Relación de equivalencia

Concepto matemático para comparar objetos.

Las 52 relaciones de equivalencia de un conjunto de 5 elementos se representan como matrices lógicas (los campos de colores, incluidos los de color gris claro, representan los unos; los campos de color blanco, los ceros). Los índices de fila y columna de las celdas que no son de color blanco son los elementos relacionados, mientras que los colores diferentes, distintos del gris claro, indican las clases de equivalencia (cada celda de color gris claro es su propia clase de equivalencia). ${\displaystyle 5\times 5}$

En matemáticas , una relación de equivalencia es una relación binaria que es reflexiva , simétrica y transitiva . La relación de equipolencia entre segmentos de línea en geometría es un ejemplo común de una relación de equivalencia. Un ejemplo más simple es la igualdad. Cualquier número es igual a sí mismo (reflexiva). Si , entonces (simétrica). Si y , entonces (transitiva). ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a=b}$ ${\displaystyle b=a}$ ${\displaystyle a=b}$ ${\displaystyle b=c}$ ${\displaystyle a=c}$

Cada relación de equivalencia proporciona una partición del conjunto subyacente en clases de equivalencia disjuntas . Dos elementos del conjunto dado son equivalentes entre sí si y solo si pertenecen a la misma clase de equivalencia.

Notación

En la literatura se utilizan diversas notaciones para indicar que dos elementos y de un conjunto son equivalentes con respecto a una relación de equivalencia; las más comunes son " " y " a ≡ b ", que se utilizan cuando está implícito, y variaciones de " ", " a ≡ _R b " o " " para especificar de forma explícita. La no equivalencia se puede escribir " a ≁ b " o " ". ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle R;}$ ${\displaystyle a\sim b}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle a\sim _{R}b}$ ${\displaystyle {a\mathop {R} b}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle a\not \equiv b}$

Definición

Una relación binaria en un conjunto se dice que es una relación de equivalencia, si y sólo si es reflexiva, simétrica y transitiva. Es decir, para todos y en ${\displaystyle \,\sim \,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle a,b,}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle X:}$

• ${\displaystyle a\sim a}$( reflexividad ).
• ${\displaystyle a\sim b}$si y sólo si ( simetría ). ${\displaystyle b\sim a}$
• Si y entonces ( transitividad ). ${\displaystyle a\sim b}$ ${\displaystyle b\sim c}$ ${\displaystyle a\sim c}$

${\displaystyle X}$Junto con la relación se denomina setoide . La clase de equivalencia de la denotada se define como ^{[1] [2]} ${\displaystyle \,\sim \,}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \,\sim ,}$ ${\displaystyle [a],}$ ${\displaystyle [a]=\{x\in X:x\sim a\}.}$

Definición alternativa utilizando álgebra relacional

En álgebra relacional , si y son relaciones, entonces la relación compuesta se define de modo que si y solo si existe un tal que y . ^{[nota 1]} Esta definición es una generalización de la definición de composición funcional . Las propiedades definitorias de una relación de equivalencia en un conjunto pueden entonces reformularse de la siguiente manera: ${\displaystyle R\subseteq X\times Y}$ ${\displaystyle S\subseteq Y\times Z}$ ${\displaystyle SR\subseteq X\times Z}$ ${\displaystyle x\,SR\,z}$ ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle x\,R\,y}$ ${\displaystyle y\,S\,z}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle X}$

• ${\displaystyle \operatorname {id} \subseteq R}$. ( reflexividad ). (Aquí, denota la función identidad en .) ${\displaystyle \operatorname {id} }$ ${\displaystyle X}$
• ${\displaystyle R=R^{-1}}$( simetría ).
• ${\displaystyle RR\subseteq R}$( transitividad ). ^[3]

Ejemplos

Ejemplo sencillo

En el conjunto , la relación es una relación de equivalencia. Los siguientes conjuntos son clases de equivalencia de esta relación: ${\displaystyle X=\{a,b,c\}}$ ${\displaystyle R=\{(a,a),(b,b),(c,c),(b,c),(c,b)\}}$ $${\displaystyle [a]=\{a\},~~~~[b]=[c]=\{b,c\}.}$$

El conjunto de todas las clases de equivalencia para es Este conjunto es una partición del conjunto . También se le llama conjunto cociente de por . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \{\{a\},\{b,c\}\}.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R}$

