Distribución estable

Distribución de variables que satisface una propiedad de estabilidad bajo combinaciones lineales.

En teoría de la probabilidad , se dice que una distribución es estable si una combinación lineal de dos variables aleatorias independientes con esta distribución tiene la misma distribución, hasta los parámetros de ubicación y escala . Se dice que una variable aleatoria es estable si su distribución es estable. La familia de distribuciones estables también se denomina a veces distribución alfa-estable de Lévy , en honor a Paul Lévy , el primer matemático que la estudió. ^{[1] [2]}

De los cuatro parámetros que definen a la familia, la mayor atención se ha centrado en el parámetro de estabilidad (ver panel). Las distribuciones estables tienen , con el límite superior correspondiente a la distribución normal y a la distribución de Cauchy . Las distribuciones tienen una varianza indefinida y una media indefinida para . La importancia de las distribuciones de probabilidad estables es que son " atractores " de sumas adecuadamente normalizadas de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas ( iid ). La distribución normal define una familia de distribuciones estables. Según el teorema clásico del límite central, la suma adecuadamente normada de un conjunto de variables aleatorias, cada una con varianza finita, tenderá hacia una distribución normal a medida que aumenta el número de variables. Sin el supuesto de varianza finita, el límite puede ser una distribución estable que no es normal. Mandelbrot se refirió a tales distribuciones como "distribuciones paretianas estables", ^{[3] [4] [5]} en honor a Vilfredo Pareto . En particular, se refirió a aquellas con un sesgo máximo en la dirección positiva como "distribuciones de Pareto-Lévy", ^[1] que consideraba mejores descripciones de los precios de las acciones y las materias primas que las distribuciones normales. ^[6] ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle 0<\alpha \leq 2}$ ${\displaystyle \alpha =1}$ ${\displaystyle \alpha <2}$ ${\displaystyle \alpha \leq 1}$ ${\displaystyle 1<\alpha <2}$

Definición

Una distribución no degenerada es una distribución estable si satisface la siguiente propiedad:

Sean X ₁ y X ₂ realizaciones independientes de una variable aleatoria X . Entonces se dice que X es estable si para cualesquiera constantes a > 0 y b > 0 la variable aleatoria aX ₁ + bX ₂ tiene la misma distribución que cX + d para algunas constantes c > 0 y d . Se dice que la distribución es estrictamente estable si esto se cumple con d = 0 . ^[7]

Dado que la distribución normal , la distribución de Cauchy y la distribución de Lévy tienen la propiedad anterior, se deduce que son casos especiales de distribuciones estables.

Dichas distribuciones forman una familia de cuatro parámetros de distribuciones de probabilidad continuas parametrizadas por los parámetros de ubicación y escala μ y c , respectivamente, y dos parámetros de forma y , que corresponden aproximadamente a medidas de asimetría y concentración, respectivamente (ver las figuras). ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \alpha }$

La función característica de cualquier distribución de probabilidad es la transformada de Fourier de su función de densidad de probabilidad . La función de densidad es, por tanto, la transformada de Fourier inversa de la función característica: ^[8] ${\displaystyle \varphi (t)}$ ${\displaystyle f(x)}$

$${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (t)e^{-ixt}\,dt.}$$

Aunque la función de densidad de probabilidad para una distribución estable general no se puede escribir analíticamente, la función característica general se puede expresar analíticamente. Una variable aleatoria X se llama estable si su función característica se puede escribir como ^{[7] [9]}

$${\displaystyle \varphi (t;\alpha ,\beta ,c,\mu )=\exp \left(it\mu -|ct|^{\alpha }\left(1-i\beta \operatorname {sgn}(t)\Phi \right)\right)}$$

sgn( t )signot

$${\displaystyle \Phi ={\begin{cases}\tan \left({\frac {\pi \alpha }{2}}\right)&\alpha \neq 1\\-{\frac {2}{\pi }}\log |t|&\alpha =1\end{cases}}}$$

μRparámetro de asimetríaasimetríamomentosmomento central ${\displaystyle \beta \in [-1,1]}$ ${\displaystyle \alpha <2}$

La razón por la que esto da una distribución estable es que la función característica para la suma de dos variables aleatorias independientes es igual al producto de las dos funciones características correspondientes. Agregar dos variables aleatorias de una distribución estable da algo con los mismos valores de y , pero posiblemente valores diferentes de μ y c . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$

No todas las funciones son funciones características de una distribución de probabilidad legítima (es decir, una cuya función de distribución acumulativa es real y va de 0 a 1 sin disminuir), pero las funciones características dadas anteriormente serán legítimas siempre que los parámetros estén en su mismo orden. rangos. El valor de la función característica en algún valor t es el conjugado complejo de su valor en − t como debería ser para que la función de distribución de probabilidad sea real.

