Topología inicial

Topología más gruesa que hace que ciertas funciones sean continuas

En topología general y áreas relacionadas de las matemáticas , la topología inicial (o topología inducida ^{[1] [2]} o topología débil o topología límite o topología proyectiva ) en un conjunto con respecto a una familia de funciones es la topología más burda que hace esas funciones son continuas . ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$

Las construcciones de topología subespacial y topología de producto son casos especiales de topologías iniciales. De hecho, la construcción de la topología inicial puede verse como una generalización de éstas.

La noción dual es la topología final , que para una determinada familia de funciones asignadas a un conjunto es la mejor topología que hace que esas funciones sean continuas. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Definición

Dado un conjunto y una familia indexada de espacios topológicos con funciones, la topología inicial es la topología más burda de manera que cada uno es continuo . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(Y_{i}\right)_{i\in I}}$ $${\displaystyle f_{i}:X\to Y_{i},}$$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle f_{i}:(X,\tau )\to Y_{i}}$$

Definición en términos de conjuntos abiertos.

Si es una familia de topologías indexadas por entonces, la topología de límite superior mínimo de estas topologías es la topología más burda que es más fina que cada una. Esta topología siempre existe y es igual a la topología generada por ^[3] ${\displaystyle \left(\tau _{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle I\neq \varnothing ,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau _{i}.}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigcup \limits _{i\in I}\tau _{i}}.}$

Si for each denota la topología on entonces es una topología on , y la topología inicial de by las asignaciones es la topología de límite superior mínimo de la familia de topologías indexadas (for ). ^[3] Explícitamente, la topología inicial es la colección de conjuntos abiertos generados por todos los conjuntos de la forma donde hay un conjunto abierto para algunas intersecciones finitas y uniones arbitrarias. ${\displaystyle i\in I,}$ ${\displaystyle \sigma _{i}}$ ${\displaystyle Y_{i},}$ ${\displaystyle f_{i}^{-1}\left(\sigma _{i}\right)=\left\{f_{i}^{-1}(V):V\in \sigma _{i}\right\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y_{i}}$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle f_{i}^{-1}\left(\sigma _{i}\right)}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle f_{i}^{-1}(U),}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle Y_{i}}$ ${\displaystyle i\in I,}$

Los conjuntos de la forma suelen denominarse conjuntos de cilindros . Si contiene exactamente un elemento , entonces todos los conjuntos abiertos de la topología inicial son conjuntos de cilindros. ${\displaystyle f_{i}^{-1}(V)}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$

Ejemplos

Varias construcciones topológicas pueden considerarse casos especiales de la topología inicial.

• La topología del subespacio es la topología inicial en el subespacio con respecto al mapa de inclusión .
• La topología del producto es la topología inicial con respecto a la familia de mapas de proyección .
• El límite inverso de cualquier sistema inverso de espacios y mapas continuos es el límite inverso de la teoría de conjuntos junto con la topología inicial determinada por los morfismos canónicos.
• La topología débil en un espacio localmente convexo es la topología inicial con respecto a las formas lineales continuas de su espacio dual .
• Dada una familia de topologías en un conjunto fijo, la topología inicial con respecto a las funciones es el supremo (o unión) de las topologías en la red de topologías. Es decir , la topología inicial es la topología generada por la unión de las topologías. ${\displaystyle \left\{\tau _{i}\right\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {id} _{i}:X\to \left(X,\tau _{i}\right)}$ ${\displaystyle \left\{\tau _{i}\right\}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \left\{\tau _{i}\right\}.}$
• Un espacio topológico es completamente regular si y sólo si tiene la topología inicial con respecto a su familia de funciones continuas de valor real ( acotadas ).
• Todo espacio topológico tiene la topología inicial con respecto a la familia de funciones continuas del espacio de Sierpiński . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Propiedades

Propiedad característica

La topología inicial se puede caracterizar por la siguiente propiedad característica: Una función desde algún espacio hasta es continua si y sólo si es continua para cada ^[4] ${\displaystyle X}$
${\displaystyle g}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f_{i}\circ g}$ ${\displaystyle i\in I.}$

Propiedad característica de la topología inicial.

Tenga en cuenta que, a pesar de parecer bastante similar, esta no es una propiedad universal . A continuación se proporciona una descripción categórica.