Relaciones de equivalencia

Las siguientes relaciones son todas relaciones de equivalencia:

• "Es igual a" en el conjunto de números. Por ejemplo, es igual a ^[2] ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {4}{8}}.}$
• "Tiene el mismo cumpleaños que" en el set de todas las personas.
• "Es similar a" en el conjunto de todos los triángulos .
• "Es congruente con" en el conjunto de todos los triángulos .
• Dado un número natural , "es congruente con, módulo " en los números enteros . ^[2] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$
• Dada una función , "tiene la misma imagen bajo que" en los elementos del dominio de . Por ejemplo, y tienen la misma imagen bajo , es decir . ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \sin }$ ${\displaystyle 0}$
• "Tiene el mismo valor absoluto que" en el conjunto de números reales
• "Tiene el mismo coseno que" en el conjunto de todos los ángulos.

Relaciones que no son equivalencias

• La relación "≥" entre números reales es reflexiva y transitiva, pero no simétrica. Por ejemplo, 7 ≥ 5 pero no 5 ≥ 7.
• La relación “tiene un factor común mayor que 1 con” entre números naturales mayores que 1, es reflexiva y simétrica, pero no transitiva. Por ejemplo, los números naturales 2 y 6 tienen un factor común mayor que 1, y 6 y 3 tienen un factor común mayor que 1, pero 2 y 3 no tienen un factor común mayor que 1.
• La relación vacía R (definida de modo que aRb nunca es verdadera) en un conjunto X es vacuamente simétrica y transitiva; sin embargo, no es reflexiva (a menos que X mismo esté vacío).
• La relación "es aproximadamente igual a" entre números reales, incluso si se define con mayor precisión, no es una relación de equivalencia, porque, aunque reflexiva y simétrica, no es transitiva, ya que múltiples cambios pequeños pueden acumularse para convertirse en un gran cambio. Sin embargo, si la aproximación se define asintóticamente, por ejemplo, diciendo que dos funciones f y g son aproximadamente iguales cerca de un punto si el límite de f − g es 0 en ese punto, entonces esto define una relación de equivalencia.

Conexiones con otras relaciones

• Un orden parcial es una relación reflexiva, antisimétrica y transitiva.
• La igualdad es a la vez una relación de equivalencia y un orden parcial. La igualdad es también la única relación en un conjunto que es reflexiva, simétrica y antisimétrica. En expresiones algebraicas , las variables iguales pueden sustituirse entre sí, una función que no está disponible para las variables relacionadas con la equivalencia. Las clases de equivalencia de una relación de equivalencia pueden sustituirse entre sí, pero no los individuos dentro de una clase.
• Un orden parcial estricto es irreflexivo, transitivo y asimétrico .
• Una relación de equivalencia parcial es transitiva y simétrica. Una relación de este tipo es reflexiva si y solo si es total , es decir, si para todo existe algún ^{[prueba 1]} Por lo tanto, una relación de equivalencia puede definirse alternativamente como una relación simétrica, transitiva y total. ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle b{\text{ such that }}a\sim b.}$
• Una relación de equivalencia ternaria es un análogo ternario de la relación de equivalencia (binaria) habitual.
• Una relación reflexiva y simétrica es una relación de dependencia (si es finita) y una relación de tolerancia si es infinita.
• Un preorden es reflexivo y transitivo.
• Una relación de congruencia es una relación de equivalencia cuyo dominio es también el conjunto subyacente para una estructura algebraica , y que respeta la estructura adicional. En general, las relaciones de congruencia desempeñan el papel de núcleos de homomorfismos, y se puede formar el cociente de una estructura por una relación de congruencia. En muchos casos importantes, las relaciones de congruencia tienen una representación alternativa como subestructuras de la estructura en la que están definidas (por ejemplo, las relaciones de congruencia sobre grupos corresponden a los subgrupos normales ). ${\displaystyle X}$
• Toda relación de equivalencia es la negación de una relación de separación , aunque la afirmación inversa sólo es válida en matemáticas clásicas (a diferencia de las matemáticas constructivas ), ya que es equivalente a la ley del medio excluido .
• Cada relación que sea a la vez reflexiva y euclidiana izquierda (o derecha) es también una relación de equivalencia.