En el caso más simple , la función característica es simplemente una función exponencial extendida ; la distribución es simétrica con respecto a μ y se conoce como distribución alfa-estable simétrica (Lévy) , a menudo abreviada SαS . ${\displaystyle \beta =0}$

Cuando y , la distribución se apoya en [ μ , ∞). ${\displaystyle \alpha <1}$ ${\displaystyle \beta =1}$

El parámetro c > 0 es un factor de escala que es una medida del ancho de la distribución, mientras que es el exponente o índice de la distribución y especifica el comportamiento asintótico de la distribución. ${\displaystyle \alpha }$

Parametrizaciones

La definición anterior es sólo una de las parametrizaciones que se utilizan para distribuciones estables; es el más común pero su densidad de probabilidad no es continua en los parámetros en . ^[10] ${\displaystyle \alpha =1}$

Una parametrización continua es ^[7]

$${\displaystyle \varphi (t;\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta )=\exp \left(it\delta -|\gamma t|^{\alpha }\left(1-i\beta \operatorname {sgn}(t)\Phi \right)\right)}$$

$${\displaystyle \Phi ={\begin{cases}\left(|\gamma t|^{1-\alpha }-1\right)\tan \left({\tfrac {\pi \alpha }{2}}\right)&\alpha \neq 1\\-{\frac {2}{\pi }}\log |\gamma t|&\alpha =1\end{cases}}}$$

Los rangos de y son los mismos que antes, γ (como c ) debe ser positivo y δ (como μ ) debe ser real. ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$

En cualquiera de las parametrizaciones se puede realizar una transformación lineal de la variable aleatoria para obtener una variable aleatoria cuya densidad sea . En la primera parametrización esto se hace definiendo la nueva variable: ${\displaystyle f(y;\alpha ,\beta ,1,0)}$

$${\displaystyle y={\begin{cases}{\frac {x-\mu }{\gamma }}&\alpha \neq 1\\{\frac {x-\mu }{\gamma }}-\beta {\frac {2}{\pi }}\ln \gamma &\alpha =1\end{cases}}}$$

Para la segunda parametrización, simplemente usamos

$${\displaystyle y={\frac {x-\delta }{\gamma }}}$$

μ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha >1}$ ${\displaystyle \delta -\beta \gamma \tan \left({\tfrac {\pi \alpha }{2}}\right).}$

La distribución

Por lo tanto, los cuatro parámetros anteriores especifican una distribución estable. Se puede demostrar que cualquier distribución estable no degenerada tiene una función de densidad suave (infinitamente diferenciable). ^[7] Si denota la densidad de X e Y es la suma de copias independientes de X : ${\displaystyle f(x;\alpha ,\beta ,c,\mu )}$

$${\displaystyle Y=\sum _{i=1}^{N}k_{i}(X_{i}-\mu )}$$

Y ${\displaystyle {\tfrac {1}{s}}f(y/s;\alpha ,\beta ,c,0)}$

$${\displaystyle s=\left(\sum _{i=1}^{N}|k_{i}|^{\alpha }\right)^{\frac {1}{\alpha }}}$$

El comportamiento asintótico se describe, para , por: ^[7] ${\displaystyle \alpha <2}$

$${\displaystyle f(x)\sim {\frac {1}{|x|^{1+\alpha }}}\left(c^{\alpha }(1+\operatorname {sgn}(x)\beta )\sin \left({\frac {\pi \alpha }{2}}\right){\frac {\Gamma (\alpha +1)}{\pi }}\right)}$$

función Gammaμcola pesada ${\displaystyle \alpha \geq 1}$ ${\displaystyle \beta =\pm 1}$ ${\displaystyle \alpha <2}$

Cuando , la distribución es gaussiana (ver más abajo), con colas asintóticas a exp(− x ² /4 c ² )/(2 c √π). ${\displaystyle \alpha =2}$

Distribución estable unilateral y distribución de conteo estable

Cuando y , la distribución se apoya en [ μ , ∞). Esta familia se llama distribución estable unilateral . ^[11] Su distribución estándar (μ=0) se define como ${\displaystyle \alpha <1}$ ${\displaystyle \beta =1}$

${\displaystyle L_{\alpha }(x)=f{\left(x;\alpha ,1,\cos \left({\frac {\alpha \pi }{2}}\right)^{1/\alpha },0\right)}}$, dónde . ${\displaystyle \alpha <1}$

Sea , su función característica es . Por tanto, la forma integral de su PDF es (nota: ) ${\displaystyle q=\exp(-i\alpha \pi /2)}$ ${\displaystyle \varphi (t;\alpha )=\exp \left(-q|t|^{\alpha }\right)}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} (q)<0}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}L_{\alpha }(x)&={\frac {1}{\pi }}\Re \left[\int _{-\infty }^{\infty }e^{itx}e^{-q|t|^{\alpha }}\,dt\right]\\&={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\infty }e^{-\operatorname {Re} (q)\,t^{\alpha }}\sin(tx)\sin(-\operatorname {Im} (q)\,t^{\alpha })\,dt,{\text{ or }}\\&={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\infty }e^{-{\text{Re}}(q)\,t^{\alpha }}\cos(tx)\cos(\operatorname {Im} (q)\,t^{\alpha })\,dt.\end{aligned}}}$$

La integral de doble seno es más efectiva para valores muy pequeños . ${\displaystyle x}$

Considere la suma de Lévy donde , entonces Y tiene la densidad donde . Conjunto , llegamos a la distribución de recuento estable . ^[12] Su distribución estándar se define como ${\textstyle Y=\sum _{i=1}^{N}X_{i}}$ ${\textstyle X_{i}\sim L_{\alpha }(x)}$ ${\textstyle {\frac {1}{\nu }}L_{\alpha }{\left({\frac {x}{\nu }}\right)}}$ ${\textstyle \nu =N^{1/\alpha }}$ ${\textstyle x=1}$

${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu )={\frac {\alpha }{\Gamma \left({\frac {1}{\alpha }}\right)}}{\frac {1}{\nu }}L_{\alpha }{\left({\frac {1}{\nu }}\right)}}$, dónde y . ${\displaystyle \nu >0}$ ${\displaystyle \alpha <1}$