Un filtro en converge a un punto si y sólo si el prefiltro converge a para cada ^[4] ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle f_{i}({\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle f_{i}(x)}$ ${\displaystyle i\in I.}$

Evaluación

Por la propiedad universal de la topología del producto , sabemos que cualquier familia de mapas continuos determina un mapa continuo único. ${\displaystyle f_{i}:X\to Y_{i}}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}f:\;&&X&&\;\to \;&\prod _{i}Y_{i}\\[0.3ex]&&x&&\;\mapsto \;&\left(f_{i}(x)\right)_{i\in I}\\\end{alignedat}}}$$

Este mapa es conocido como elmapa de evaluación .^{[ cita necesaria ]}

Se dice que una familia de mapas ${\displaystyle \{f_{i}:X\to Y_{i}\}}$separe puntos ensi para todoenexiste algotal queLa familiasepara puntos si y solo si el mapa de evaluación asociadoesinyectivo. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\neq y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle f_{i}(x)\neq f_{i}(y).}$ ${\displaystyle \{f_{i}\}}$ ${\displaystyle f}$

El mapa de evaluación será una incrustación topológica si y sólo si tiene la topología inicial determinada por los mapas y esta familia de mapas separa puntos en ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{f_{i}\}}$ ${\displaystyle X.}$

hausdorffness

Si tiene la topología inicial inducida por y si cada es Hausdorff, entonces es un espacio de Hausdorff si y sólo si estos mapas separan puntos en ^[3] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left\{f_{i}:X\to Y_{i}\right\}}$ ${\displaystyle Y_{i}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Transitividad de la topología inicial.

Si tiene la topología inicial inducida por la familia de asignaciones indexadas y si para cada topología en es la topología inicial inducida por alguna familia de asignaciones indexadas (en rangos superiores a ), entonces la topología inicial inducida por es igual a la topología inicial topología inducida por la familia de mapeos indexados como rangos sobre y rangos sobre ^[5] A continuación se dan varios corolarios importantes de este hecho. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \left\{f_{i}:X\to Y_{i}\right\}}$ ${\displaystyle i\in I,}$ ${\displaystyle Y_{i}}$ ${\displaystyle J_{i}}$ ${\displaystyle \left\{g_{j}:Y_{i}\to Z_{j}\right\}}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle J_{i}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left\{f_{i}:X\to Y_{i}\right\}}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigcup \limits _{i\in I}J_{i}}}$ ${\displaystyle \left\{g_{j}\circ f_{i}:X\to Z_{j}\right\}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle J_{i}.}$

En particular, si entonces la topología subespacial que hereda es igual a la topología inicial inducida por el mapa de inclusión (definido por ). En consecuencia, si tiene la topología inicial inducida por entonces la topología subespacial que hereda es igual a la topología inicial inducida por las restricciones de a ^[4] ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S\to X}$ ${\displaystyle s\mapsto s}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left\{f_{i}:X\to Y_{i}\right\}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \left\{\left.f_{i}\right|_{S}:S\to Y_{i}\right\}}$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle S.}$

La topología del producto en es igual a la topología inicial inducida por las proyecciones canónicas en rangos sobre ^[4] En consecuencia, la topología inicial en inducida por es igual a la imagen inversa de la topología del producto en por el mapa de evaluación ^[4] Además, si los mapas separan puntos, entonces el mapa de evaluación es un homeomorfismo en el subespacio del espacio del producto ^[4] ${\displaystyle \prod _{i}Y_{i}}$ ${\displaystyle \operatorname {pr} _{i}:\left(x_{k}\right)_{k\in I}\mapsto x_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle I.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left\{f_{i}:X\to Y_{i}\right\}}$ ${\displaystyle \prod _{i}Y_{i}}$ ${\textstyle f:X\to \prod _{i}Y_{i}\,.}$ ${\displaystyle \left\{f_{i}\right\}_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f(X)}$ ${\displaystyle \prod _{i}Y_{i}.}$

Separar puntos de conjuntos cerrados

Si un espacio viene equipado con una topología, a menudo es útil saber si la topología es o no la topología inicial inducida por alguna familia de mapas. Esta sección proporciona una condición suficiente (pero no necesaria). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Una familia de mapas separa puntos de conjuntos cerrados en si para todos los conjuntos cerrados en y todos existe algo tal que donde denota el operador de cierre . ${\displaystyle \left\{f_{i}:X\to Y_{i}\right\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\not \in A,}$ ${\displaystyle i}$ $${\displaystyle f_{i}(x)\notin \operatorname {cl} (f_{i}(A))}$$ ${\displaystyle \operatorname {cl} }$

Teorema . Una familia de mapas continuos separa puntos de conjuntos cerrados si y sólo si los conjuntos de cilindros abiertos forman una base para la topología en ${\displaystyle \left\{f_{i}:X\to Y_{i}\right\}}$ ${\displaystyle f_{i}^{-1}(V),}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle Y_{i},}$ ${\displaystyle X.}$