Bien definida bajo una relación de equivalencia

Si es una relación de equivalencia en y es una propiedad de elementos de tal que siempre que sea verdadero si es verdadero, entonces se dice que la propiedad está bien definida o es una clase invariante bajo la relación. ${\displaystyle \,\sim \,}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle P(x)}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle x\sim y,}$ ${\displaystyle P(x)}$ ${\displaystyle P(y)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \,\sim .}$

Un caso particular frecuente ocurre cuando es una función de a otro conjunto si implica entonces se dice que es un morfismo para una clase invariante bajo o simplemente invariante bajo Esto ocurre, por ejemplo, en la teoría de caracteres de grupos finitos. El último caso con la función puede expresarse mediante un triángulo conmutativo. Véase también invariante . Algunos autores usan "compatible con " o simplemente "respeta " en lugar de "invariante bajo ". ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y;}$ ${\displaystyle x_{1}\sim x_{2}}$ ${\displaystyle f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \,\sim ,}$ ${\displaystyle \,\sim ,}$ ${\displaystyle \,\sim .}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \,\sim }$ ${\displaystyle \,\sim }$ ${\displaystyle \,\sim }$

De manera más general, una función puede asignar argumentos equivalentes (bajo una relación de equivalencia ) a valores equivalentes (bajo una relación de equivalencia ). Dicha función se conoce como morfismo de a ${\displaystyle \,\sim _{A}}$ ${\displaystyle \,\sim _{B}}$ ${\displaystyle \,\sim _{A}}$ ${\displaystyle \,\sim _{B}.}$

Definiciones importantes relacionadas

Sea , y una relación de equivalencia. A continuación se presentan algunas definiciones y terminologías clave: ${\displaystyle a,b\in X}$ ${\displaystyle \sim }$

Clase de equivalencia

Un subconjunto de tal que se cumple para todos y en , y nunca para dentro y fuera de , se llama clase de equivalencia de por . Sea la clase de equivalencia a la que pertenece. Todos los elementos de que son equivalentes entre sí también son elementos de la misma clase de equivalencia. ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle a\sim b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle [a]:=\{x\in X:a\sim x\}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle X}$

Conjunto cociente

El conjunto de todas las clases de equivalencia de por denotado es el conjunto cociente de por Si es un espacio topológico , hay una forma natural de transformarlo en un espacio topológico; consulte Espacio cociente para los detalles. ^{[¿ peso indebido? – discutir ]} ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sim ,}$ ${\displaystyle X/{\mathord {\sim }}:=\{[x]:x\in X\},}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sim .}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X/\sim }$

Proyección

La proyección de es la función definida por la cual asigna elementos de a sus respectivas clases de equivalencia mediante ${\displaystyle \,\sim \,}$ ${\displaystyle \pi :X\to X/{\mathord {\sim }}}$ ${\displaystyle \pi (x)=[x]}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \,\sim .}$

Teorema sobre proyecciones : ^[4] Sea la función tal que si entonces Entonces existe una única función tal que Si es una sobreyección y entonces es una biyección . ${\displaystyle f:X\to B}$ ${\displaystyle a\sim b}$ ${\displaystyle f(a)=f(b).}$ ${\displaystyle g:X/\sim \to B}$ ${\displaystyle f=g\pi .}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a\sim b{\text{ if and only if }}f(a)=f(b),}$ ${\displaystyle g}$

Núcleo de equivalencia

El núcleo de equivalencia de una función es la relación de equivalencia ~ definida por El núcleo de equivalencia de una inyección es la relación de identidad . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x\sim y{\text{ if and only if }}f(x)=f(y).}$

Dividir

Una partición de X es un conjunto P de subconjuntos no vacíos de X , de modo que cada elemento de X es un elemento de un único elemento de P . Cada elemento de P es una celda de la partición. Además, los elementos de P son disjuntos por pares y su unión es X .

Contando particiones

Sea X un conjunto finito con n elementos. Como a cada relación de equivalencia sobre X le corresponde una partición de X , y viceversa, el número de relaciones de equivalencia sobre X es igual al número de particiones distintas de X , que es el n º número de Bell B _n :

$${\displaystyle B_{n}={\frac {1}{e}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k^{n}}{k!}}\quad }$$( Fórmula de Dobinski ).

Teorema fundamental de las relaciones de equivalencia

Un resultado clave vincula las relaciones de equivalencia y las particiones: ^{[5] [6] [7]}

• Una relación de equivalencia ~ en un conjunto X particiona X .
• Por el contrario, correspondiente a cualquier partición de X , existe una relación de equivalencia ~ en X .