La distribución de recuento estable es el prior conjugado de la distribución estable unilateral. Su familia de escala de ubicación se define como

${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu ;\nu _{0},\theta )={\frac {\alpha }{\Gamma ({\frac {1}{\alpha }})}}{\frac {1}{\nu -\nu _{0}}}L_{\alpha }{\left({\frac {\theta }{\nu -\nu _{0}}}\right)}}$, dónde y . ${\displaystyle \nu >\nu _{0}}$ ${\displaystyle \theta >0}$ ${\displaystyle \alpha <1}$

También es una distribución unilateral compatible con . El parámetro de ubicación es la ubicación de corte, mientras que define su escala. ${\displaystyle [\nu _{0},\infty )}$ ${\displaystyle \nu _{0}}$ ${\displaystyle \theta }$

Cuando , es la distribución de Lévy que es una distribución gamma inversa. Por lo tanto, hay una distribución gamma desplazada de forma 3/2 y escala , ${\textstyle \alpha ={\frac {1}{2}}}$ ${\textstyle L_{\frac {1}{2}}(x)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\frac {1}{2}}(\nu ;\nu _{0},\theta )}$ ${\displaystyle 4\theta }$

${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\frac {1}{2}}(\nu ;\nu _{0},\theta )={\frac {1}{4{\sqrt {\pi }}\theta ^{3/2}}}(\nu -\nu _{0})^{1/2}e^{-{\frac {\nu -\nu _{0}}{4\theta }}}}$, dónde , . ${\displaystyle \nu >\nu _{0}}$ ${\displaystyle \theta >0}$

Su media es y su desviación estándar es . Se plantea la hipótesis de que VIX se distribuye como con y (consulte la Sección 7 de ^[12] ). Por tanto, la distribución de recuento estable es la distribución marginal de primer orden de un proceso de volatilidad. En este contexto, se denomina "piso de volatilidad". ${\displaystyle \nu _{0}+6\theta }$ ${\displaystyle {\sqrt {24}}\theta }$ ${\textstyle {\mathfrak {N}}_{\frac {1}{2}}(\nu ;\nu _{0},\theta )}$ ${\displaystyle \nu _{0}=10.4}$ ${\displaystyle \theta =1.6}$ ${\displaystyle \nu _{0}}$

Otro enfoque para derivar la distribución de recuento estable es utilizar la transformada de Laplace de la distribución estable unilateral (Sección 2.4 de ^[12] ).

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-zx}L_{\alpha }(x)dx=e^{-z^{\alpha }}}$, dónde . ${\displaystyle \alpha <1}$

Sea , y se puede descomponer la integral del lado izquierdo como una distribución del producto de una distribución estándar de Laplace y una distribución estándar de conteo estable,f ${\displaystyle x=1/\nu }$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\nu }}\left({\frac {1}{2}}e^{-{\frac {|z|}{\nu }}}\right)\left({\frac {\alpha }{\Gamma ({\frac {1}{\alpha }})}}{\frac {1}{\nu }}L_{\alpha }{\left({\frac {1}{\nu }}\right)}\right)d\nu ={\frac {1}{2}}{\frac {\alpha }{\Gamma ({\frac {1}{\alpha }})}}e^{-|z|^{\alpha }}}$, dónde . ${\displaystyle \alpha <1}$

Esto se denomina "descomposición lambda" (consulte la sección 4 de ^[12] ), ya que el lado derecho se denominó "distribución lambda simétrica" ​​en los trabajos anteriores de Lihn. Sin embargo, tiene varios nombres más populares, como " distribución de potencia exponencial " o " error generalizado / distribución normal ", a la que a menudo se hace referencia cuando . ${\displaystyle \alpha >1}$

El enésimo momento de es el enésimo momento de y todos los momentos positivos son finitos. ${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu )}$ ${\displaystyle -(n+1)}$ ${\displaystyle L_{\alpha }(x)}$

Propiedades

• Todas las distribuciones estables son infinitamente divisibles .
• Con excepción de la distribución normal ( ), las distribuciones estables son leptokurtóticas y de cola pesada . ${\displaystyle \alpha =2}$
• Cierre bajo convolución

Las distribuciones estables se cierran bajo convolución para un valor fijo de . Dado que la convolución es equivalente a la multiplicación de la función transformada de Fourier, se deduce que el producto de dos funciones características estables con la misma producirá otra función característica similar. El producto de dos funciones características estables viene dado por: ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$

$${\displaystyle \exp \left(it\mu _{1}+it\mu _{2}-|c_{1}t|^{\alpha }-|c_{2}t|^{\alpha }+i\beta _{1}|c_{1}t|^{\alpha }\operatorname {sgn}(t)\Phi +i\beta _{2}|c_{2}t|^{\alpha }\operatorname {sgn}(t)\Phi \right)}$$

Dado que Φ no es una función de μ , c o variables, se deduce que estos parámetros para la función convolucionada están dados por: ${\displaystyle \beta }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mu &=\mu _{1}+\mu _{2}\\|c|&=\left(|c_{1}|^{\alpha }+|c_{2}|^{\alpha }\right)^{\frac {1}{\alpha }}\\[6pt]\beta &={\frac {\beta _{1}|c_{1}|^{\alpha }+\beta _{2}|c_{2}|^{\alpha }}{|c_{1}|^{\alpha }+|c_{2}|^{\alpha }}}\end{aligned}}}$$

En cada caso, se puede demostrar que los parámetros resultantes se encuentran dentro de los intervalos requeridos para una distribución estable.

