
  • Mejora de imagen
  • Detección de bordes
  • Repintado
  • Separación de imágenes
• Ecuaciones diferenciales parciales ^[5]
  • Resolución del conjunto de frentes de onda
  • Ecuaciones de transporte
• Teoría de coórbitas , caracterización de espacios de suavidad ^[5]
• Geometría diferencial : aprendizaje de variedades

Generalizaciones y extensiones

• Shearlets 3D ^{[7] [9]}
• ${\displaystyle \alpha }$-Shearlets ^[7]
• Moléculas parabólicas ^[10]
• Shearlets cilíndricos ^{[11] [12]}

Véase también

• Transformada wavelet
• Transformada de curvas
• Transformación de contornos
• Transformada de Bandelet
• Transformación de Chirplet
• Transformada Noiselet

Referencias

1. Guo, Kanghui, Gitta Kutyniok y Demetrio Labate. "Representaciones multidimensionales dispersas utilizando operadores de dilatación y cizallamiento anisotrópicos". Wavelets and Splines (Athens, GA, 2005), G. Chen y MJ Lai, eds., Nashboro Press, Nashville, TN (2006): 189–201. "PDF" (PDF) .
2. Donoho, David Leigh. "Componentes dispersos de imágenes y descomposiciones atómicas óptimas". Constructive Approximation 17.3 (2001): 353–382. "PDF". CiteSeerX 10.1.1.379.8993 . 
3. Guo, Kanghui y Demetrio Labate. "Representación multidimensional óptimamente dispersa mediante shearlets". Revista SIAM sobre análisis matemático 39.1 (2007): 298–318. "PDF" (PDF) .
4. Kutyniok, Gitta y Wang-Q Lim. "Las shearlets con soporte compacto son óptimamente dispersas". Journal of Approximation Theory 163.11 (2011): 1564–1589. "PDF" (PDF) .
5. Kutyniok, Gitta y Demetrio Labate, eds. Shearlets: análisis multiescala para datos multivariados . Springer, 2012, ISBN 0-8176-8315-1 
6. Kittipoom, Pisamai, Gitta Kutyniok y Wang-Q Lim. "Construcción de pórticos de shearlet con soporte compacto". Constructive Approximation 35.1 (2012): 21–72. Kittipoom, P.; Kutyniok, G.; Lim, W. (2010). "PDF". arXiv : 1003.5481 [math.FA].
7. Kutyniok, Gitta , Jakob Lemvig y Wang-Q Lim. "Aproximaciones óptimamente dispersas de funciones 3D mediante marcos shearlet con soporte compacto". Revista SIAM sobre análisis matemático 44.4 (2012): 2962–3017. Kutyniok, Gitta; Lim, Wang-Q (2011). "PDF". arXiv : 1109.5993 [math.FA].
8. Purnendu Banerjee y BB Chaudhuri, “Localización de texto en video usando transformadas wavelet y shearlet”, en Proc. SPIE 9021, Reconocimiento y recuperación de documentos XXI, 2014 (doi:10.1117/12.2036077). Banerjee, Purnendu; Chaudhuri, BB (2013). "Localización de texto en video usando transformadas wavelet y shearlet". En Coüasnon, Bertrand; Ringger, Eric K (eds.). Reconocimiento y recuperación de documentos XXI . Vol. 9021. págs. 90210B. arXiv : 1307.4990 . doi :10.1117/12.2036077. S2CID  10659099.
9. Guo, Kanghui y Demetrio Labate. "La construcción de marcos parsevales lisos de shearlets". Modelado matemático de fenómenos naturales 8.01 (2013): 82–105. "PDF" (PDF) .
10. Grohs, Philipp y Kutyniok, Gitta . "Moléculas parabólicas". Fundamentos de las matemáticas computacionales (próximamente) Grohs, Philipp; Kutyniok, Gitta (2012). "PDF". arXiv : 1206.1958 [math.FA].
11. Easley, Glenn R.; Guo, Kanghui; Labate, Demetrio; Pahari, Basanta R. (10 de agosto de 2020). "Representaciones óptimamente dispersas de datos cilíndricos similares a dibujos animados". La revista de análisis geométrico . 39 (9): 8926–8946. doi :10.1007/s12220-020-00493-0. S2CID  221675372 . Consultado el 22 de enero de 2022 .
12. Bernhard, Bernhard G.; Labate, Demetrio; Pahari, Basanta R. (29 de octubre de 2019). "Proyecciones suaves y la construcción de marcos Parseval suaves de shearlets". Avances en Matemática Computacional . 45 (5–6): 3241–3264. doi :10.1007/s10444-019-09736-3. S2CID  210118010 . Consultado el 22 de enero de 2022 .

Enlaces externos

• Página de inicio de Gitta Kutyniok
• Página de inicio de Demetrio Labate