En ambos casos, las celdas de la partición de X son las clases de equivalencia de X por ~. Como cada elemento de X pertenece a una celda única de cualquier partición de X , y como cada celda de la partición es idéntica a una clase de equivalencia de X por ~ , cada elemento de X pertenece a una clase de equivalencia única de X por ~ . Por lo tanto, existe una biyección natural entre el conjunto de todas las relaciones de equivalencia en X y el conjunto de todas las particiones de X .

Comparación de relaciones de equivalencia

Si y son dos relaciones de equivalencia en el mismo conjunto , y implica para todos entonces se dice que es una relación más burda que , y es una relación más fina que . Equivalentemente, ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle \approx }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle a\sim b}$ ${\displaystyle a\approx b}$ ${\displaystyle a,b\in S,}$ ${\displaystyle \approx }$ ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle \approx }$

• ${\displaystyle \sim }$es más fino que si cada clase de equivalencia de es un subconjunto de una clase de equivalencia de , y por lo tanto cada clase de equivalencia de es una unión de clases de equivalencia de . ${\displaystyle \approx }$ ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle \approx }$ ${\displaystyle \approx }$ ${\displaystyle \sim }$
• ${\displaystyle \sim }$es más fino que si la partición creada por es un refinamiento de la partición creada por . ${\displaystyle \approx }$ ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle \approx }$

La relación de equivalencia de igualdad es la relación de equivalencia más fina en cualquier conjunto, mientras que la relación universal, que relaciona todos los pares de elementos, es la más burda.

La relación " es más fina que " en el conjunto de todas las relaciones de equivalencia en un conjunto fijo es en sí misma una relación de orden parcial, lo que convierte al conjunto en una red geométrica . ^[8] ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle \approx }$

Generando relaciones de equivalencia

• Dado un conjunto cualquiera, se puede obtener una relación de equivalencia sobre el conjunto de todas las funciones de la siguiente manera. Dos funciones se consideran equivalentes cuando sus respectivos conjuntos de puntos fijos tienen la misma cardinalidad , correspondiente a ciclos de longitud uno en una permutación . ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle [X\to X]}$ ${\displaystyle X\to X}$
• Una relación de equivalencia sobre es el núcleo de equivalencia de su proyección sobreyectiva ^[9] A la inversa, cualquier sobreyección entre conjuntos determina una partición sobre su dominio, el conjunto de preimágenes de singletons en el codominio . Por lo tanto, una relación de equivalencia sobre una partición de y una proyección cuyo dominio es son tres formas equivalentes de especificar la misma cosa. ${\displaystyle \,\sim \,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi :X\to X/\sim .}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X,}$
• La intersección de cualquier conjunto de relaciones de equivalencia sobre X (relaciones binarias vistas como un subconjunto de ) también es una relación de equivalencia. Esto produce una forma conveniente de generar una relación de equivalencia: dada cualquier relación binaria R sobre X , la relación de equivalencia generada por R es la intersección de todas las relaciones de equivalencia que contienen a R (también conocida como la relación de equivalencia más pequeña que contiene a R ). Concretamente, R genera la relación de equivalencia ${\displaystyle X\times X}$

${\displaystyle a\sim b}$si existe un número natural y elementos tales que , , y o , para ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}\in X}$ ${\displaystyle a=x_{0}}$ ${\displaystyle b=x_{n}}$ ${\displaystyle x_{i-1}\mathrel {R} x_{i}}$ ${\displaystyle x_{i}\mathrel {R} x_{i-1}}$ ${\displaystyle i=1,\ldots ,n.}$

La relación de equivalencia generada de esta manera puede ser trivial. Por ejemplo, la relación de equivalencia generada por cualquier orden total en X tiene exactamente una clase de equivalencia, X misma.