El teorema del límite central generalizado

El Teorema del Límite Central Generalizado (GCLT) fue un esfuerzo de múltiples matemáticos ( Berstein , Lindeberg , Lévy , Feller , Kolmogorov y otros) durante el período de 1920 a 1937. ^[13] La primera prueba completa publicada (en francés) del GCLT fue en 1937 por Paul Lévy . ^[14] Una versión en inglés de la prueba completa de la GCLT está disponible en la traducción del libro de 1954 de Gnedenko y Kolmogorov . ^[15]

El comunicado de la GLCT es el siguiente: ^[16]

Una variable aleatoria no degenerada Z es α-estable para algún 0 < α ≤ 2 si y sólo si existe una secuencia independiente e idénticamente distribuida de variables aleatorias X ₁ , X ₂ , X ₃ , ... y constantes a _n > 0, b _norte ∈ ℝ con

un _norte (X ₁ + ... + X _norte ) - segundo _norte → Z.

Aquí → significa que la secuencia de sumas de variables aleatorias converge en distribución; es decir, las distribuciones correspondientes satisfacen F _n (y) → F(y) en todos los puntos de continuidad de F.

En otras palabras, si sumas de variables aleatorias independientes distribuidas idénticamente convergen en su distribución a algún Z , entonces Z debe ser una distribución estable.

Un teorema del límite central generalizado

Referencia general: ^[17] de Gnedenko.

Otra propiedad importante de las distribuciones estables es el papel que desempeñan en un teorema del límite central generalizado . El teorema del límite central establece que la suma de un número de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas (iid) con varianzas finitas distintas de cero tenderá a una distribución normal a medida que crece el número de variables.

Una generalización debida a Gnedenko y Kolmogorov establece que la suma de un número de variables aleatorias con distribuciones simétricas que tienen colas de ley potencial ( colas paretianas ), decrecientes en donde (y por lo tanto con varianza infinita), tenderá a una distribución estable como el número de demandas crece. ^[18] Si entonces la suma converge a una distribución estable con parámetro de estabilidad igual a 2, es decir, una distribución gaussiana. ^[19] ${\displaystyle |x|^{-\alpha -1}}$ ${\displaystyle 0<\alpha \leqslant 2}$ ${\displaystyle f(x;\alpha ,0,c,0)}$ ${\displaystyle \alpha >2}$

^[20]

También hay otras posibilidades. Por ejemplo, si la función característica de la variable aleatoria es asintótica para t pequeña (positiva o negativa), entonces podemos preguntar cómo varía t con n cuando el valor de la función característica para la suma de n tales variables aleatorias es igual a un valor dado. valor tu : ${\displaystyle 1+a|t|^{\alpha }\ln |t|}$

$${\displaystyle \varphi _{\text{sum}}=\varphi ^{n}=u}$$

Suponiendo por el momento que t → 0, tomamos el límite de lo anterior como n → ∞ :

$${\displaystyle \ln u=\lim _{n\to \infty }n\ln \varphi =\lim _{n\to \infty }na|t|^{\alpha }\ln |t|.}$$

Por lo tanto:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\ln(\ln u)&=\ln \left(\lim _{n\to \infty }na|t|^{\alpha }\ln |t|\right)\\[5pt]&=\lim _{n\to \infty }\ln \left(na|t|^{\alpha }\ln |t|\right)=\lim _{n\to \infty }\left[\ln(na)+\alpha \ln |t|+\ln(\ln |t|)\right]\end{aligned}}}$$

Esto muestra que es asintótico por lo que usando la ecuación anterior tenemos ${\displaystyle \ln |t|}$ ${\displaystyle {\tfrac {-1}{\alpha }}\ln n,}$

$${\displaystyle |t|\sim \left({\frac {-\alpha \ln u}{na\ln n}}\right)^{1/\alpha }.}$$

Esto implica que la suma dividida por

$${\displaystyle \left({\frac {na\ln n}{\alpha }}\right)^{\frac {1}{\alpha }}}$$

t′unel teorema de continuidad de Lévy, ${\displaystyle t'=(-\ln u)^{{1}/{\alpha }}.}$ ${\displaystyle \exp(-(t')^{\alpha })}$

$${\displaystyle \left({\frac {na\ln n}{\alpha }}\right)^{\frac {1}{\alpha }}}$$

converge en distribución a la distribución alfa-estable simétrica con parámetro de estabilidad y parámetro de escala 1. ${\displaystyle \alpha }$

Esto se puede aplicar a una variable aleatoria cuyas colas disminuyen como . Esta variable aleatoria tiene una media pero la varianza es infinita. Tomemos la siguiente distribución: ${\displaystyle |x|^{-3}}$

$${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{3}}&|x|\leq 1\\{\frac {1}{3}}x^{-3}&|x|>1\end{cases}}}$$

Podemos escribir esto como

$${\displaystyle f(x)=\int _{1}^{\infty }{\frac {2}{w^{4}}}h\left({\frac {x}{w}}\right)dw}$$

$${\displaystyle h\left({\frac {x}{w}}\right)={\begin{cases}{\frac {1}{2}}&\left|{\frac {x}{w}}\right|<1,\\0&\left|{\frac {x}{w}}\right|>1.\end{cases}}}$$

