Ruido

Los noiselets son funciones que dan el peor comportamiento posible para el análisis de paquetes wavelet de Haar . En otras palabras, los noiselets son totalmente incompresibles por el análisis de paquetes wavelet de Haar. ^[1] Al igual que las bases canónicas y de Fourier, que tienen una propiedad incoherente, los noiselets son perfectamente incoherentes con la base de Haar. Además, tienen un algoritmo rápido para su implementación, lo que los hace útiles como base de muestreo para señales que son escasas en el dominio de Haar.

Definición

La función de base madre se define como: $\chi(x)$

$\chi (x)={\begin{cases}1&x\in [0,1)\\0&{\text{de lo contrario}}\end{cases}}$

La familia de noiselets se construye recursivamente de la siguiente manera:

${\begin{alignedat}{2}f_{1}(x)&=\chi(x)\\f_{2n}(x)&=(1-i)f_{n}(2x)+(1+i)f_{n}(2x-1)\\f_{2n+1}(x)&=(1+i)f_{n}(2x)+(1-i)f_{n}(2x-1)\end{alignedat}}$

Propiedad de fnorte

$\{f_{j}|j=2^{N},\puntos ,2^{N+1}-1\}$ es una base ortogonal para , donde es el espacio de todas las aproximaciones posibles en la resolución de funciones en . $Estilo de visualización V_ {N}}$ $Estilo de visualización V_ {N}}$ $Estilo de visualización 2^{N}}$ $Estilo de visualización L^{2}[0,1)}$
Para cada uno , $n\geq 1$ $estilo de visualización int _{0}^{1}f_{n}(x)dx=1}$
Para cada uno , $n\geq 1$ $f_{n}(x)=\prod _{j=0}^{\ell (n)-1}{\tilde {r}}_{v_{j}(n)}(2^{j}x)\in [0,1]$

Construcción matricial de noiselets[2]

Noiselet se puede extender y discretizar. La función extendida se define de la siguiente manera: $f_{m}(k,l)$

${\begin{alignedat}{2}f_{m}(1,l)&={\begin{cases}1&l=0,\dots ,2^{m}-1\\0&{\text{de lo contrario}}\end{cases}}\\f_{m}(2k,l)&=(1-i)f_{m}(k,2l)+(1+i)f_{m}(k,2l-2^{m})\\f_{m}(2k+1,l)&=(1+i)f_{m}(k,2l)+(1-i)f_{m}(k,2l-2^{m})\\\end{alignedat}}$

Usando noiselet extendido , podemos generar la matriz noiselet , donde n es una potencia de dos : $f_{m}(k,l)$ $n\veces n$ $Estilo de visualización N_{n}$ $n=2^{q}$

${\begin{alignedat}{2}N_{1}&=[1]\\N_{2n}&={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1-i&1+i\\1+i&1-i\end{bmatrix}}\otimes N_{n}\\\end{alignedat}}$

Aquí se indica el producto Kronecker. $\otimes$

Supongamos que podemos encontrar que es igual . $Estilo de visualización 2^{m}>n$ $Estilo de visualización N_{n}(k,l)$ $f_{m}(n+k,{\frac {2^{m}}{n}}l)$

Los elementos de las matrices noiselet toman valores discretos de uno de dos conjuntos de cuatro elementos:

${\begin{alignedat}{3}{\sqrt {n}}N_{n}(j,k)&\in \{1,-1,i,-i\}&{\text{para }}q par\\{\sqrt {2n}}N_{n}(j,k)&\in \{1+i,1-i,-1+i,-1-i\}&{\text{para }}q impar\\\end{alignedat}}$

Transformada de noiselet 2D

Las transformadas noiselet 2D se obtienen a través del producto Kronecker de la transformada noiselet 1D:

$N_{n\times k}^{2D}=N_{k}\otimes N_{n}$

Aplicaciones

Noiselet tiene algunas propiedades que los hacen ideales para aplicaciones:

La matriz noiselet se puede derivar en . $O(n\log n)$
Los noiselets extienden completamente su espectro y son perfectamente incoherentes con las wavelets de Haar.
Noiselet es simétrico conjugado y es unitario.