• Las relaciones de equivalencia pueden construir nuevos espacios "pegando cosas". Sea X el cuadrado cartesiano unitario y sea ~ la relación de equivalencia en X definida por para todos y para todos Entonces el espacio cociente se puede identificar naturalmente ( homeomorfismo ) con un toro : tome un trozo de papel cuadrado, doble y pegue juntos el borde superior e inferior para formar un cilindro, luego doble el cilindro resultante para pegar juntos sus dos extremos abiertos, lo que da como resultado un toro. ${\displaystyle [0,1]\times [0,1],}$ ${\displaystyle (a,0)\sim (a,1)}$ ${\displaystyle a\in [0,1]}$ ${\displaystyle (0,b)\sim (1,b)}$ ${\displaystyle b\in [0,1],}$ ${\displaystyle X/\sim }$

Estructura algebraica

Gran parte de las matemáticas se basa en el estudio de las equivalencias y las relaciones de orden . La teoría de retículos capta la estructura matemática de las relaciones de orden. Aunque las relaciones de equivalencia son tan omnipresentes en matemáticas como las relaciones de orden, la estructura algebraica de las equivalencias no es tan conocida como la de los órdenes. La primera estructura se basa principalmente en la teoría de grupos y, en menor medida, en la teoría de retículos, categorías y grupoides .

Teoría de grupos

Así como las relaciones de orden se fundamentan en conjuntos ordenados , conjuntos cerrados bajo el supremo y el ínfimo por pares , las relaciones de equivalencia se fundamentan en conjuntos particionados , que son conjuntos cerrados bajo biyecciones que preservan la estructura de partición. Dado que todas estas biyecciones asignan una clase de equivalencia sobre sí misma, dichas biyecciones también se conocen como permutaciones . Por lo tanto, los grupos de permutación (también conocidos como grupos de transformación ) y la noción relacionada de órbita arrojan luz sobre la estructura matemática de las relaciones de equivalencia.

Sea '~' una relación de equivalencia sobre un conjunto no vacío A , llamado universo o conjunto subyacente. Sea G el conjunto de funciones biyectivas sobre A que preservan la estructura de partición de A , lo que significa que para todos y Entonces se cumplen los siguientes tres teoremas conexos: ^[10] ${\displaystyle x\in A}$ ${\displaystyle g\in G,g(x)\in [x].}$

• ~ divide A en clases de equivalencia. (Este es el Teorema Fundamental de las Relaciones de Equivalencia , mencionado anteriormente);
• Dada una partición de A , G es un grupo de transformación bajo composición, cuyas órbitas son las celdas de la partición; ^[14]
• Dado un grupo de transformación G sobre A , existe una relación de equivalencia ~ sobre A , cuyas clases de equivalencia son las órbitas de G . ^{[15] [16]}

En resumen, dada una relación de equivalencia ~ sobre A , existe un grupo de transformación G sobre A cuyas órbitas son las clases de equivalencia de A bajo ~.

Esta caracterización de las relaciones de equivalencia por parte de un grupo de transformación difiere fundamentalmente de la forma en que las redes caracterizan las relaciones de orden. Los argumentos de las operaciones de la teoría de redes encuentro y unión son elementos de algún universo A . Mientras tanto, los argumentos de las operaciones del grupo de transformación composición e inversa son elementos de un conjunto de biyecciones , A → A .

Pasando a los grupos en general, sea H un subgrupo de algún grupo G . Sea ~ una relación de equivalencia en G , tal que Las clases de equivalencia de ~ (también llamadas órbitas de la acción de H sobre G) son las clases laterales derechas de H en G . Intercambiando a y b se obtienen las clases laterales izquierdas. ${\displaystyle a\sim b{\text{ if and only if }}ab^{-1}\in H.}$

Se puede encontrar un pensamiento relacionado en Rosen (2008: cap. 10).

Categorías y grupoides

Sea G un conjunto y sea "~" una relación de equivalencia sobre G . Entonces podemos formar un grupoide que represente esta relación de equivalencia de la siguiente manera. Los objetos son los elementos de G , y para cualesquiera dos elementos x e y de G , existe un morfismo único de x a y si y solo si ${\displaystyle x\sim y.}$

Las ventajas de considerar una relación de equivalencia como un caso especial de un grupoide incluyen:

• Si bien no existe la noción de "relación de equivalencia libre", sí existe la de un grupoide libre en un grafo dirigido . Por lo tanto, tiene sentido hablar de una "presentación de una relación de equivalencia", es decir, una presentación del grupoide correspondiente;
• Los haces de grupos, las acciones de grupo , los conjuntos y las relaciones de equivalencia pueden considerarse casos especiales de la noción de grupoide, un punto de vista que sugiere una serie de analogías;
• En muchos contextos, el "cociente", y por lo tanto las relaciones de equivalencia apropiadas, a menudo llamadas congruencias , son importantes. Esto conduce a la noción de un grupoide interno en una categoría . ^[17]

Celosías

Las relaciones de equivalencia en cualquier conjunto X , cuando se ordenan por inclusión de conjuntos , forman una red completa , llamada Con X por convención . La función canónica ker  : X ^ X → Con X , relaciona el monoide X ^ X de todas las funciones en X y Con X . ker es sobreyectiva pero no inyectiva . De manera menos formal, la relación de equivalencia ker en X , lleva cada función f  : X → X a su núcleo ker f . Del mismo modo, ker(ker) es una relación de equivalencia en X ^ X .