Queremos encontrar los términos principales de la expansión asintótica de la función característica. La función característica de la distribución de probabilidad es entonces la función característica para f ( x ) es ${\textstyle {\frac {1}{w}}h\left({\frac {x}{w}}\right)}$ ${\textstyle {\tfrac {\sin(tw)}{tw}},}$

$${\displaystyle \varphi (t)=\int _{1}^{\infty }{\frac {2\sin(tw)}{tw^{4}}}dw}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (t)-1&=\int _{1}^{\infty }{\frac {2}{w^{3}}}\left[{\frac {\sin(tw)}{tw}}-1\right]\,dw\\&=\int _{1}^{\frac {1}{|t|}}{\frac {2}{w^{3}}}\left[{\frac {\sin(tw)}{tw}}-1\right]\,dw+\int _{\frac {1}{|t|}}^{\infty }{\frac {2}{w^{3}}}\left[{\frac {\sin(tw)}{tw}}-1\right]\,dw\\&=\int _{1}^{\frac {1}{|t|}}{\frac {2}{w^{3}}}\left[{\frac {\sin(tw)}{tw}}-1+\left\{-{\frac {t^{2}w^{2}}{3!}}+{\frac {t^{2}w^{2}}{3!}}\right\}\right]\,dw+\int _{\frac {1}{|t|}}^{\infty }{\frac {2}{w^{3}}}\left[{\frac {\sin(tw)}{tw}}-1\right]\,dw\\&=\int _{1}^{\frac {1}{|t|}}-{\frac {t^{2}dw}{3w}}+\int _{1}^{\frac {1}{|t|}}{\frac {2}{w^{3}}}\left[{\frac {\sin(tw)}{tw}}-1+{\frac {t^{2}w^{2}}{3!}}\right]dw+\int _{\frac {1}{|t|}}^{\infty }{\frac {2}{w^{3}}}\left[{\frac {\sin(tw)}{tw}}-1\right]dw\\&=\int _{1}^{\frac {1}{|t|}}-{\frac {t^{2}dw}{3w}}+\left\{\int _{0}^{\frac {1}{|t|}}{\frac {2}{w^{3}}}\left[{\frac {\sin(tw)}{tw}}-1+{\frac {t^{2}w^{2}}{3!}}\right]dw-\int _{0}^{1}{\frac {2}{w^{3}}}\left[{\frac {\sin(tw)}{tw}}-1+{\frac {t^{2}w^{2}}{3!}}\right]dw\right\}+\int _{\frac {1}{|t|}}^{\infty }{\frac {2}{w^{3}}}\left[{\frac {\sin(tw)}{tw}}-1\right]dw\\&=\int _{1}^{\frac {1}{|t|}}-{\frac {t^{2}dw}{3w}}+t^{2}\int _{0}^{1}{\frac {2}{y^{3}}}\left[{\frac {\sin(y)}{y}}-1+{\frac {y^{2}}{6}}\right]dy-\int _{0}^{1}{\frac {2}{w^{3}}}\left[{\frac {\sin(tw)}{tw}}-1+{\frac {t^{2}w^{2}}{6}}\right]dw+t^{2}\int _{1}^{\infty }{\frac {2}{y^{3}}}\left[{\frac {\sin(y)}{y}}-1\right]dy\\&=-{\frac {t^{2}}{3}}\int _{1}^{\frac {1}{|t|}}{\frac {dw}{w}}+t^{2}C_{1}-\int _{0}^{1}{\frac {2}{w^{3}}}\left[{\frac {\sin(tw)}{tw}}-1+{\frac {t^{2}w^{2}}{6}}\right]dw+t^{2}C_{2}\\&={\frac {t^{2}}{3}}\ln |t|+t^{2}C_{3}-\int _{0}^{1}{\frac {2}{w^{3}}}\left[{\frac {\sin(tw)}{tw}}-1+{\frac {t^{2}w^{2}}{6}}\right]dw\\&={\frac {t^{2}}{3}}\ln |t|+t^{2}C_{3}-\int _{0}^{1}{\frac {2}{w^{3}}}\left[{\frac {t^{4}w^{4}}{5!}}+\cdots \right]dw\\&={\frac {t^{2}}{3}}\ln |t|+t^{2}C_{3}-{\mathcal {O}}\left(t^{4}\right)\end{aligned}}}$$

${\displaystyle C_{1},C_{2}}$ ${\displaystyle C_{3}}$

$${\displaystyle \varphi (t)\sim 1+{\frac {t^{2}}{3}}\ln |t|}$$

fxnnnmediannley de los grandes números ${\textstyle {\sqrt {n(\ln n)/12}},}$

Casos especiales

Gráfico log-log de PDF de distribución estable centrada simétrica que muestra el comportamiento de la ley de potencia para x grande . El comportamiento de la ley de potencia se evidencia por la apariencia de línea recta de la PDF para x grande , con la pendiente igual a . (La única excepción es , en negro, que es una distribución normal). ${\displaystyle -(\alpha +1)}$ ${\displaystyle \alpha =2}$

Gráfico log-log de PDF de distribución estable centrada sesgada que muestra el comportamiento de la ley de potencia para x grande . Nuevamente la pendiente de las porciones lineales es igual a ${\displaystyle -(\alpha +1)}$

No existe una solución analítica general para la forma de f ( x ). Sin embargo, hay tres casos especiales que pueden expresarse en términos de funciones elementales , como puede verse examinando la función característica : ^{[7] [9] [21]}