La complementariedad de wavelets y noiselets significa que los noiselets se pueden utilizar en detección comprimida para reconstruir una señal (como una imagen) que tiene una representación compacta en wavelets. ^{[3] Los datos} de MRI se pueden adquirir en el dominio de noiselets y, posteriormente, las imágenes se pueden reconstruir a partir de datos submuestreados utilizando reconstrucción de detección comprimida. ^[4]

A continuación se muestran algunas aplicaciones en las que se ha implementado noiselet:

Imágenes por resonancia magnética (IRM)

La codificación noiselet es una técnica utilizada en resonancia magnética para adquirir imágenes con un tiempo de adquisición reducido. En resonancia magnética, el proceso de obtención de imágenes normalmente implica la codificación de información espacial mediante gradientes. La adquisición tradicional de resonancia magnética se basa en la codificación cartesiana, ^[5] donde la información espacial se muestrea en una cuadrícula cartesiana. Sin embargo, esta metodología puede consumir mucho tiempo, especialmente en imágenes de alta resolución o imágenes dinámicas.

Si bien la codificación noiselet es parte de la detección compresiva , aprovecha la escasez de imágenes para obtenerlas de una manera más eficiente. En la detección compresiva, la idea es adquirir menos muestras que las que dicta el teorema de muestreo de Nyquist-Shannon, bajo el supuesto de que la señal o imagen subyacente es escasa en algún dominio. La descripción general de cómo funciona la codificación noiselet en MRI se explica brevemente a continuación:

La codificación noiselet utiliza una matriz de transformación noiselet, cuyos coeficientes generados dispersan eficazmente la señal a lo largo de la escala y el tiempo. En consecuencia, cada subconjunto de estos coeficientes de transformación captura información específica de la señal original. Cuando estos subconjuntos se utilizan de forma independiente con relleno de ceros, cada uno de ellos puede emplearse para reconstruir la señal original con una resolución reducida. Como no todos los componentes de frecuencia espacial se muestrean mediante la codificación noiselet, el submuestreo permite la reconstrucción de la imagen con menos mediciones, en otras palabras, una obtención de imágenes más eficiente sin sacrificar significativamente la calidad de la imagen.

Imágenes de un solo píxel ^[6]

La obtención de imágenes de un solo píxel es una forma de obtención de imágenes en la que se utiliza un único detector para medir los niveles de luz después de que la muestra se ha iluminado con patrones para lograr mediciones eficientes y compresivas. Noiselet se implementa para aumentar la eficiencia computacional siguiendo el principio de detección compresiva. A continuación, se presenta una descripción general de cómo se aplica Noiselet a las imágenes de un solo píxel:

La matriz de transformación noiselet se aplica a los patrones de iluminación estructurados y distribuye la información de la señal a lo largo del espacio de medición. Los patrones estructurados dan lugar a una representación dispersa de la información de la señal. Esto permite el paso de reconstrucción de la imagen a partir de un conjunto reducido de mediciones, al tiempo que encapsula la información esencial necesaria para reconstruir una imagen con buena calidad en comparación con la original. Los beneficios que aporta el noiselet se pueden resumir de la siguiente manera:

Cantidad reducida de mediciones: se requieren menos mediciones para el cálculo
Datos comprimidos: la representación comprimida de la imagen reduce el tiempo de transmisión y almacenamiento.
Imágenes más rápidas: el tiempo de adquisición general se reduce significativamente, lo que hace que las imágenes de un solo píxel sean adecuadas para aplicaciones de imágenes rápidas.

Referencias

^ R. Coifman, F. Geshwind y Y. Meyer, Noiselets, análisis armónico aplicado y computacional, 10 (2001), págs. 27-44. doi :10.1006/acha.2000.0313.
^ T. Tuma; P. Hurley. "Sobre la incoherencia de las bases noiselet y Haar" (PDF) .
^ E. Candes y J. Romberg, Escasez e incoherencia en el muestreo compresivo, 23 (2007), págs. 969–985. doi :10.1088/0266-5611/23/3/008.
^ K. Pawar, G. Egan y Z. Zhang, Detección compresiva multicanal por resonancia magnética mediante codificación Noiselet, 05 (2015), doi :10.1371/journal.pone.0126386.
^ Pruessmann, Klaas P.; Weiger, Markus; Scheidegger, Markus B.; Boesiger, Peter (noviembre de 1999). "SENSE: codificación de sensibilidad para resonancia magnética rápida". Resonancia Magnética en Medicina . 42 (5): 952–962. doi :10.1002/(SICI)1522-2594(199911)42:5<952::AID-MRM16>3.0.CO;2-S. ISSN 0740-3194. PMID 10542355.
^ Pastuszczak, Anna; Szczygiel, Bartlomiej; Mikolajczyk, Michal; Kotynski, Rafal (2016). Transformada noiselet modificada y su aplicación a la detección compresiva con detectores ópticos de un solo píxel. pp. 1–4. doi :10.1109/ICTON.2016.7550361. ISBN 978-1-5090-1467-5. Consultado el 27 de diciembre de 2023 .