Relaciones de equivalencia y lógica matemática

Las relaciones de equivalencia son una fuente fácil de ejemplos o contraejemplos. Por ejemplo, una relación de equivalencia con exactamente dos clases de equivalencia infinitas es un ejemplo sencillo de una teoría que es ω- categórica , pero no categórica para ningún número cardinal mayor .

Una implicación de la teoría de modelos es que las propiedades que definen una relación pueden demostrarse independientes entre sí (y, por lo tanto, son partes necesarias de la definición) si y solo si, para cada propiedad, se pueden encontrar ejemplos de relaciones que no satisfacen la propiedad dada pero satisfacen todas las demás propiedades. Por lo tanto, las tres propiedades que definen las relaciones de equivalencia pueden demostrarse mutuamente independientes mediante los tres ejemplos siguientes:

• Reflexiva y transitiva : La relación ≤ en N. O cualquier preorden ;
• Simétrica y transitiva : La relación R sobre N , definida como aRb ↔ ab ≠ 0. O cualquier relación de equivalencia parcial ;
• Reflexiva y simétrica : La relación R sobre Z , definida como aRb ↔ " a − b es divisible por al menos uno de 2 o 3." O cualquier relación de dependencia .

Las propiedades definibles en lógica de primer orden que una relación de equivalencia puede o no poseer incluyen:

• El número de clases de equivalencia es finito o infinito;
• El número de clases de equivalencia es igual al número natural (finito) n ;
• Todas las clases de equivalencia tienen cardinalidad infinita ;
• El número de elementos en cada clase de equivalencia es el número natural n .

Véase también

• Relación de equivalencia de Borel
• Gráfico de conglomerados  : gráfico formado a partir de la unión disjunta de gráficos completos
• Clase de conjugación  : En teoría de grupos, clase de equivalencia bajo la relación de conjugación.
• Equipolencia (geometría)  – Propiedad de los segmentos que tienen la misma longitud y la misma dirección.
• Relación de equivalencia hiperfinita
• Cociente por una relación de equivalencia  – Generalización de clases de equivalencia a la teoría de esquemas
• Conjugación topológica  – Concepto en topología
• Hasta  – Enunciado matemático de unicidad, salvo estructura equivalente (relación de equivalencia)

Notas

1. A veces, la composición se escribe como , o como ; en ambos casos, es la primera relación que se aplica. Consulte el artículo sobre Composición de relaciones para obtener más información. ${\displaystyle SR\subseteq X\times Z}$ ${\displaystyle R;S}$ ${\displaystyle RS}$ ${\displaystyle R}$

1. Si: Dado, se mantiene usando totalidad, entonces por simetría, por lo tanto por transitividad. — Sólo si: Dado , se elige, entonces por reflexividad. ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle a\sim b}$ ${\displaystyle b\sim a}$ ${\displaystyle a\sim a}$ ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle b=a,}$ ${\displaystyle a\sim b}$