• Porque la distribución se reduce a una distribución gaussiana con varianza σ ² = 2 c ² y media μ ; el parámetro de asimetría no tiene ningún efecto. ${\displaystyle \alpha =2}$ ${\displaystyle \beta }$
• Para y la distribución se reduce a una distribución de Cauchy con parámetro de escala c y parámetro de desplazamiento μ . ${\displaystyle \alpha =1}$ ${\displaystyle \beta =0}$
• Para y la distribución se reduce a una distribución de Lévy con parámetro de escala c y parámetro de desplazamiento μ . ${\displaystyle \alpha =1/2}$ ${\displaystyle \beta =1}$

Tenga en cuenta que las tres distribuciones anteriores también están conectadas de la siguiente manera: una variable aleatoria estándar de Cauchy puede verse como una mezcla de variables aleatorias gaussianas (todas con media cero), y la varianza se extrae de una distribución estándar de Lévy. Y, de hecho, este es un caso especial de un teorema más general (consulte la página 59 de ^[22] ) que permite ver cualquier distribución alfa estable simétrica de esta manera (con el parámetro alfa de la distribución de la mezcla igual al doble del parámetro alfa de la distribución de mezcla y el parámetro beta de la distribución de mezcla siempre igual a uno).

Está disponible una expresión general cerrada para PDF estables con valores racionales de en términos de funciones G de Meijer . ^[23] Las funciones H de Fox también se pueden utilizar para expresar funciones de densidad de probabilidad estables. Para números racionales simples, la expresión en forma cerrada suele expresarse en términos de funciones especiales menos complicadas . Están disponibles varias expresiones de forma cerrada que tienen expresiones bastante simples en términos de funciones especiales. En la siguiente tabla, las PDF expresables mediante funciones elementales se indican con una E y las que son expresables mediante funciones especiales se indican con una s . ^[22] ${\displaystyle \alpha }$

Algunos de los casos especiales se conocen con nombres particulares:

• Para y , la distribución es una distribución de Landau ( L ) que tiene un uso específico en física con este nombre. ${\displaystyle \alpha =1}$ ${\displaystyle \beta =1}$
• Para y la distribución se reduce a una distribución de Holtsmark con parámetro de escala c y parámetro de desplazamiento μ . ${\displaystyle \alpha =3/2}$ ${\displaystyle \beta =0}$

Además, en el límite cuando c se acerca a cero o cuando α se acerca a cero, la distribución se acercará a una función delta de Dirac δ ( x  −  μ ) .

Representación en serie

La distribución estable se puede reformular como la parte real de una integral más simple: ^[24]

$${\displaystyle f(x;\alpha ,\beta ,c,\mu )={\frac {1}{\pi }}\Re \left[\int _{0}^{\infty }e^{it(x-\mu )}e^{-(ct)^{\alpha }(1-i\beta \Phi )}\,dt\right].}$$

Expresando la segunda exponencial como una serie de Taylor , tenemos:

$${\displaystyle f(x;\alpha ,\beta ,c,\mu )={\frac {1}{\pi }}\Re \left[\int _{0}^{\infty }e^{it(x-\mu )}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-qt^{\alpha })^{n}}{n!}}\,dt\right]}$$

${\displaystyle q=c^{\alpha }(1-i\beta \Phi )}$

$${\displaystyle f(x;\alpha ,\beta ,c,\mu )={\frac {1}{\pi }}\Re \left[\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-q)^{n}}{n!}}\left({\frac {i}{x-\mu }}\right)^{\alpha n+1}\Gamma (\alpha n+1)\right]}$$

xμnfunción deltaxμxμ

Para una distribución estable unilateral, es necesario modificar la expansión de la serie anterior, ya que y . No hay una parte real que sumar. En cambio, la integral de la función característica debe realizarse en el eje negativo, lo que da: ^{[25] [11]} ${\displaystyle q=\exp(-i\alpha \pi /2)}$ ${\displaystyle qi^{\alpha }=1}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}L_{\alpha }(x)&={\frac {1}{\pi }}\Re \left[\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-q)^{n}}{n!}}\left({\frac {-i}{x}}\right)^{\alpha n+1}\Gamma (\alpha n+1)\right]\\&={\frac {1}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {-\sin(n(\alpha +1)\pi )}{n!}}\left({\frac {1}{x}}\right)^{\alpha n+1}\Gamma (\alpha n+1)\end{aligned}}}$$

Simulación de variables estables.

Simular secuencias de variables aleatorias estables no es sencillo, ya que no existen expresiones analíticas para la inversa ni para la CDF en sí. ^{[10] [12]} Todos los enfoques estándar, como los métodos de rechazo o inversión, requerirían cálculos tediosos. ^{Chambers, Mallows y Stuck (CMS), [26]} propusieron una solución mucho más elegante y eficiente, quienes notaron que cierta fórmula integral ^[27] producía el siguiente algoritmo: ^[28] ${\displaystyle F^{-1}(x)}$ ${\displaystyle F(x)}$