De ello se deduce que siempre que se separan puntos de conjuntos cerrados, el espacio tiene la topología inicial inducida por los mapas. Lo contrario falla, ya que generalmente los conjuntos de cilindros solo formarán una subbase (y no una base) para la topología inicial. ${\displaystyle \left\{f_{i}\right\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left\{f_{i}\right\}.}$

Si el espacio es un espacio T , entonces cualquier colección de mapas que separe puntos de conjuntos cerrados también debe separar puntos. En este caso, el mapa de evaluación será una incrustación. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left\{f_{i}\right\}}$ ${\displaystyle X}$

Estructura uniforme inicial

Si es una familia de estructuras uniformes indexadas por entonces, la estructura uniforme con el límite superior mínimo es la estructura uniforme más gruesa que es más fina que cada una. Este uniforme siempre existe y es igual al filtro generado por la subbase del filtro ^[6] Si es la topología inducida por la estructura uniforme, entonces la topología asociada con la estructura uniforme del límite superior mínimo es igual a la topología del límite superior mínimo de ^[6] ${\displaystyle \left({\mathcal {U}}_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle I\neq \varnothing ,}$ ${\displaystyle \left({\mathcal {U}}_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{i}.}$ ${\displaystyle X\times X}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigcup \limits _{i\in I}{\mathcal {U}}_{i}}.}$ ${\displaystyle \tau _{i}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{i}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(\tau _{i}\right)_{i\in I}.}$

Ahora supongamos que es una familia de mapas y para cada uno sea una estructura uniforme. Entonces la estructura uniforme inicial de los mapeos es la única estructura uniforme más gruesa , haciendo que todos sean uniformemente continuos . ^[6] Es igual a la estructura uniforme con el límite superior mínimo de la familia indexada de estructuras uniformes (para ). ^[6] La topología inducida por es la topología más burda de modo que cada es continuo. ^[6] La estructura uniforme inicial también es igual a la estructura uniforme más basta, de modo que las asignaciones de identidad sean uniformemente continuas. ^[6] ${\displaystyle \left\{f_{i}:X\to Y_{i}\right\}}$ ${\displaystyle i\in I,}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{i}}$ ${\displaystyle Y_{i}.}$ ${\displaystyle Y_{i}}$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f_{i}:\left(X,{\mathcal {U}}\right)\to \left(Y_{i},{\mathcal {U}}_{i}\right)}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle f_{i}^{-1}\left({\mathcal {U}}_{i}\right)}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f_{i}:X\to Y_{i}}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle \operatorname {id} :\left(X,{\mathcal {U}}\right)\to \left(X,f_{i}^{-1}\left({\mathcal {U}}_{i}\right)\right)}$

Hausdorffness : La topología inducida por la estructura uniforme inicial es Hausdorff si y solo si para siempre son distintos ( ) entonces existe algo y algún entorno de tal que ^[6] Además, si para cada índice la topología inducida por es Hausdorff entonces la topología inducida por la estructura uniforme inicial es Hausdorff si y solo si los mapas separan puntos en ^[6] (o de manera equivalente, si y solo si el mapa de evaluación es inyectivo) ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle x,y\in X}$ ${\displaystyle x\neq y}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle V_{i}\in {\mathcal {U}}_{i}}$ ${\displaystyle Y_{i}}$ ${\displaystyle \left(f_{i}(x),f_{i}(y)\right)\not \in V_{i}.}$ ${\displaystyle i\in I,}$ ${\displaystyle Y_{i}}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{i}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle \left\{f_{i}:X\to Y_{i}\right\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\textstyle f:X\to \prod _{i}Y_{i}}$

Continuidad uniforme : si la estructura uniforme inicial es inducida por las asignaciones, entonces una función desde algún espacio uniforme es uniformemente continua si y solo si es uniformemente continua para cada uno ^[6] ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle \left\{f_{i}:X\to Y_{i}\right\},}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {U}})}$ ${\displaystyle f_{i}\circ g:Z\to Y_{i}}$ ${\displaystyle i\in I.}$

Filtro Cauchy : Un filtro activado es un filtro Cauchy activado si y solo si hay un prefiltro Cauchy activado para cada ^[6] ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {U}})}$ ${\displaystyle f_{i}\left({\mathcal {B}}\right)}$ ${\displaystyle Y_{i}}$ ${\displaystyle i\in I.}$

Transitividad de la estructura uniforme inicial : si la palabra "topología" se reemplaza por "estructura uniforme" en la declaración de "transitividad de la topología inicial" dada anteriormente, entonces la declaración resultante también será verdadera.