1. Weisstein, Eric W. "Clase de equivalencia". mathworld.wolfram.com . Consultado el 30 de agosto de 2020 .
2. «7.3: Clases de equivalencia». Matemáticas LibreTexts . 2017-09-20 . Consultado el 2020-08-30 .
3. Halmos, Paul Richard (1914). Teoría de conjuntos ingenua . Nueva York: Springer. pag. 41.ISBN​ 978-0-387-90104-6.
4. Garrett Birkhoff y Saunders Mac Lane , 1999 (1967). Álgebra , 3.ª ed., pág. 35, Th. 19. Chelsea.
5. Wallace, DAR, 1998. Grupos, anillos y campos . p. 31, Th. 8. Springer-Verlag.
6. Dummit, DS y Foote, RM, 2004. Álgebra abstracta , 3.ª ed., pág. 3, Prop. 2. John Wiley & Sons.
7. Karel Hrbacek y Thomas Jech (1999) Introducción a la teoría de conjuntos , 3.ª edición, páginas 29-32, Marcel Dekker
8. Birkhoff, Garrett (1995), Lattice Theory , Colloquium Publications, vol. 25 (3.ª ed.), American Mathematical Society, ISBN 9780821810255. Sección IV.9, Teorema 12, página 95
9. Garrett Birkhoff y Saunders Mac Lane , 1999 (1967). Álgebra , 3.ª ed., pág. 33, Th. 18. Chelsea.
10. Rosen (2008), pp. 243–45. Menos claro es el §10.3 de Bas van Fraassen , 1989. Laws and Symmetry . Oxford Univ. Press.
11. Bas van Fraassen, 1989. Leyes y simetría . Oxford Univ. Press: 246.
12. Wallace, DAR, 1998. Grupos, anillos y campos . Springer-Verlag: 22, Th. 6.
13. Wallace, DAR, 1998. Grupos, anillos y campos . Springer-Verlag: 24, Th. 7.
14. Demostración . ^[11] Sea la función composición la que interpreta la multiplicación de grupos, y la función inversa la que interpreta la inversa de grupos. Entonces G es un grupo bajo composición, lo que significa que y porque G satisface las siguientes cuatro condiciones: ${\displaystyle x\in A}$ ${\displaystyle g\in G,[g(x)]=[x],}$
    • G está cerrado bajo composición . La composición de dos elementos cualesquiera de G existe, porque el dominio y codominio de cualquier elemento de G es A . Además, la composición de las biyecciones es biyectiva ; ^[12]
    • Existencia de la función identidad . La función identidad , I ( x ) = x , es un elemento obvio de G ;
    • Existencia de función inversa . Toda función biyectiva g tiene una inversa g ⁻¹ , tal que gg ⁻¹ = I ;
    • La composición asocia . f ( gh ) = ( fg ) h . Esto es válido para todas las funciones en todos los dominios. ^[13]
    Sean f y g dos elementos cualesquiera de G . En virtud de la definición de G , [ g ( f ( x ))] = [ f ( x )] y [ f ( x )] = [ x ], de modo que [ g ( f ( x ))] = [ x ]. Por lo tanto , G es también un grupo de transformación (y un grupo de automorfismos ) porque la composición de funciones preserva la partición de ${\displaystyle A.\blacksquare }$
15. Wallace, DAR, 1998. Grupos, anillos y campos . Springer-Verlag: 202, Th. 6.
16. Dummit, DS y Foote, RM, 2004. Álgebra abstracta , 3.ª ed. John Wiley & Sons: 114, Prop. 2.
17. Borceux, F. y Janelidze, G., 2001. Teorías de Galois , Cambridge University Press, ISBN 0-521-80309-8 

Referencias

• Brown, Ronald, 2006. Topología y grupoides. Booksurge LLC. ISBN 1-4196-2722-8 . 
• Castellani, E., 2003, "Simetría y equivalencia" en Brading, Katherine y E. Castellani, eds., Simetrías en física: reflexiones filosóficas . Cambridge Univ. Press: 422–433.
• Robert Dilworth y Crawley, Peter, 1973. Teoría algebraica de retículos . Prentice Hall. En el capítulo 12 se analiza cómo surgen las relaciones de equivalencia en la teoría de retículos .
• Higgins, PJ, 1971. Categorías y grupoides. Van Nostrand. Descargable desde 2005 como reimpresión de TAC.
• John Randolph Lucas , 1973. Tratado sobre el tiempo y el espacio . Londres: Methuen. Sección 31.
• Rosen, Joseph (2008) Reglas de simetría: cómo la ciencia y la naturaleza se basan en la simetría . Springer-Verlag. Principalmente capítulos. 9,10.
• Raymond Wilder (1965) Introducción a los fundamentos de las matemáticas , 2.ª edición, Capítulo 2-8: Axiomas que definen equivalencia, págs. 48-50, John Wiley & Sons .

Enlaces externos

• "Relación de equivalencia", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Bogomolny, A. , "Relación de equivalencia" cut-the-knot . Consultado el 1 de septiembre de 2009.
• Relación de equivalencia en PlanetMath
• Secuencia OEIS A231428 (Matrices binarias que representan relaciones de equivalencia)