• generar una variable aleatoria distribuida uniformemente y una variable aleatoria exponencial independiente con media 1; ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \left(-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right)}$ ${\displaystyle W}$
• para calcular: ${\displaystyle \alpha \neq 1}$
  $${\displaystyle X=\left(1+\zeta ^{2}\right)^{\frac {1}{2\alpha }}{\frac {\sin(\alpha (U+\xi ))}{(\cos(U))^{\frac {1}{\alpha }}}}\left({\frac {\cos(U-\alpha (U+\xi ))}{W}}\right)^{\frac {1-\alpha }{\alpha }},}$$
• para calcular: ${\displaystyle \alpha =1}$
  $${\displaystyle X={\frac {1}{\xi }}\left\{\left({\frac {\pi }{2}}+\beta U\right)\tan U-\beta \log \left({\frac {{\frac {\pi }{2}}W\cos U}{{\frac {\pi }{2}}+\beta U}}\right)\right\},}$$
  dónde
  $${\displaystyle \zeta =-\beta \tan {\frac {\pi \alpha }{2}},\qquad \xi ={\begin{cases}{\frac {1}{\alpha }}\arctan(-\zeta )&\alpha \neq 1\\{\frac {\pi }{2}}&\alpha =1\end{cases}}}$$

Este algoritmo produce una variable aleatoria . Para una prueba detallada ver. ^[29] ${\displaystyle X\sim S_{\alpha }(\beta ,1,0)}$

Dadas las fórmulas para la simulación de una variable aleatoria estable estándar, podemos simular fácilmente una variable aleatoria estable para todos los valores admisibles de los parámetros , y utilizando la siguiente propiedad. Si entonces ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle X\sim S_{\alpha }(\beta ,1,0)}$

$${\displaystyle Y={\begin{cases}cX+\mu &\alpha \neq 1\\cX+{\frac {2}{\pi }}\beta c\log c+\mu &\alpha =1\end{cases}}}$$

transformada de Box-Mullergaussianas^[30][31][32] ${\displaystyle S_{\alpha }(\beta ,c,\mu )}$ ${\displaystyle \alpha =2}$ ${\displaystyle \beta =0}$

Aplicaciones

Las distribuciones estables deben su importancia tanto en la teoría como en la práctica a la generalización del teorema del límite central a variables aleatorias sin momentos de segundo (y posiblemente de primer) orden y la autosimilitud que las acompaña de la familia estable. Fue la aparente desviación de la normalidad junto con la demanda de un modelo autosimilar para los datos financieros (es decir, la forma de la distribución de las variaciones anuales de precios de los activos debería parecerse a la de las variaciones de precios diarias o mensuales constituyentes) lo que llevó a Benoît Mandelbrot a proponer que los precios del algodón siguen una distribución alfa estable igual a 1,7. ^[6] Las distribuciones de Lévy se encuentran con frecuencia en el análisis de comportamientos críticos y datos financieros. ^{[9] [33]} ${\displaystyle \alpha }$

También se encuentran en espectroscopia como expresión general para una línea espectral ensanchada por presión casi estática . ^[24]

La distribución de Lévy de los eventos de tiempo de espera de las erupciones solares (tiempo entre eventos de erupciones) se demostró para las erupciones solares de rayos X duros de CGRO BATSE en diciembre de 2001. El análisis de la firma estadística de Lévy reveló que eran evidentes dos firmas de memoria diferentes; uno relacionado con el ciclo solar y el segundo cuyo origen parece estar asociado con un efecto localizado o una combinación de efectos localizados de la región activa solar. ^[34]

Otros casos analíticos

Se conocen varios casos de distribuciones estables analíticamente expresables. Dejemos que la distribución estable se exprese por entonces sabemos: ${\displaystyle f(x;\alpha ,\beta ,c,\mu )}$