Descripción categórica

En el lenguaje de la teoría de categorías , la construcción de la topología inicial se puede describir de la siguiente manera. Sea el functor de una categoría discreta a la categoría de espacios topológicos que mapea . Sea el funtor olvidadizo habitual de a . Los mapas pueden entonces considerarse como un cono desde a Es decir, es un objeto de —la categoría de conos a Más precisamente, este cono define un cosink estructurado en ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle \mathrm {Top} }$ ${\displaystyle j\mapsto Y_{j}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathrm {Top} }$ ${\displaystyle \mathrm {Set} }$ ${\displaystyle f_{j}:X\to Y_{j}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle UY.}$ ${\displaystyle (X,f)}$ ${\displaystyle \mathrm {Cone} (UY):=(\Delta \downarrow {UY})}$ ${\displaystyle UY.}$ ${\displaystyle (X,f)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathrm {Set} .}$

El funtor olvidadizo induce un funtor . La propiedad característica de la topología inicial es equivalente a la afirmación de que existe un morfismo universal de a , es decir, un objeto terminal en la categoría. Explícitamente, esto consiste en un objeto en junto con un morfismo tal que para cualquier objeto en y morfismo hay Existe un morfismo único tal que el siguiente diagrama conmuta: ${\displaystyle U:\mathrm {Top} \to \mathrm {Set} }$ ${\displaystyle {\bar {U}}:\mathrm {Cone} (Y)\to \mathrm {Cone} (UY)}$ ${\displaystyle {\bar {U}}}$ ${\displaystyle (X,f);}$ ${\displaystyle \left({\bar {U}}\downarrow (X,f)\right).}$
${\displaystyle I(X,f)}$ ${\displaystyle \mathrm {Cone} (Y)}$ ${\displaystyle \varepsilon :{\bar {U}}I(X,f)\to (X,f)}$ ${\displaystyle (Z,g)}$ ${\displaystyle \mathrm {Cone} (Y)}$ ${\displaystyle \varphi :{\bar {U}}(Z,g)\to (X,f)}$ ${\displaystyle \zeta :(Z,g)\to I(X,f)}$

La asignación que coloca la topología inicial se extiende a un funtor que es adjunto derecho al funtor olvidadizo. De hecho, es un inverso derecho de ; ya que el funtor de identidad está en ${\displaystyle (X,f)\mapsto I(X,f)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle I:\mathrm {Cone} (UY)\to \mathrm {Cone} (Y)}$ ${\displaystyle {\bar {U}}.}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle {\bar {U}}}$ ${\displaystyle {\bar {U}}I}$ ${\displaystyle \mathrm {Cone} (UY).}$

Ver también

• Topología final  : la mejor topología que hace que algunas funciones sean continuas
• Topología del producto  : topología de productos cartesianos de espacios topológicos
• Espacio cociente (topología)  - Construcción del espacio topológico
• Topología subespacial  : topología heredada

Referencias

1. Rudin, Walter (1991). Análisis funcional. Serie Internacional en Matemática Pura y Aplicada. vol. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: McGraw-Hill Ciencias/Ingeniería/Matemáticas . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277.
2. Adamson, Iain T. (1996). "Topologías inducidas y coinducidas". Un libro de trabajo de topología general . Birkhäuser, Boston, MA. págs. 23–30. doi :10.1007/978-0-8176-8126-5_3. ISBN 978-0-8176-3844-3. Consultado el 21 de julio de 2020 . ... la topología inducida en E por la familia de mapeos ...
3. Grothendieck 1973, pag. 1.
4. Grothendieck 1973, pág. 2.
5. Grothendieck 1973, págs. 1-2.
6. Grothendieck 1973, pág. 3.

Bibliografía

• Bourbaki, Nicolás (1989) [1966]. Topología general: capítulos 1 a 4 [ Topologie Générale ]. Elementos matemáticos . Berlín Nueva York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64241-1. OCLC  18588129.
• Bourbaki, Nicolás (1989) [1967]. Topología general 2: Capítulos 5 a 10 [ Topologie Générale ]. Elementos matemáticos . vol. 4. Berlín Nueva York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64563-4. OCLC  246032063.
• Dugundji, James (1966). Topología . Boston: Allyn y Bacon. ISBN 978-0-697-06889-7. OCLC  395340485.
• Grothendieck, Alejandro (1973). Espacios vectoriales topológicos . Traducido por Chaljub, Orlando. Nueva York: Gordon y Breach Science Publishers. ISBN 978-0-677-30020-7. OCLC  886098.
• Willard, Stephen (2004) [1970]. Topología general. Mineola, Nueva York : Publicaciones de Dover . ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC  115240.
• Willard, Stephen (1970). Topología general . Reading, Massachusetts: Addison-Wesley. ISBN 0-486-43479-6.

enlaces externos

• Topología inicial en PlanetMath .
• Topología de producto y topología subespacial en PlanetMath .