• La distribución de Cauchy está dada por ${\displaystyle f(x;1,0,1,0).}$
• La distribución de Lévy está dada por ${\displaystyle f(x;{\tfrac {1}{2}},1,1,0).}$
• La distribución normal está dada por ${\displaystyle f(x;2,0,1,0).}$
• Sea una función de Lommel , entonces: ^[35] ${\displaystyle S_{\mu ,\nu }(z)}$
  $${\displaystyle f\left(x;{\tfrac {1}{3}},0,1,0\right)=\Re \left({\frac {2e^{-{\frac {i\pi }{4}}}}{3{\sqrt {3}}\pi }}{\frac {1}{\sqrt {x^{3}}}}S_{0,{\frac {1}{3}}}\left({\frac {2e^{\frac {i\pi }{4}}}{3{\sqrt {3}}}}{\frac {1}{\sqrt {x}}}\right)\right)}$$
• Sean y denotemos las integrales de Fresnel entonces: ^[36] ${\displaystyle S(x)}$ ${\displaystyle C(x)}$
  $${\displaystyle f\left(x;{\tfrac {1}{2}},0,1,0\right)={\frac {1}{\sqrt {2\pi |x|^{3}}}}\left(\sin \left({\tfrac {1}{4|x|}}\right)\left[{\frac {1}{2}}-S\left({\tfrac {1}{\sqrt {2\pi |x|}}}\right)\right]+\cos \left({\tfrac {1}{4|x|}}\right)\left[{\frac {1}{2}}-C\left({\tfrac {1}{\sqrt {2\pi |x|}}}\right)\right]\right)}$$
• Sea la función de Bessel modificada de segundo tipo entonces: ^[36] ${\displaystyle K_{v}(x)}$
  $${\displaystyle f\left(x;{\tfrac {1}{3}},1,1,0\right)={\frac {1}{\pi }}{\frac {2{\sqrt {2}}}{3^{\frac {7}{4}}}}{\frac {1}{\sqrt {x^{3}}}}K_{\frac {1}{3}}\left({\frac {4{\sqrt {2}}}{3^{\frac {9}{4}}}}{\frac {1}{\sqrt {x}}}\right)}$$
• Si denotan las funciones hipergeométricas entonces: ^[35] ${\displaystyle {}_{m}F_{n}}$
  $${\displaystyle {\begin{aligned}f\left(x;{\tfrac {4}{3}},0,1,0\right)&={\frac {3^{\frac {5}{4}}}{4{\sqrt {2\pi }}}}{\frac {\Gamma \left({\tfrac {7}{12}}\right)\Gamma \left({\tfrac {11}{12}}\right)}{\Gamma \left({\tfrac {6}{12}}\right)\Gamma \left({\tfrac {8}{12}}\right)}}{}_{2}F_{2}\left({\tfrac {7}{12}},{\tfrac {11}{12}};{\tfrac {6}{12}},{\tfrac {8}{12}};{\tfrac {3^{3}x^{4}}{4^{4}}}\right)-{\frac {3^{\frac {11}{4}}x^{3}}{4^{3}{\sqrt {2\pi }}}}{\frac {\Gamma \left({\tfrac {13}{12}}\right)\Gamma \left({\tfrac {17}{12}}\right)}{\Gamma \left({\tfrac {18}{12}}\right)\Gamma \left({\tfrac {15}{12}}\right)}}{}_{2}F_{2}\left({\tfrac {13}{12}},{\tfrac {17}{12}};{\tfrac {18}{12}},{\tfrac {15}{12}};{\tfrac {3^{3}x^{4}}{4^{4}}}\right)\\[6pt]f\left(x;{\tfrac {3}{2}},0,1,0\right)&={\frac {\Gamma \left({\tfrac {5}{3}}\right)}{\pi }}{}_{2}F_{3}\left({\tfrac {5}{12}},{\tfrac {11}{12}};{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {5}{6}};-{\tfrac {2^{2}x^{6}}{3^{6}}}\right)-{\frac {x^{2}}{3\pi }}{}_{3}F_{4}\left({\tfrac {3}{4}},1,{\tfrac {5}{4}};{\tfrac {2}{3}},{\tfrac {5}{6}},{\tfrac {7}{6}},{\tfrac {4}{3}};-{\tfrac {2^{2}x^{6}}{3^{6}}}\right)+{\frac {7x^{4}\Gamma \left({\tfrac {4}{3}}\right)}{3^{4}\pi ^{2}}}{}_{2}F_{3}\left({\tfrac {13}{12}},{\tfrac {19}{12}};{\tfrac {7}{6}},{\tfrac {3}{2}},{\tfrac {5}{3}};-{\tfrac {2^{2}x^{6}}{3^{6}}}\right)\end{aligned}}}$$
  siendo esta última la distribución Holtsmark .
• Sea una función de Whittaker , entonces: ^{[37] [38] [39]} ${\displaystyle W_{k,\mu }(z)}$
  $${\displaystyle {\begin{aligned}f\left(x;{\tfrac {2}{3}},0,1,0\right)&={\frac {\sqrt {3}}{6{\sqrt {\pi }}|x|}}\exp \left({\tfrac {2}{27}}x^{-2}\right)W_{-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{6}}}\left({\tfrac {4}{27}}x^{-2}\right)\\[8pt]f\left(x;{\tfrac {2}{3}},1,1,0\right)&={\frac {\sqrt {3}}{{\sqrt {\pi }}|x|}}\exp \left(-{\tfrac {16}{27}}x^{-2}\right)W_{{\frac {1}{2}},{\frac {1}{6}}}\left({\tfrac {32}{27}}x^{-2}\right)\\[8pt]f\left(x;{\tfrac {3}{2}},1,1,0\right)&={\begin{cases}{\frac {\sqrt {3}}{{\sqrt {\pi }}|x|}}\exp \left({\frac {1}{27}}x^{3}\right)W_{{\frac {1}{2}},{\frac {1}{6}}}\left(-{\frac {2}{27}}x^{3}\right)&x<0\\{}\\{\frac {\sqrt {3}}{6{\sqrt {\pi }}|x|}}\exp \left({\frac {1}{27}}x^{3}\right)W_{-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{6}}}\left({\frac {2}{27}}x^{3}\right)&x\geq 0\end{cases}}\end{aligned}}}$$

Ver también

• Vuelo de Levy
• proceso de levy
• Otras distribuciones de "ley de potencia"
  • distribución de Pareto
  • distribución zeta
  • Distribución zipf
  • Distribución Zipf-Mandelbrot
• Modelos financieros con distribuciones de cola larga y agrupamiento de volatilidad
• Distribución estable multivariada
• Distribución discreta-estable

Notas

• El programa STABLE para Windows está disponible en la página web estable de John Nolan: http://www.robustanalysis.com/public/stable.html. Calcula la densidad (pdf), la función de distribución acumulativa (cdf) y los cuantiles para una distribución estable general, y realiza una estimación de máxima verosimilitud de parámetros estables y algunas técnicas de análisis de datos exploratorios para evaluar el ajuste de un conjunto de datos.
• libstable es una implementación en C para las funciones de distribución estable pdf, cdf, números aleatorios, cuantiles y de ajuste (junto con un paquete de replicación de referencia y un paquete R).
• R Package 'stabledist' por Diethelm Wuertz, Martin Maechler y miembros del equipo central de Rmetrics. Calcula densidad estable, probabilidad, cuantiles y números aleatorios. Actualizado el 12 de septiembre de 2016.
• La implementación de Python se encuentra en scipy.stats.levy_stable en el paquete SciPy .

Referencias

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